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正弦定理余弦定理综合应用

时间:2016-07-28


一、知识梳理
1.内角和定理:在 ?ABC 中, A ? B ? C ? ? ; sin( A ? B) ? sin C ; cos( A ? B) ? ? cos C

面积公式:

S?ABC ?

1 1 1 ab sin C ? bc sin A ? ac sin B 2 2 2 在三角形中大边对大角,反之亦然.

2.正弦定理:在一个三角形中,各边和它的所对角的正弦的比相等.

a b c ? ? ? 2R 形式一: sin A sin B sin C

(解三角形的重要工具)

形式二:

?a ? 2 R sin A ? ?b ? 2 R sin B ?c ? 2 R sin C ?

(边角转化的重要工具)

形式三: a : b : c ? sin A : sin B : sin C

sin A ?
形式四:

a b c ,sin B ? ,sin C ? 2R 2R 2R

3.余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.. 形式一: a ? b ? c ? 2bc cos A
2 2 2

b2 ? c 2 ? a 2 ? 2 cc ao s B c2 ? a2 ? b2 ? 2ab cos C (解三角形的重要工具)
cos B? a 2 ? c 2? b 2 a 2 ? b 2? c 2 cos C? 2ac 2ab

cos A ?
形式二:

b2 ? c2 ? a 2 2bc

二、方法归纳
a b c ? ? (1)已知两角 A、B 与一边 a ,由 A+B+C=π 及 sin A sin B sin C ,可求出角 C,再求 b 、 c .
(2)已知两边 b 、 c 与其夹角 A,由 a = b + c -2 b c cosA,求出 a ,再由余弦定理,求出角 B、C.
2 2 2

(3)已知三边 a 、 b 、 c ,由余弦定理可求出角 A、B、C.

a b ? (4)已知两边 a 、 b 及其中一边的对角 A,由正弦定理 sin A sin B ,求出另一边 b 的对角 B,由 C=π -(A+B),求
a c a b ? ? 出 c ,再由 sin A sin C 求出 C,而通过 sin A sin B 求 B 时,可能出一解,两解或无解的情况

a = b sinA 有一解

b > a > b sinA 有两解

a ≥ b 有一解

a > b 有一解

三、课堂精讲例题
问题一:利用正弦定理解三角形 【例 1】在 ?ABC 中,若 b ? 5 , ?B ?

?
4

, sin A ?

1 ,则 a ? 3

.

【例 2】在△ABC 中,已知 a = 3 , b = 2 ,B=45°,求 A、C 和 c .

【解析】

【思考】 从所得到式子看, 为什么会有两解: sinA =

3 ,在 (0, ? ) 上显然有两个解。y 2

? sin x 在 (0, ? ) 上的值域为 (0,1】 ,

n i s x 1 ? 在 (0, ? ) 只有
【适时导练】

x?

?
2 一解。

1.(1)△ABC 中, a =8,B=60°,C=75°,求 b ;

(2)△ABC 中,B=30°, b =4,c=8,求 C、A、a.

问题二:利用余弦定理解三角形 【例 3】设 ?ABC 的内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c .已知 a ? 1 , b ? 2 , cosC ? (Ⅰ)求 ?ABC 的周长; (Ⅱ)求 cos? A ? C ? 的值. 【解题思路】本小题主要考查三角函数的基本公式和余弦定理,同时考查基本运算能力

1 . 4

【注】常利用到的三角公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式:
令? ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ??? ? sin 2? ? 2sin ? cos ?

令? ? ? cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ??? ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ?

                        ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan ? ? tan ? 1+cos2?         ? cos 2 ?= 1 ? tan ? tan ? 2 1 ? cos2?                      ? sin 2 ?= 2 2 tan ?     tan 2? ? 1 ? tan 2 ?   tan ?? ? ? ? ?
【例 4】 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,且 3 b +3 c -3 a =4 2 b c .
2 2 2

2sin( A ? )sin( B ? C ? ) 4 4 的值. (Ⅰ) 求 sinA 的值;(Ⅱ)求 1 ? cos 2 A

?

