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黑龙江省哈尔滨九中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析

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2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期中数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|0<x≤2},B={x|﹣1<x< },则 A∪B 是( )

A.(0, ) B.(0,2) C.(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) D.(﹣1,2] 2.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=﹣3|x| B.y= C.y=log3x2 D.y=x﹣x2 ) )

3.已知幂函数 f(x)的图象过点(2, ),则 f(4)的值是( A.64 B.4 C. D. )

4.关于函数 f(x)=2x 的图象变换正确的是(

A.

B.

C.

D.

5.指数函数 y=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的和为 6,则 a=( A.2 B.3 C.2 或 D. )

)

6.若 0<a<1,则下列不等式中正确的是( A. C.(1﹣a)3>(1+a)2

B.log(1﹣a)(1+a)>0 D.(1﹣a)1+a>1

7.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,都有 f(x)=f(4﹣x),且 x∈(0,2) 时,f(x)=x+1,则 f(5)等于( A.﹣2 B.2 8.已知 f(3 C.0 D.1 ) )

)的定义域是[﹣1,1],则 f(log3x)的定义域是(

A.(0,



B.[

,3] C.[3,+∞) D.(0,3]

9.函数 围是( )

在区间[﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范

A.(﹣∞,﹣5)∪[﹣4,+∞)

B.(﹣5,﹣4] C.(﹣∞,﹣4] D.[﹣4,0)

10. = 若函数 f (x)

, 若f (a) >f (﹣a) , 则实数 a 的取值范围是(

)

A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) 11.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( A.(0, ) B.( ,1) C.(1, ) ) D.( ,2)

12.设定义在区间(﹣b,b)上的函数 则 ab 的取值范围是( A. B. ) C.

是奇函数(a,b∈R,且 a≠﹣2),

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知 f(x)=1+loga 的图象过定点 P,则 P 的坐标为__________.

14.已知函数 f(x)=2x+1,则 f[f(x)]=__________. 15.已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=__________. 16.已知非空集合 A={x|﹣1≤x≤a},B={y|y=﹣2x,x∈A},C={y|y= 实数 a 的取值范围是__________. 三、解答题(本大题共 6 道题,17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分.) 17.求值 (1)log 2﹣log3 + ﹣5 ; ,x∈A},若 C?B,则

(2)已知 2x=3y,且 + =1,求 x,y. 18.已知全集 U=R,集合 A={x|﹣7≤2x﹣1≤7},B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}.

(1)m=3 时,求 A∪(?UB); (2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围. 19. 0) +∞) f =lg ∪ 已知函数 f (x) 是奇函数, 且定义域为 (﹣∞, (0, . 若 x<0 时, (x) (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>0. 20.已知 f(x)=﹣x2+ax﹣a+6,x∈[0,1]. (1)求 f(x)的最小值 g(a); (2)若 g(a)>a2,求 a 的取值范围. 21.已知函数 f(x)= + (a>0,a≠1). .

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 xf(x)>0 在定义域上恒成立. 22.函数 f(x)对任意 a,b∈R,有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且当 x>0 时,f(x)>1. (Ⅰ)求证:f(x)是 R 上的增函数; (Ⅱ)若 f(﹣4)=5,解不等式 f(3m2﹣m﹣3)<2.

2015-2016 学年黑龙江省哈尔滨九中高一(上)期中数学 试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个符合题目要求的.) 1.已知集合 A={x|0<x≤2},B={x|﹣1<x< },则 A∪B 是( )

A.(0, ) B.(0,2) C.(﹣∞,﹣1]∪(2,+∞) D.(﹣1,2] 【考点】并集及其运算. 【专题】计算题;集合思想;分析法;集合. 【分析】由 A 与 B,求出两集合的并集即可. 【解答】解:集合 A={x|0<x≤2}=(0,2],B={x|﹣1<x< }=(﹣1, ), 则 A∪B=(﹣1,2], 故选:D. 【点评】本题考查了并集及其运算,熟练掌握并集的定义是解本题的关键. 2.下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是( A.y=﹣3|x| B.y= C.y=log3x2 D.y=x﹣x2 )

