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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学2015届高三模拟数学试卷(04)

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江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模拟试卷 (04)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分). 1.若复数(1﹣i) (2i+m)是纯虚数,则实数 m 的值为__________. 2.已△ 知△ ABC 三边长分别为 a,b,c 且 a +b ﹣c =ab,则∠C=__________ 3.设函数 f(x)=x cosx+1,若 f(a)=11,则 f(﹣a)=__________. 4.若不等式 __________.
2 2 3 2 2 2

成立的一个充分非必要条件是

,则实数 m 的取值范围是

5.定义运算 a __________.

b=ab +a b,则 sin15°

cos15°的值是

6.若 f(x)=

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为__________.

7.已知△ ABC 中,∠C=90°,CA=3,CB=4,D、E 分别为边 CA、CB 上的点,且 ? =8,则 ? =__________.
3

?

=6,

8. 已知曲线 S: y=3x﹣x 及点 P (2, 2) , 则过点 P 可向曲线 S 引切线, 其切线共有__________ 条. 9.已知函数 y=tanωx 在(﹣π,π)内是减函数,则实数 ω 的范围是__________. 10.已知 f(x)=log2(x﹣2) ,若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值是 __________. 11.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x ﹣x,则函 数 f(x)在[0,6]上有__________个零点.
3

12.已知实数 x、y 满足

,若不等式 a(x +y )≥(x+y) 恒成立,则实数 a

2

2

2

的最小值是__________. 13.定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,且满足 f (x)=﹣f (x+ ) , f (1)=1,f (0)=﹣2,则 f (1)+f (2)+f (3)+…+f 的值为=__________.

14.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 an 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为__________.

对任意

二、解答题. 15.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},B={x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围. 16.在锐角△ ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.向量 , (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ ABC 的面积 S△ ABC 的最大值. 17.已知向量 (1)求 (2)若 的最大值 ,且 ,求 cosβ 的值. ,且向量 、 共线.
2 2 2

18. 经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送 (满载) 到相距 400km 的水果批发市场. 据 测算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

的关系近似地满足 u=

除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均

每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元) (不计返程费用) ,将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少?

19. (16 分)如图,平面直角坐标系中,射线 y=x(x≥0)和 y=0(x≥0)上分别依次有点 A1、 A2,…,An,…,和点 B1,B2,…,Bn…,其中 , , (n=2,3,4…) . , .且

(1)用 n 表示|OAn|及点 An 的坐标; (2)用 n 表示|BnBn+1|及点 Bn 的坐标; (3)写出四边形 AnAn+1Bn+1Bn 的面积关于 n 的表达式 S(n) ,并求 S(n)的最大值.

20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +|x﹣a|,a∈R. (1)若 a=﹣1,求函数 y=f(x) (x∈[0,+∞)的图象在 x=1 处的切线方程; 4 (2)若 g(x)=x ,试讨论方程 f(x)=g(x)的实数解的个数; (3)当 a>0 时,若对于任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞) ,使得 f(x1)f(x2) =1024,求满足条件的正整数 a 的取值的集合.

3

三、附加卷 21.变换 T1 是逆时针旋转 阵是 . 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应用的变换矩

(Ⅰ)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标; 2 (Ⅱ)求函数 y=x 的图象依次在 T1,T2 变换的作用下所得曲线的方程. 22.[选做题]已知圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为

x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .若直线

l 与圆 C 相切,求实数 m 的值. 23.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断 正确的概率为 p,判断错误的概率为 q,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现记“该 明星答完 n 题后总得分为 Sn”.

(1)当 (2)当

时,记 ξ=|S3|,求 ξ 的分布列及数学期望及方差; 时,求 S8=2 且 Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.
r s t

24.设 r,s,t 为整数,集合{a|a=2 +2 +2 ,0≤t<s<r}中的数由小到大组成数列{an}. (1)写出数列{an}的前三项; (2)求 a36.

江苏省苏州市张家港市梁丰高级中学 2015 届高考数学模 拟试卷(04)
一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分). 1.若复数(1﹣i) (2i+m)是纯虚数,则实数 m 的值为﹣2. 考点:复数代数形式的乘除运算. 专题:数系的扩充和复数. 分析:利用复数运算法则、纯虚数的定义即可得出. 解答: 解:∵复数(1﹣i) (2i+m)=m+2+(m﹣2)i 是纯虚数, ∴ ,解得 m=﹣2.

