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高中数学 第三章《导数及其应用》测试2 新人教A版选修1-1

时间:2011-12-09


第三章 导数及其应用 单元测试
一、选择题 1. 若 f ( x ) = sin α ? cos x ,则 f (α ) 等于(
'

) D.

A.

sin α

B.

cos α

C.

sin α + cos α

2 sin α

2. 若函数 f ( x) = x 2 + bx + c 的图象的顶点在第四象限,则函数 f ' ( x) 的图象是( 3. 已知函数 f ( x) = ? x 3 + ax 2 ? x ? 1 在 (?∞,+∞) 上是单调函数,则实数 a 的 取值范围是( A. C. ) B. D.



(?∞,? 3 ] U [ 3 ,+∞) (?∞,? 3 ) U ( 3 ,+∞)
f (0) + f (2) < 2 f (1)

[? 3 , 3 ] (? 3 , 3 )


4. 对于 R 上可导的 任意函数 f ( x ) ,若满足 ( x ? 1) f ' ( x ) ≥ 0 ,则必有( A. C. A. B. D.

f (0) + f (2) ≥ 2 f (1)
4

f (0) + f (2) ≤ 2 f (1) f (0) + f (2) > 2 f (1)
) C.

5. 若曲线 y = x 的一条切线 l 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直,则 l 的方程为(

4x ? y ? 3 = 0

B.

x + 4y ?5 = 0

4x ? y + 3 = 0

D.

x + 4y + 3 = 0

6. 函数 f ( x ) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ′( x ) 在 (a, b) 内的图象如图所示, 则函数 f ( x ) 在开区间 (a, b) 内有极小值点( ) A.
y y = f ′ (x )

1个

B.

2个

C.

3个

D.

4个

b a O x

二、填空题 1. 若函数 f (x )= x (x - c ) 在 x = 2 处有极大值,则常数 c 的值为_________;
2

2 . 函数 y = 2 x + sin x 的单调增区间为

.

3. 设函数 f ( x ) = cos( 3 x + ? )(0 < ? < π ) ,若 f ( x ) + f ′( x ) 为奇函数,则 ? =__________ 4. 设 f ( x ) = x ?
3

1 2 x ? 2 x + 5 ,当 x ∈ [?1,2] 时, f ( x) < m 恒成立,则实数 m 的 2
.

取值范围为

用心

爱心

专心

-1-

5. 对正整数 n ,设曲线 y = x n (1 ? x) 在 x = 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ,则 数列 ?

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n + 1?
3

三、解答题 1. 求函数 y = (1 + cos 2 x) 的导数.

2. 求函数 y =

2 x + 4 ? x + 3 的值域.

3.

已知函数 f ( x ) = x + ax + bx + c 在 x = ?
3 2

2 与 x = 1 时都取得极值 3

(1) 求 a, b 的值与函数 f ( x ) 的单调区间 (2 )若对 x ∈ [ ?1, 2] ,不等式 f ( x ) < c 恒成立,求 c 的取值范围.
2

4. 已知 f ( x ) = log 3

x 2 + ax + b , x ∈ (0, +∞ ) , 是否存在实数 a、b ,使 f (x ) 同时满足下列两 x

个 条件: (1) f (x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数; (2) f (x ) 的最小值是 1 ,若 存在,求出 a、b ,若不存在,说明理由.

用心

爱心

专心

-2-

参考答案
一、选择题 1. A 2. A 3. B

f ' ( x) = sin x, f ' (α ) = sin α
对称轴 ?

b > 0, b < 0, f ' ( x) = 2 x + b ,直线过第一、三、四象限 2

f ' ( x) = ?3 x 2 + 2ax ? 1 ≤ 0 在 (?∞,+∞) 恒成立, ? = 4a 2 ? 12 ≤ 0 ? ? 3 ≤ a ≤ 3
' '

4. C 当 x ≥ 1 时,f ( x ) ≥ 0 , 函数 f ( x ) 在 (1, +∞) 上是增函数; x < 1 时,f ( x ) ≤ 0 ,f ( x ) 当 在 ( ?∞,1) 上是减函数,故 f ( x ) 当 x = 1 时取得最小值,即有

f (0) ≥ f (1), f (2) ≥ f (1), 得 f (0) + f (2) ≥ 2 f (1)
5. A 与直线 x + 4 y ? 8 = 0 垂直的直线 l 为 4 x ? y + m = 0 ,即 y = x 在某一点的导数为
4

4 ,而 y′ = 4 x 3 ,所以 y = x 4 在 (1,1) 处导数为 4 ,此点的切线为 4 x ? y ? 3 = 0
6. A 极小值点应有先减后增的特点,即 f ' ( x ) < 0 → f ' ( x) = 0 → f ' ( x ) > 0

二、填空题 1. 2. 3.