【考点】函数奇偶性的判断;函数单调性的判断与证明. 【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先分别判定函数的奇偶性,再判定函数在区间(0,+∞)上单调性,即可得到结论. 【解答】解:对于 A,∵﹣3|﹣x|=﹣3|x|,∴函数是偶函数;在区间(0,+∞)上,y=﹣3x 是减 函数,故满足题意; 对于 B,函数的定义域为[0,+∞),函数非奇非偶,不满足题意; 对于 C,∵log3(﹣x)2=log3x2,∴函数是偶函数;在区间(0,+∞)上,y=2log3x 是增函数, 故补满足题意; 对于 D,(﹣x)﹣(﹣x)2≠x﹣x2,函数非奇非偶,不满足题意; 故选 A. 【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题.

3.已知幂函数 f(x)的图象过点(2, ),则 f(4)的值是( A.64 B.4 C. D.

)

【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 【专题】计算题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】由已知条件推导出 f(x)= ,由此能求出 f(4). 【解答】解:∵幂函数 f(x)=xa 的图象过点(2, ), ∴2a= ,解得 a=﹣1, ∴f(x)= , ∴f(4)= , 故选:D. 【点评】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合理运用. 4.关于函数 f(x)=2x 的图象变换正确的是( )

A.

B.

C.

D.

【考点】指数函数的图像变换;函数的图象与图象变化. 【专题】应用题;函数思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】分别判断各函数是由 y=f(x)如何变化得到的,再判断图象的正误. 【解答】解:函数 f(x)=2x 的横过点(0,1),且为增函数, 对于 A,y=f(x﹣1)是由 y=f(x)的图象向右平移一个单位得到, 即 y=2x﹣1, 当 x=0 时,y= , 故 A 错误, 对于 B,y=f(x)﹣1 是由 y=f(x)的图象向下平移一个单位得到,即 y=2x﹣1,当 x=0 时, y=0,故 B 错误,

对于 C,y=﹣f(x)是由 y=f(x)的图象关于 x 轴对称得到,即 y=﹣2x 当 x=0 时,y=﹣1,故 C 正确, 对于 D,y=f(|x|)是由 y=f(x)的图象右边的不变,左边的是由右边的沿 y 轴对折形成的, 故 D 错误, 故选:C. 【点评】本题考查了图象的变换,关键是掌握变化的性质,属于基础题. 5.指数函数 y=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的和为 6,则 a=( A.2 B.3 C.2 或 D. )

【考点】函数的值域. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】由于指数函数 y=ax 在[1,2]上是一个单调函数,故函数在这个区间上的最值一定在 端点处取到,由此知,求出两个函数端点处的函数值,由它们的和是 3 建立关于参数 a 的方程 解出答案,再选出正确选项 【解答】解:由题意,指数函数 y=ax 在[1,2]上是单调函数,故函数的最值在区间的两个端 点处取到, 又指数函数 y=ax 在[1,2]上的最大值与最小值的和为 6, ∴a+a2=6,解得 a=2,或 a=﹣3(舍去) 故选:A. 【点评】本题考查指数函数单调生的应用,熟练掌握指数函数单调性,由性质判断出最值在 何处取到是解题的关键,由指数函数的单调性判断出函数最值在区间的两个端点处取到是解 题的难点,重点. 6.若 0<a<1,则下列不等式中正确的是( A. C.(1﹣a)3>(1+a)2 )

B.log(1﹣a)(1+a)>0 D.(1﹣a)1+a>1

【考点】指数函数单调性的应用. 【专题】计算题. 【分析】观察选项,考虑函数 y=(1﹣a)x、y=log(1﹣a)x 等函数的单调性并引入变量 0 和 1 来比较选项中数的大小即可

