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1.3.1函数的单调性与导数-用_图文

时间:2018-05-16

单调性的定义

一般地,设函数 y=f(x) 的定义域为 I ,如果对于定义域 I 内的某个区间D内的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,

(1)都有f(x1)<f(x2),那么说f(x)在区间D上是增函数.
(2) 都有 f(x 1 ) ? f(x 2 ) ,那么说 f(x) 在区间 D 上是减函 数. 定义的变形:(x1-x2)【f(x1)-f(x2)】?0. 表现在图像上: 增升,减降



(x1-x2)【f(x1)-f(x2)】<0. 减

判断函数单调性有哪些方法?

定义法 图象法
基本初等函数法

y

y ? x2

减 函数, 函数在 ( ?? , 0) 上为____ 增 函数。 在 (0, ?? ) 上为____

o

x

思考:那么如何求出下列函数的单调性呢? (1)f(x)=2x3-6x2+7 (2)f(x)=ex-x+1 (3)f(x)=sinx-x 发现问题:用单调性定义讨论函数单调性虽然 可行,但十分麻烦,尤其是在不知道函数图象

时。例如:2x3-6x2+7,是否有更为简捷的方法
呢?下面我们通过函数的y=x2-4x+3图象来

考察单调性与导数有什么关系

再观察函数y=x2-4x+3的图象: y

0

. . . . . ..
2

总结: 该函数在区 间(-∞,2)上单 减,切线斜率小于0, 即其导数为负; 在区间(2,+∞) 上单增,切线斜率大 于0,即其导数为正. 而当x=2时其切线 斜率为0,即导数为0. 函数在该点单调性 发生改变.

x

观察下面一些函数的图象, 探讨函数的单调性与其导函 数正负的关系. 3
y
y=x

y

y=

x2

y

y=x

y

y?
O x x O

1 x
x

O

x

O

在某个区间(a, b)内,

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0 ? f ( x)在(a, b)内单调递减

注意:应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必是定义域内的某个区间。

课本思考
思考1:如果在某个区间内恒有 f '( x ) ? 0,那么函数f ( x ) 有什么特性? f ( x )是常数函数。 思考2:结合函数单调性的定义,思考某个区间上函数f ( x) 的平均变化率的几何意义与导数正负的关系。

? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 表示过函数y ? f ( x) 几何意义: ?x x2 ? x1 图象上两点A(x1 , f ( x1 ))、B(x2 , f ( x2 ))的直线斜率。

关系: 当区间(x1 , x2 )的长度很小时,平均变化率可以
近似地反映函数y ? f ( x)在这个区间的单调性。

利用导数的符号来判断函数单调性:

设函数 y=f(x)在某个区间内可导 (1) 如果 f '(x)>0 ,则 f(x)为增函数; (2) 如果 f '(x)<0 ,则 f(x)为减函数.
若某个区间内恒有 f '(x)=0,则 f (x)为常数函 数.

例1、已知导函数 f '( x ) 的下列信息:

f '( x) >0; 当1<x<4时, f '( x) <0; 当x>4,或x<1时, f '( x) =0.则函数f(x)图象的大致 当x=4,或x=1时, 形状是( D )。
y y y

y ? f ( x)
o1

y ? f ( x)
o 1 4 x o1

y

y ? f ( x)
4 x o

y ? f ( x)
1
4 x

4

x

正负 导函数f’(x)的------与原函数f(x)的增减性有

A

B

C

D

理解训练:

1:求函数

y ? 3 x 3 ? 3 x 2 的单调区间。
2

y ' ? 9 x ? 6 x ? 3 x(3 x ? 2) 2 令y ' ? 0得x ? 或x ? 0 3 2 令y ' ? 0得0 ? x ? 3 2 3 2 ? y ? 3 x ? 3 x 的单调递增区间为 ( ?? , 0),( , ?? )

解:

3

利用导数确定函数的单调性的步骤:

(1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求出函数的导数; ( 3) 解不等式 f ?(x)>0,得函数的单调递增区间; 解不等式 f ?(x)<0,得函数的单调递减区间.