6

f ' ( x) = 3 x 2 ? 4cx + c 2 , f ' (2) = c 2 ? 8c + 12 = 0, c = 2, 或6 , c = 2 时取极小值 y ' = 2 + cos x > 0 对于任何实数都成立

(?∞, +∞ )

π
6

f ' ( x) = ? sin( 3 x + ? )( 3 x + ? )' = ? 3 sin( 3 x + ? ) f ( x) + f ′( x) = 2 cos( 3 x + ? + ) 3

π

要使 f ( x ) + f ′( x ) 为奇函数,需且仅需 ? + 即: ? = kπ + 4. 5.

π
3

= kπ +

π
2

,k ∈Z ,

π
6

, k ∈ Z . 又 0 < ? < π ,所以 k 只能取 0 ,从而 ? =

π
6

.

(7, +∞) 2 n+1 ? 2

x ∈ [?1,2] 时, f ( x) max = 7

y/

x =2

= ?2n ?1 ( n + 2 ) , 切线方程为 : y + 2n = ?2n ?1 ( n + 2 ) ( x ? 2) ,
n

令 x = 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 = ( n + 1) 2 ,所以

2 (1 ? 2n ) ? an ? 数列 ? = 2n +1 ? 2 ? 的前 n 项和 S n = 1? 2 ? n + 1?
三、解答题
3 2 3 6 1. 解: y = (1 + cos 2 x ) = (2 cos x ) = 8 cos x

an = 2n ,则 n +1

用心

爱心

专心

-3-

y ' = 48cos5 x ? (cos x)' = 48cos5 x ? (? sin x)
= ?48sin x cos5 x .
2. 解:函数的定义域为 [ ?2, +∞ ) , y ' =

1 1 1 1 ? = ? 2x + 4 2 x + 3 2x + 4 4 x + 12

' 当 x ≥ ?2 时, y > 0 ,即 [ ?2, +∞ ) 是函数的递增区间,当 x = ?2 时, ymin = ?1

所以值域为 [ ?1, +∞) . 3. 解: (1) f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c, f ' ( x ) = 3 x 2 + 2ax + b

2 12 4 1 ? a + b = 0 , f ' (1) = 3 + 2a + b = 0 得 a = ? , b = ?2 3 9 3 2 ' 2 f ( x) = 3 x ? x ? 2 = (3 x + 2)( x ? 1) ,函数 f ( x) 的单调区间如下表: 2 2 2 (?∞, ? ) ? (? ,1) 1 x (1, +∞) 3 3 3 ? + + 0 0 f ' ( x) 极大值 ↓ 极小值 ↑ f ( x) ↑ 2 2 所以函数 f ( x ) 的递增区间是 ( ?∞, ? ) 与 (1, +∞) ,递减区 间是 (? ,1) ; 3 3 1 2 2 2 22 3 (2) f ( x ) = x ? x ? 2 x + c, x ∈ [ ?1, 2] ,当 x = ? 时, f ( ? ) = +c 2 3 3 27
由 f (? ) =
'

为极大值,而 f (2) = 2 + c ,则 f (2) = 2 + c 为最大值,要使 f ( x ) < c 2 , x ∈ [ ?1, 2] 恒成立,则只需要 c 2 > f (2) = 2 + c ,得 c < ?1, 或c > 2 . 4. 解:设 g ( x ) =

x 2 + ax + b x

∵ f ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数 ∴ g ( x ) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, +∞ ) 上是增函数.

∴?

? g ' (1) = 0 ? g (1) = 3

∴?

?b ? 1 = 0 ?a + b + 1 = 3

解得 ?

?a = 1 ?b = 1

经检验, a = 1, b = 1 时, f ( x ) 满足题设的两个条件.

用心

爱心

专心

-4-


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