【解答】解:∵0<a<1,∴0<1﹣a<1,1<a+1<2,∴y=(1﹣a)x 是减函数∴ > ,故 A 对,

因为 y=log(1﹣a)x 是减函数∴log(1﹣a)(1+a)<log(1﹣a)1=0,故 B 错, ∵y=(1﹣a)x 是减函数且 y=(1+a)x 是增函数,∴(1﹣a)3<(1﹣a)0=1<(1+a)2 故 C 错, ∵y=(1﹣a)x 是减函数,∴(1﹣a)1+a<1=(1﹣a)0 故 D 错. 故选:A. 【点评】本题主要考查对数函数、指数函数的图象与性质,属于基础题. 7.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,都有 f(x)=f(4﹣x),且 x∈(0,2) 时,f(x)=x+1,则 f(5)等于( A.﹣2 B.2 C.0 D.1 )

【考点】函数的值. 【专题】计算题;函数思想;函数的性质及应用. 【分析】利用函数的奇偶性以及已知条件化简求解即可. 【解答】解:定义在 R 上的奇函数 f(x)满足:对任意的 x∈R,都有 f(x)=f(4﹣x),且 x∈(0,2)时,f(x)=x+1, 则 f(5)=f(4﹣5)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣(1+1)=﹣2. 故选:A. 【点评】本题考查抽象函数的应用,函数值的求法,考查计算能力. 8.已知 f(3 A.(0, ) )的定义域是[﹣1,1],则 f(log3x)的定义域是( B.[ ,3] C.[3,+∞) D.(0,3] )

【考点】函数的定义域及其求法. 【专题】计算题;函数思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】由 f(3 )的定义域是[﹣1,1],求解指数不等式得到 f(x)的定义域,进一

步求解对数不等式得到 f(log3x)的定义域. 【解答】解:∵f(3 ∴x2﹣1∈[﹣1,0],则 )的定义域是[﹣1,1],即﹣1≤x≤1, ,



,解得 ,3].



∴f(log3x)的定义域是[ 故选:B.

【点评】本题考查函数的定义域及其求法,关键是掌握该类问题的解决方法,是基础题. 9.函数 围是( ) B.(﹣5,﹣4] C.(﹣∞,﹣4] D.[﹣4,0) 在区间[﹣1,+∞)上是减函数,则实数 a 的取值范

A.(﹣∞,﹣5)∪[﹣4,+∞) 【考点】复合函数的单调性. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】利用换元法,结合复合函数单调性之间的关系进行求解即可. 【解答】解:设 t=g(x)=2x2﹣ax+3,则 t=log t 为减函数,

若函数

在区间[﹣1,+∞)上是减函数,

则等价为 t=g(x)在区间[﹣1,+∞)上是增函数, 且满足 g(﹣1)>0, 即 即﹣5<a≤4, 故选:B. 【点评】本题主要考查复合函数单调性的应用,利用换元法结合一元二次函数的单调性的性 质是解决本题的关键. ,即 ,

10. = 若函数 f (x)

, 若f (a) >f (﹣a) , 则实数 a 的取值范围是(

)

A.(﹣1,0)∪(0,1) B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞) C.(﹣1,0)∪(1,+∞) D.(﹣∞,﹣1)∪(0,1) 【考点】对数值大小的比较. 【专题】函数的性质及应用.

【分析】由分段函数的表达式知,需要对 a 的正负进行分类讨论. 【解答】解:由题意



故选 C. 【点评】 本题主要考查函数的对数的单调性、 对数的基本运算及分类讨论思想, 属于中等题. 分 类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解,解对数不等式既要注意真数大于 0,也要注意底 数在(0,1)上时,不等号的方向不要写错. 11.当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( A.(0, ) B.( ,1) C.(1, ) ) D.( ,2)