例2、判断下列函数的单调性,并求出 单调区间: (1) f(x)=x3+3x ; 解: f ?( x) =3x2+3=3(x2+1)>0 从而函数f(x)=x3+3x 在x∈R上单调递增, 见右图。
o

y

x

f ( x) ? x3 ? 3x

(2) f(x)=sinx-x ; x∈(0,p)
解: f ?( x) =cosx-1<0 从而函数f(x)=sinx-x 在x∈(0,p)单调递减, 见右图。
y

o
f ( x) ? sin x ? x

x

例3 如图, 水以常速(即单位时间内注入水的体 积相同)注入下面四种底面积相同的容器中, 请 分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函 数关系图象.

h

h

h

h

O

(A)

t

O

(B)

t

O

(C)

t

O

t (D)

一般地, 如果一个函数在某一范围内导数
的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得

快, 这时, 函数的图象就比较“陡峭”(向上
或向下); 反之, 函数的图象就“平缓”一些. 如图,函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a,0)内的图

象“陡峭”,在 (b,??)
或 (??, a)

内的图象平缓.

设 f '( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数, y ? f '( x ) 的图象如 右图所示,则 y ? f ( x )的图象最有可能的是( C )
y

y ? f ( x)
1 2
x o

y

y

y ? f ( x)
1 2 x

y ? f '( x )
2 x

o

o

(A)
y

(B)
y

y ? f ( x)
2

y ? f ( x)
1 2
x

o

1

x

o

(C)

(D)

函数f ( x ) ? x ? ax ? bx ? c , 其中a , b, c为常数,
3 2

当a 2 ? 3b ? 0时,f ( x )在R上( A ) ( A)增函数 ( B )减函数 (C )常数 ( D )既不是增函数也不是减函数

求参数的取值范围

例1:求参数的范围 若函数f(x)? ax - x ? x - 5在(-?,+?)上单调递增,
3 2

求a的取值范围

1 a? 3

a 已知函数f(X) ? x ? (x ? 0), x 在?2, ? ? )为增函数,求 a的范围。
2

?- ?, 16?

证明问题:当x>0时,证明不等式:1+2x<e2x.
分析:假设令f(x)=e2x-1-2x.∵f(0)=e0-1-0=0, 如果能够证明f(x)在(0,+∞)上是增函数,那么 f(x)>0,则不等式就可以证明. 证明:令f(x)=e2x-1-2x. ∴f′(x)=2e2x-2=2(e2x-1) ∵x>0,∴e2x>e0=1,∴2(e2x-1)>0, 即f′(x)>0 ∴f(x)=e2x-1-2x在(0,+∞)上是增函数. ∵f(0)=e0-1-0=0. ∴当x>0时,f(x)>f(0)=0,即e2x-1-2x>0. ∴1+2x<e2x 点评:所以以后要证明不等式时,可以利用函数 的单调性进行证明,把特殊点找出来使函数的值 为0.

练习: 已知 x ? 1 ,求证: x ? ln( x ? 1)

提示:运用导数判断单调性,

根据函数的单调性比较函数值大小

3.设f (x) = ax3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范 围,并求其单调区间。
2 ? 解: f ? x ) ? 3ax ? 1,

? f ? x ) 只有一个单调区间,与题意不符.
1 ? 1 ?? 1 ? ? ? 2 若a<0,则f ? ? x ) ? 3a ? x ? x? , ? ? 3a ? x ? ?? ? ?3a ? ?3a ?? ?3a ? ? ?

若a ? 0, 则f ? ? x ) 在(-?, ??)恒正,

1 1 ? a ? 0时, f ? x ) 有三个单调区间,(-?,],[ , ??) -3a -3a 1 ? ? 1 为它的减区间,? ? , 为它的增区间. ? ? -3a -3a ?

