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2.3平面向量的基本定理及坐标表示(三)_图文

时间:2012-11-06

2.3平面向量的基本 定理及坐标表示

复习 平面向量基本定理:
如果 e1 , e 2 是同一平面内两个不 共线的向量,那么对这 一平面内任 ? 意一个向量a , 有且只有一对实数 ? ?1 , ? 2 , 使 a ? ?1 e1 ? ? 2 e 2 .

复习 平面向量基本定理:
(1)我们把不共线向量 1,2 叫做表示 e e 这一平面内所有向量的 一组 基底 .

复习 平面向量基本定理:
(1)我们把不共线向量 1,2 叫做表示 e e 这一平面内所有向量的 一组 基底 .

(2)基底不惟一,关键是不共线;

复习 平面向量基本定理:
(1)我们把不共线向量 1,2 叫做表示 e e 这一平面内所有向量的 一组 基底 .

(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量 在给出基底 a e1、 2的条件下进行分解; e

复习 平面向量基本定理:
(1)我们把不共线向量 1,2 叫做表示 e e 这一平面内所有向量的 一组 基底 .

(2)基底不惟一,关键是不共线;
(3)由定理可将任一向量 在给出基底 a e1、 2的条件下进行分解; e

(4)基底给定时 分解形式惟一 ?1、 2 , , ? 是被a、 1、 2 惟一确定的数量 e e .

平面向量的坐标表示
在平面坐标系内,我们 分别取与x轴、 y轴方向相等的两个单位 向量i 、作为基底, j 任作一个向量 ,由平面 a 向量基本定理可知,有 且只有一对实数 、y, x 使得a ? x i ? y j .
j

y

a

O i

x

平面向量的坐标表示
我们把( x , y )叫做向量a的(直角)坐标, 记作a ? ( x,y ).其中x叫做a在x轴上的坐 标,y叫做a在y轴上的坐标 .
y

特别地, i ? (1, 0), j ? (0, 1), 0 ? (0, 0).
j

a

O i

x

平面向量的坐标运算
? ? a ? b ? ( x1 ? x 2,y1 ? y2 ) ? ? a ? b ? ( x1 ? x 2,y1 ? y2 ) ? ?a ? (?x , ?y )

两个向量和与差的坐标分别等于这 两个向量相应坐标的和与差. 实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的相应坐标.

平面向量的坐标运算
若A( x1 , y1 ), B( x 2 , y2 ), 则 AB ? ( x 2 ? x1 , y2 ? y1 ).

一个向量的坐标等于表示此向量的 有向线段的终点坐标减去始点的坐标. 向量 AB 的坐标与以原点为始点、 点P为终点的向量的坐标是相同的.

练习
1. 若M ( 3,?2), N ( ?5,?1)且 MP ? 求P点的坐标. 1 2 MN ,

2. 若A(0, 1), B(1, 2), C ( 3, 4), 则 AB ? 2 BC ? .

3. 已知四点A(5,1), B( 3,4), C (1,3), D(5,?3), 如何求证四边形 ABCD是梯形?

讲授新课

思考
1. 两个向量共线的条件是什么? 2. 如何用坐标表示两个共线向量?

推导过程:
? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0.

推导过程:
? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0. ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )

推导过程:
? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0. ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ? x 2 ?? , ? y1 ? ?y 2

推导过程:
? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0. ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ? x 2 ?? , 消去?:x1 y2 ? x2 y1 ? 0. ? y1 ? ?y 2

推导过程:
? ? ? 设a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), 其中b ? 0. ? ? 由a ? ?b 得:( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 )
? x1 ? ? x 2 ?? , 消去?:x1 y2 ? x2 y1 ? 0. ? y1 ? ?y 2

? ? ? ? a与b 共线 (b ? 0) 当且仅当 x1 y 2 ? x 2 y1 ? 0时.

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?

2. 能不能写成

y1 x1

?

y2 x2

?

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
不能两式相除, y1 , y2 有可能为 0, ? ? ? 又b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为0 .

2. 能不能写成

y1 x1

?

y2 x2

?

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
不能两式相除, y1 , y2 有可能为 0, ? ? ? 又b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为0 .

2. 能不能写成

y1 x1

?

y2 x2

?

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
不能两式相除, y1 , y2 有可能为 0, ? ? ? 又b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为0 .

2. 能不能写成

y1 x1

?

y2 x2

?

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ? ? ? a ? ?b ? ? ? ?
a // b (b ? 0) ?

探究:
1. 消去?时能不能两式相除 ?
不能两式相除, y1 , y2 有可能为 0, ? ? ? 又b ? 0, ? x2 , y2中至少有一个不为0 .

2. 能不能写成

y1 x1

?

y2 x2

?

不能, ? x1 , x2 有可能为0 .

3. 向量共线有哪两种形式 ? ? ? a ? ?b ? ? ? ?

a // b (b ? 0) ? x y ? x y ? 0 . 1 2 2 1

讲解范例
例1.
已知a ? (4, 2), b ? (6, y ), 且

a // b, 求y .

讲解范例
例2. 已知A(?1, ?1),B(1, 3),C(2, 5),
试判断A,B,C三点之间的位置关系.

讲解范例
例3. 若向量a ? ( ?1, x )与b ? ( ? x , 2)
共线且方向相同 求x . ,

讲解范例
例4. 已知A( ?1, ?1), B(1, 3), C (1, 5),
D( 2, 7 ), 向量 AB与CD平行吗? 直线 AB平行于直线 吗 ? CD

讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点,P1、 P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点 P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐标.

讲解范例
例5. 设点P是线段P1P2上的一点,P1、 P2的坐标分别是(x1, y1),(x2, y2). (1)当点P是线段P1P2的中点时,求点 P的坐标; (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点 时,求点P的坐标. 思考.
?(1)中P1P:PP2=? ?(2)中P1P:PP2=?

若P1P:PP2=?如何求点P的坐标?

练习

教材P.101练习第4、5、6、7题.

课堂小结
1. 平面向量共线的坐标表示;

2. 平面上两点间的中点坐标公式及
定点坐标公式;

3. 向量共线的坐标表示.

课后作业
1. 阅读教材P.98到P.100;

2. 《习案》作业二十二.

课后思考
1. 若a ? ( 2, 3), b ? ( ?4, ?1 ? y ), 且a // b, 则y ? ( )

A. 6

B. 5

C. 7

D. 8

2. 若A(x, -1),B(1, 3),C(2, 5)三点共线, 则x的值为( ) A. -3 B. -1 C. 1 D. 3

课后思考
3. 若 AB ? i ? 2 j , DC ? ( 3 ? x )i ? ( 4 ? y ) j ( 其中i , j的方向分别与 轴、y轴正方向相 x 同且为单位向量 AB与DC共线,则x、y ), 的值可能分别为 ( )

A. 1, 2

B. 2, 2

C. 3, 2

D. 2, 4

课后思考
4. 已知a ? (4, 2), b ? ( 6, y ), 且a // b, 则y ? .

5. 已知a ? (1, 2), b ? ( x , 1), 若a ? 2b 与2a ? b平行, 则x的值为 .

6. 已知平行四边形ABCD四个顶点的坐 标为A(5, 7),B(3, x),C(2, 3),D(4, x), 则x= .


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