【考点】对数函数图象与性质的综合应用. 【专题】计算题;压轴题. 【分析】由指数函数和对数函数的图象和性质,将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以 解决即可 【解答】解:∵0<x≤ 时,1<4x≤2 要使 4x<logax,由对数函数的性质可得 0<a<1, 数形结合可知只需 2<logax, ∴



对 0<x≤ 时恒成立



解得 故选 B

<a<1

【点评】本题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质,不等式恒成立问题的一般解法, 属基础题 12.设定义在区间(﹣b,b)上的函数 则 ab 的取值范围是( A. B. ) C. D. 是奇函数(a,b∈R,且 a≠﹣2),

【考点】对数函数图象与性质的综合应用;函数奇偶性的性质. 【专题】综合题. 【分析】根据定义在区间(﹣b,b)上的函数 的取值范围,从而可求 ab 的取值范围. 【解答】解:∵定义在区间(﹣b,b)上的函数 ∴f(﹣x)+f(x)=0 ∴ ∴ ∴1﹣a2x2=1﹣4x2 ∵a≠﹣2 是奇函数 是奇函数,可确定 a=2,及 b

∴a=2 ∴ 令 ,可得 ,∴

∵a=2,∴ab 的取值范围是 故选 A. 【点评】本题考查函数的性质,考查指数函数的单调性,解题的关键是确定 a 的值,及 b 的取 值范围. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.已知 f(x)=1+loga 的图象过定点 P,则 P 的坐标为(2,1).

【考点】指数函数的单调性与特殊点. 【专题】函数思想;数形结合法;函数的性质及应用. 【分析】根据对数函数 y=logax 的图象过定点 P(1,0),求出函数 f(x)图象过定点 P 的坐 标. 【解答】解:当 此时 f(x)=1+0=1; 所以函数 f(x)=1+loga 故答案为:(2,1). 【点评】本题考查了对数函数图象过定点的应用问题,是基础题目. 14.已知函数 f(x)=2x+1,则 f[f(x)]=4x+3. 【考点】函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】由函数的性质得 f[f(x)]=2(2x+1)+1,由此能求出结果. 【解答】解:∵函数 f(x)=2x+1, ∴f[f(x)]=2(2x+1)+1=4x+3. 故答案为:4x+3. 【点评】本题考查函数的解析式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意函数性质的合 理运用. 15.已知函数 f(x)=lgx,若 f(ab)=1,则 f(a2)+f(b2)=2. 的图象过定点 P(2,1). =1,即 x=2 时,loga =0,

【考点】对数的运算性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】由函数 f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1,知 f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2=2lg(ab).由 此能求出结果. 【解答】解:∵函数 f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1, f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2 =lg(ab)2=2lg(ab)=2. 故答案为:2. 【点评】本题考查对数的运算性质,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 16.已知非空集合 A={x|﹣1≤x≤a},B={y|y=﹣2x,x∈A},C={y|y= 实数 a 的取值范围是[﹣1+ ,+∞). ,x∈A},若 C?B,则

【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】计算题;集合思想;分析法;集合. 【分析】根据条件先求出集合 B,C,利用条件 C?B,即可求实数 a 的取值范围. 【解答】解:∵非空集合 A={x|﹣1≤x≤a},∴a≥﹣1, ∴B={y|y=﹣2x,x∈A}={y|y=﹣2x,﹣1≤x≤a}={y|﹣2a≤y≤2}, C={y|y= ∵C?B, ∴ , ,x∈A}={y| ≤y≤1},

解得 a≥﹣1+ 故实数 a 的取值范围是[﹣1+ 故答案为:[﹣1+ ,+∞). ,+∞),

【点评】本题主要考查集合关系的应用,利用集合之间的关系求出集合 B,C 是解决本题的关 键,属于基础题. 三、解答题(本大题共 6 道题,17 题 10 分,其余每题 12 分,共 70 分.) 17.求值