例3:方程根的问题
1 求证:方程 x ? sin x ? 0 只有一个根。 2

1 f ( x ) ? x - sin x,x ? ( ?? , ?? ) 2 1 f '( x ) ? 1 ? cos x ? 0 2 ? f(x)在( ? ?, ? ?)上是单调函数, 而当x ? 0时,( f x )=0 1 ? 方程x ? sin x ? 0有唯一的根x ? 0. 2

综合训练 1.函数y ? x cos x ? sin x在下面哪个区间内是增函数(B ) p 3p 3p 5p ( A)( , ) ( B )(p , 2p ) (C )( , ) ( D)(2p , 3p ) 2 2 2 2
解 : y? ? ( x cos x ? sin x )? ? ( x cos x )? ? cos x ? x? cos x ? x(cos x )? ? cos x ? ? x sin x ∵ ? x sin x ? 0,? x sin x ? 0 ∵ x ? (p , 2p ), x ? 0,sin x ? 0,?? x sin x ? 0

2 3 2. 已知函数 f ( x ) ? 4 x ? ax ? x ( x ? R ) 在区间 ? ?1,1? 3 上是增函数,求实数 a 的取值范围.
2

解: f ?( x) ? 4 ? 2ax ? 2x2 ,因为 f ? x ) 在区间 ??1,1? 上是增 函数, 所以 f ?( x) ≥ 0 对 x ???1,1? 恒成立, 即 x2 ? ax ? 2 ≤ 0 对 x ???1,1? 恒成立,解之得: ?1 ≤ a ≤1 所以实数 a 的取值范围为 ??1,1? .

说明:已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的 题型,常利用导数与函数单调性关系:即“若函数单调递 增,则 f ?( x) ≥ 0 ;若函数单调递减,则 f ?( x) ≤ 0 ”来求 解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解.

课外训练: 1.设 f ( x) 、 g ( x) 在 ? a, b? 上可导,且 f ?( x) ? g ?( x) , 则当 a ? x ? b 时,有( ( A) f ( x) ? g ( x) (C ) f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a)

C

) ( B) f ( x ) ? g ( x ) ( D) f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b)

C ∵ f ?( x) ? g ?( x) ,∴ f ?( x) ? g ?( x) ? 0 , ∴ ( f ( x) ? g ( x))? ? f ?( x) ? g ?( x) ? 0 ∴ f ( x) ? g ( x) 在 ? a, b? 上单调递增, ∴ f ( x) ? g ( x ) ? f ( a ) ? g ( a ) , ∴ f ( x) ? g ( a ) ? g ( x ) ? f ( a )

练习 2.函数 y ? f ( x) 的图象如图所示, 试画出导函 数 f ?( x图象 的大致形状 )

例2:

1 已知函数( f x) ? 2ax ? 2 ,x ?(0,1], x 若( f x)在x ?(0,1]上是增函数, 求a的取值范围.

2 解:由已知得 f '(x ) ? 2a ? 3 x 因为函数在(0,1]上单调递增

1 ? f '(x)>0,即a ? - 3 在x ? (0, 1]上恒成立 x 1 而g(x) ? ? 3 在(0, 1]上单调递增, x ? g(x)max ? g(1)=-1

? a ? -1

2 当a ? ?1时,f '(x) ? ?2 ? 3 x 对x ? (0, 1)也有f '(x)〉 0

? a ? -1时,( f x)在(0, 1)上是增函数
所以a的范围是[-1,+?)
在某个区间上,f '(x)>0(或<0) ,f(x)在这个区间上单调递增 (递减);但由f(x)在这个区间上单调递增(递减)而 仅仅得到 f '(x)>0(或<0) 是不够的。还有可能导数等于0 也能使f(x)在这个区间上单调, 所以对于能否取到等号的问题需要单独验证

练习1 已知函数f (x)= 2ax - x ,x ?(0, 1],a ? 0,
3

若f (x)在(0, 1]上是增函数,求a的取 值范围。

3 [ , ?? ) 2

在某个区间(a, b)内, f '( x ) ? 0 ? f ( x )在(a, b)内单调递增

f '( x ) ? 0

? f ( x)在(a, b)内单调递减

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