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2013年安徽省皖北协作区高三年级联考数学卷(文科)

时间:2013-03-31


2013 年安徽省皖北协作区高三年级联考

数学(文科)参考答案及评分标准
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.)
题号 答案 1 A 2 D 3 B 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C 9 C 10 A

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.)
11.
3 2

.

12.

4 3

.

13. 21 .

14. m ? 1 .

15. ①③ .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分.)
16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2 sin x cos x ? 2 cos x ? 1
2

? sin 2 x ? cos 2 x ?

2 sin( 2 x ?

?
4

)

????????????3 分

∴ f ( x) max ?

2.
? ?

由 2x ?

?
4

? 2 k? ?

?
2

,k ?Z ,

即 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? ∴ f( )?
2 A 2 sin( 2 ? A 2 a sin A ? b sin B ?

?

? ,k ?Z? . 8 ?

?????????????????6 分

2 sin( 2 x ?

?
4

),

?
4

)?

2 .∵ A 是Δ ABC 的内角,∴ A ?

?
4

.??????8 分

由正弦定理



2 sin

?
4

?

6 sin B

.

即 sin B ?

3 2 1 2

, 得B ?

?
3



得C ?

5? 12

.

??????????????10 分

∴ S ?ABC ?

ab sin C ?

1 2

?2?

6?

6? 4

2

?

3? 2

3

. ????????????12 分
?
4 1 2

(也可求由余弦定理 2 2 ? ( 6 ) 2 ? c 2 ? 2 ? 6 ? c ? cos

求 c ,再用 S ?ABC ?

bc sin A 求面积)

17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由频率分布直方图可知“网球爱好者”人数为
(0.0025 ? 0.0100) ? 20 ? 100 ? 25



b ? 25 ? 5 ? 20



a ? 60 ? 20 ? 40



c ? 100 ? 40 ? 20 ? 5 ? 35 .

????????????????????3 分

? ?
2

n( ad ? bc )

2

( a ? b)(c ? d )( a ? c )(b ? d )

?

100(40 ? 5 ? 20 ? 35) 60 ? 40 ? 75 ? 25

2

?

50 9

? 5.556 ??????5 分

因为 3.841 ? 5.556 ? 6.635 , 所以有 95%以上的把握认为“网球爱好者”与性别有关.?????????????6 分 (Ⅱ) 依题意得列举法可得 “网球迷” 人数为:0.0025 ? 20 ? 100 ? 5 , “网球迷” 中有 2 名女性记为 a1 , a2 ,
3 名男性记为 b1 , b2 , b3 , ??????????????????8 分

从中任意选 2 人记为数对
( a1 , a2 )、 1 , b1 )、 1 , b2 )、 1 , b3 )、 2 , b1 )、 2 , b2 )、 2 , b3 )、 1 , b2 )、 1 , b3 )、 2 , b3 ) 共 10 个. (a (a (a (a (a (a (b (b (b

至少有 1 名女性观众的数对:
( a1 , a2 )、 1 , b1 )、 1 , b2 )、 1 , b3 )、 2 , b1 )、 2 , b2 )、 2 , b3 ) 共 7 个,?????????10 分 (a (a (a (a (a (a

记“从网球迷中任意选 2 人至少有 1 名女性观众”为事件 A, P(A) = 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)连接 AC ,交 BD 于 O , 则 AO ? 面BDEF . ∴ V ? V A? BDEF ? VC ? BDEF ?
1 3 S BDEF ? AO ? 1 3

7 10

.?????12 分

F S BDEF ? CO ? 4 . ??????????6 分 E

(Ⅱ)存在, P 是 CF 的中点.理由如下: 取 BC 中点为 G ,连接 GP 、 GD , 在Δ BCF 中, G 为 BC 中点, P 是 CF 的中点, ∴ GP 是中位线 又∵ DE ?
1 2

P
D

∴ GP ?