(1)log

2﹣log3

+

﹣5



(2)已知 2x=3y,且 + =1,求 x,y. 【考点】对数的运算性质;有理数指数幂的化简求值. 【专题】转化思想;数学模型法;函数的性质及应用. 【分析】(1)利用对数的运算法则即可得出; (2)利用指数与对数的运算法则即可得出. 【解答】解:(1)原式=log34﹣log3 = ﹣3 +log38﹣3

=log39﹣3=﹣1. (2)令 2x=3y=k>0,k≠1. 则 x=log2k,y=log3k, ∴ , = ,

且 + =1, ∴ 解得 k=6. ∴x=log26,y=log36. 【点评】本题考查了指数与对数的运算法则,考查了推理能力与计算能力,属于中档题. 18.已知全集 U=R,集合 A={x|﹣7≤2x﹣1≤7},B={x|m﹣1≤x≤3m﹣2}. (1)m=3 时,求 A∪(?UB); (2)若 A∩B=B,求实数 m 的取值范围. 【考点】交、并、补集的混合运算. 【专题】计算题;集合思想;分类法;集合. 【分析】(1)把 m=3 代入确定出 B,求出 A 与 B 补集的并集即可; (2)由 A 与 B 的交集为 B,得到 B 为 A 的子集,分 B 为空集与 B 不为空集两种情况求出 m 的范围即可. 【解答】解:(1)把 m=3 代入得:B={x|2≤x≤7}, =1,

∴?UB={x|x<2 或 x>7}, ∵A={x|﹣7≤2x﹣1≤7}={x|﹣3≤x≤4}, ∴A∪(?UB)={x|x≤4 或>7}; (2)∵A∩B=B, ∴B?A, ∴当 B=?,即 m﹣1>3m﹣2,此时 m< ;

当 B≠?,即 m﹣1≤3m﹣2,此时 m≥ ,则有



解得:﹣2≤m≤2,此时 ≤m≤2, 综上,m 的范围是{m|m≤2}. 【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 19. 0) +∞) f =lg ∪ 已知函数 f (x) 是奇函数, 且定义域为 (﹣∞, (0, . 若 x<0 时, (x) (1)求 f(x)的解析式; (2)解关于 x 的不等式 f(x)>0. 【考点】函数单调性的性质;函数解析式的求解及常用方法. 【专题】计算题;转化思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)设 x>0,则﹣x<0,代入已知解析式得 f(﹣x)的解析式,再利用奇函数的定 义,求得函数 f(x)(x<0)的解析式, (2)原不等式化为 ,或 ,根据对数的性质,解得即可. .

【解答】解:(1)设 x>0,则﹣x<0, ∴f(﹣x)=lg ,

∵函数 f(x)是定义域为 R 的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x), ∴f(x)=﹣f(﹣x)=﹣lg ,

∴f(x)=



(2)f(x)>0, ∴ ,或 ,





解得 0<x<1,或 x<﹣2, 故不等式的解集为(﹣∞,﹣2)∪(0,1). 【点评】本题主要考查了利用函数的奇偶性和对称性求函数解析式的方法,以及不等式组的 解法和对数的性质,体现了转化化归的思想方法,属于中档题. 20.已知 f(x)=﹣x2+ax﹣a+6,x∈[0,1]. (1)求 f(x)的最小值 g(a); (2)若 g(a)>a2,求 a 的取值范围. 【考点】二次函数在闭区间上的最值. 【专题】函数思想;综合法;函数的性质及应用. 【分析】(1)先求出函数的对称轴,通过讨论 a 的范围,得到函数的单调性,从而求出函数 的最小值,得到 g(a)的解析式即可; (2)分别解出关于不同范围内的 a 的不等式,取并集即可. 【解答】解:(1)函数 f(x)的对称轴是 x= , 当 ≤0 即 a≤0 时:f(x)在[0,1]递减, g(a)=f(x)min=f(1)=5, 0< < 即 0<a<1 时:f(x)在[0, )递增,在( ,1]递减, g(a)=)=f(x)min=f(1)=5, ≤ <1 即 1≤a<2 时:f(x)在[0, )递增,在( ,1]递减, g(a)=)=f(x)min=f(0)=6﹣a, ≥1 即 a≥1 时:f(x)在[0,1]递增, g(a)=)=f(x)min=f(0)=6﹣a, 综上:g(a)= ;

(2)由(1)得:a<1 时:5>a2,解得:﹣ a≥1 时:6﹣a>a2,解得:1≤a<2, 故 a 的范围是:(﹣ ,2).