?

【适时导练】 2 在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A, B, C 的对边, 且

cos B b =. (1) 求角 B 的大小; (2) 若 b = 13 , cos C 2a ? c

a + c =4,求△ABC 的面积.
2

问题三:正弦定理余弦定理综合应用 【例 5】 在 ? ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a , b ,c.已知 (I)求

cos A-2cos C 2c-a . = cos B b

sin C 的值; sin A

(II)若 cosB=

1 , ? ABC 的周长为 5,求 b 的长。 4

【解题思路】通过正弦定理将边化成正弦,在通过和角公式进行化简。

【思考】到底“具体什么情况下边化角,什么情况下角化边”

cos C 3cos ? sin A , C 【例 6】 在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、b 、c ,已知 a ? c ? 2b ,且 sin A
2 2



b 【解题思路】对已知条件(1) a ? c ? 2b 左侧是二次的右侧是一次的,可以考虑余弦定理;而对已知条件(2)
2 2

sin A cos C ? 3cos A sin C, 化角化边都可以。

【思考】面对解三角形,可以考虑正弦定理,也可以考虑余弦定理,两种方法只是计算量上的差别。 【适时导练】 3. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且 8 sin2

B?C -2 cos 2A=7. 2

(1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,b+c=3,求 b 和 c 的值.

问题四:三角恒等变形

a c 的值; 【例 7】 设 ?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a ,b,c, 且 A= 60 , c=3b.求: (Ⅰ) (Ⅱ) cotB +cot C 的值.
?

【解

a b; 题思路】求 c 的值需要消去角和 三角求值问题一般先考虑寻找角之间的关系

【思考】在解三角形的背景下一般见“切割化弦” , 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系: (2)商数关系: 【适时导练】4.(2009 江西卷理)△ ABC 中, A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,

tan C ?

sin A ? sin B , sin( B ? A) ? cos C .(1)求 A, C ; (2)若 S?ABC ? 3 ? 3 ,求 a, c . cos A ? cos B
3

问题五:判断三角形形状 【例 8】在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,bcosA= a cosB,试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解题思路】判定三角形形状时,一般考虑两个方向进行变形: (1)一个方向是边,走代数变形之路,通常是正、余 弦定理结合使用; (2)另一个方向是角,走三角变形之路.通常是运用正弦定理 【解析】

. 【思考】判断三角形形状时一般从角入手,利用三角形内角和定理,实施关于三角形内角的一些变形公式. cosA b 【例 9】. 在△ABC 中,在 ?ABC 中, a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,若cosB =a , 试判断 ?ABC 三角形的形状. 【解析】 :

【适时导练】5.在△ABC 中,若 2cosBsinA=sinC,则△ABC 的形状一定是( A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形



【解析】2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)又∵2sinAcosB=sinC,∴sin(A-B)=0,∴A=B 6.在△ABC 中, a 、 b 、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果( a +b )sin(A-B)=( a -b )sin(A+B) ,判
2 2 2 2

断三角形的形状. 问题六:与其他知识综合 【例 10】已知向量 m ? (a ? c, b), n ? (a ? c, b ? a), 且m ? n ? 0 ,其中 A,B,C 是△ABC 的内角,a , b ,c 分别是角 A, B,C 的对边 .(1)求角 C 的大小; (2)求 sin A ? sin B 的取值范围. 【解题思路】向量的数量积运算法则。向量垂直的判定。

【思考】坐标运算:设 a ? ( x1, y1 ), b ? ( x2 , y2 ) ,则:

?

?

向量的加减法运算: a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 。

? ?

实数与向量的积: ? a ? ? ? x1 , y1 ? ? ? ? x1 , ? y1 ? 。 平面向量数量积: a ? b ? x1x2 ? y1 y2 = a b cos ? 【适时导练】7 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且满足 cos (I)求 ?ABC 的面积; 问题 7:三角实际应用 (II)若 c ? 1 ,求 a 的值.

?

? ?

? ?

? ??? ? A 2 5 ??? ? , AB ? AC ? 3 . 2 5

4


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