1 2

CF , GP // CF .
o

C O A B

BF , ?EDB ? ?DBF ? 90

G

∴ DE ? GP , GP // DE . ∴四边形 GDEP 是平行四边形. ∴ PE // GD 又∵ PE ? 面ABCD , GD ? 面ABCD ,

∴ PE // 平面 ABCD . ?????????????????????????12 分 (构造平面,由面面平行得线面平行可酌情给分) 19. (本小题满分 13 分)
2 2 2 解: (Ⅰ) an ?1 ? an ?1an ? nan ? nan ?1 ,即 an ?1 (an ?1 ? an ) ? n(an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) .

又 an ? 0 ?

an ?1 an an

?

n n ?1

,

当 n ? 2 时,

?… ?

an ?1

a3 a2 n ?1 2 1 ? ? ?…? ? . a2 a1 n 3 2

?

an a1

?

1 n
1 n

,即 an ?
?

1 n

. 又 a1 ? 1 适合上式.

? an ?

, n ? N ???????????????6 分

(Ⅱ) an an ?1 ?

1 n( n ? 1)

?

1 n

?

1 n ?1

? S n ? a1a2 ? a2 a3 ? a3 a4 ? …+an an ?1 ? (1 ? 1 2
? 1? 1 n ?1

)?(

1

1 1 1 1 1 ? ) ? ( ? ) ? …+( ? )] 2 3 3 4 n n ?1

? 1.

???????????????????????10 分
1

依题意要使得 S n ?

15am am ? 2

对于 n ? N ? 恒成立,只需 m(m ? 2) ? 15 ,

解得 m ? 3 ,所以正整数 m 的最小值为 3 . 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)易得: F (?2, 0), B(0, 2) , b ?
x
2

?????????????????13 分

2, c ? 2 a ? b ? c ? 6,
2 2 2

所以椭圆的方程为:

?

y

2

? 1.

???????????????????5 分

6

2

(Ⅱ)设 C ( x1 , y1 ), D ( x2 , y2 ) .
? 3 ( x ? m) ?y ? 3 ? 2 ? 2 ?x ? 3y ? 6

消去 y 得: 2 x 2 ? 2mx ? m 2 ? 6 ? 0

由 ? =0,得m ? ?2 3 .

又m ? 0.
3 3

所以 m ? ?2 3 .



??????????8 分

所以直线的方程为 y ?

( x ? 2 3) ,即: x ?

3y ? 2 3 ? 0 .

点 F 到直线的距离 d ? 21. (本小题满分 13 分)

?2 ? 0 ? 2 3 2

?

3 ? 1 .???????????????13 分

解: (Ⅰ) f ( x) ? e ? ex ? f ?( x) ? e ? e .由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 .
x x

当 x ? 1 时 f ?( x) ? 0 , x ? 1 时 f ?( x) ? 0 .

所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (??,1) . (Ⅱ) 因为曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y ?
? f (0) ? 1 ,即 a ? 1 .
x 又 f ?( x) ? ae ? b

??????4 分

1 2

x ?1 ,

f ?(0) ? 1 ? b ? 1 2

1 2

?b ? 1 2

1 2

.

??????????????8 分

(Ⅲ) 当 a ? 1 , b ? 为 y ? (e ?
x0

时, f ?( x) ? e x ?
x0

,函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点 P ( x0 , f ( x0 )) 处的切线方程
x0

1 2

x0 ) ? (e 1 2 x ? (e
x

? ?

1 2 1 2

)( x ? x0 ) , 即 y ? (e
x0 x

?
x

1 2

) x ? (1 ? x0 )e 0 ,
x x

令 h( x ) ? e x ?
x

x0

) x ? (1 ? x0 )e
x x0

? e ? e 0 x ? (1 ? x0 )e 0 ,

? h?( x ) ? e ? e 0 ,由 h?( x ) ? e ? e

? 0 ? x ? x0 , h?( x ) ? 0 ? x ? x0 ,

? h( x ) 在 ( ??, x0 ) 上递减,在 ( x0 , ??) 上递增,
? h( x ) ? h( x0 ) ? e
x0

? e 0 x0 ? (1 ? x0 )e
x

x0

? 0 ,所以 e ?
x

1 2

x ? (e

x0

?

1 2

) x ? (1 ? x0 )e 0 ,
x

即函数 y ? f ( x) 图象上所有的点(点 P 除外)总在切线的上方, 所以函数 y ? f ( x) 为“ ? 函数”. ???????????????????13 分


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