<a<1,

【点评】本题考查了二次函数的性质,考查解不等式问题,考查分类讨论,是一道中档题. 21.已知函数 f(x)= + (a>0,a≠1).

(1)求函数 f(x)的定义域; (2)判断函数 f(x)的奇偶性; (3)求 a 的取值范围,使 xf(x)>0 在定义域上恒成立. 【考点】函数恒成立问题;函数奇偶性的判断. 【专题】计算题;转化思想;分析法;函数的性质及应用. 【分析】(1)要使函数有意义,只需 ax﹣1≠0; (2)利用函数奇偶性的定义即可判断; (3)问题等价于 f(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,对不等式化简可求; 【解答】解:(1)由 ax﹣1≠0,解得 x≠0, ∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}, (2)f(﹣x)= (x), ∴函数 f(x)为奇函数, (3)∵f(x)为奇函数, ∴xf(x)为偶函数, ∴xf(x)>0 在定义域上恒成立问题等价于 f(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,即 0 恒成立, 亦即 >0,所以 ax﹣1>0 即 ax>1 在(0,+∞)上恒成立, > + = + = + =﹣ ﹣ =﹣( + )=﹣f

所以 a>1,故实数 a 的取值范围是(1,+∞). 【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断及其应用,考查恒成立问题,考查转化思想, 属中档题.

22.函数 f(x)对任意 a,b∈R,有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1,且当 x>0 时,f(x)>1. (Ⅰ)求证:f(x)是 R 上的增函数; (Ⅱ)若 f(﹣4)=5,解不等式 f(3m2﹣m﹣3)<2. 【考点】抽象函数及其应用. 【专题】计算题;证明题;转化思想;综合法;函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 【分析】(Ⅰ)设实数 x1<x2,则 x2﹣x1>0,利用已知可得 f(x2﹣x1)>1.再利用已知可 得 f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1)即可; (Ⅱ)令 a=b=﹣2,以及 a=b=﹣1,解得 f(﹣2)=3,f(﹣1)=2,不等式 f(3m2﹣m﹣3) <2.化为 f(3m2﹣m﹣3)<f(﹣1),由(1)可得:f(x)在 R 上是增函数.可得 3m2﹣ m﹣3<﹣1,解得即可. 【解答】解:(Ⅰ)证明:设 x1<x2,则 x2﹣x1>0, ∵当 x>0 时,f(x)>1,∴f(x2﹣x1)>1. 又函数 f(x)对任意 a,b∈R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)﹣1, ∴f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣1>1+f(x1)﹣1=f(x1), ∴f(x2)>f(x1), ∴f(x)在 R 上是增函数; (Ⅱ)令 a=b=﹣2,则 f(﹣2﹣2)=f(﹣2)+f(﹣2)﹣1=5,解得 f(﹣2)=3, 再令 a=b=﹣1,则 f(﹣1﹣1)=f(﹣1)+f(﹣1)﹣1=3,解得 f(﹣1)=2. 不等式 f(3m2﹣m﹣3)<2.化为 f(3m2﹣m﹣3)<f(﹣1). 由(1)可得:f(x)在 R 上是增函数. ∴3m2﹣m﹣3<﹣1,解得﹣ <m<1. ∴不等式 f(3m2﹣m﹣3)<2 的解集为(﹣ ,1). 【点评】本题考查了抽象函数的单调性、求值、解不等式等基础知识与基本方法,考查了灵 活应用知识解决问题的能力,属于中档题.


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