故答案为:﹣2. 点评:本题考查了复数运算法则、纯虚数的定义,属于基础题. 2.已△ 知△ ABC 三边长分别为 a,b,c 且 a +b ﹣c =ab,则∠C=60
2 2 2 °

考点:余弦定理. 专题:计算题. 2 2 2 分析:利用 a +b ﹣c =ab,代入到余弦定理中求得 cosC 的值,进而求得 C 2 2 2 解答: 解:∵a +b ﹣c =ab, ∴cosC= =

∴C=60° 故答案为 60° 点评:本题主要考查了余弦定理的应用.属基础题. 3.设函数 f(x)=x cosx+1,若 f(a)=11,则 f(﹣a)=﹣9.
3

考点:函数奇偶性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:由于函数 f(x)=x cosx+1,是一个非奇非偶函数,故无法直接应用函数奇偶性的性 3 质进行解答,故可构造函数 g(x)=f(x)﹣1=x cosx,然后利用 g(x)为奇函数,进行解 答. 3 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣1=x cosx 则 g(x)为奇函数, 又∵f(a)=11, ∴g(a)=f(a)﹣1=11﹣1=10 ∴g(﹣a)=﹣10=f(﹣a)﹣1 ∴f(﹣a)=﹣9 故答案为:﹣9 点评: 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质, 其中构造出奇函数 g (x) =f (x) ﹣1=x cosx, 是解答本题的关键.
3 3

4.若不等式 .

成立的一个充分非必要条件是

,则实数 m 的取值范围是

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题:计算题. 分析:由已知中不等式 <0 成立的一个充分非必要条件是 <x< ,我们分别讨

论 2m=m﹣1 时,2m<m﹣1 时,2m>m﹣1 时满足条件的实数 m 的取值范围,最后综合讨 论结果,即可得到答案 解答: 解:∵设不等式 ∵不等式 则( , )?A <0 的解集为 A <x< ,

<0 成立的一个充分非必要条件是

①当 2m=m﹣1 时,A=?,不成立; ②当 2m<m﹣1,即 m<﹣1 时,不等式解为 A=( 2m,m﹣1) ,不符合条件,舍去; ③当 2m>m﹣1 时,不等式解为 A=(m﹣1,2m) , 则 m﹣1≤ 且 2m≥ , 解得 ≤m≤ , ≤m≤ .

即 m 取值范围是 故答案为: ≤m≤

点评:本题考查的知识点是必要条件,充分条件与充要条件的判断,不等式的基本性质,其 中根据已知条件分讨论,并在每种情况下构造关于 m 的不等式组,是解答本题的关键
2 2

5.定义运算 a .

b=ab +a b,则 sin15°

cos15°的值是

考点:同角三角函数基本关系的运用. 专题:新定义. 分析:先根据题中的运算定义表示出 sin15° cos15°,然后利用二倍角公式及两角和的正弦

函数公式化简,再利用特殊角的三角函数值得到即可. 解答: 解析:依题意,可知 sin15° cos15°=sin15°cos 15°+sin 15°cos15° =sin15°cos15°(cos15°+sin15°) = = ×2sin15°cos15°(sin45°cos15°+cos45°sin15°) sin30°sin(15°+45°)= .
2 2

故答案为 点评: 考查学生会利用题中规定的新运算法则进行化简求值, 会利用二倍角公式及两角和的 正弦函数公式进行化简, 会利用特殊角的三角函数值进行求值. 学生做题时会变换角是解题 的关键.

6.若 f(x)=

是 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围为[ ,+∞) .

考点:函数单调性的性质. 专题:函数的性质及应用. 分析:若 f(x)= 是 R 上的单调函数,根据第二段函数为减函数,故第一

段也应该为减函数,且 x=1 时,第二段的函数值不小于第一段的函数值,进而构造关于 a 的不等式组,解不等式组可得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵f(x)= 是 R 上的单调函数,





解得:a≥ , 故实数 a 的取值范围为[ ,+∞) , 故答案为:[ ,+∞) 点评:本题考查的知识点是分段函数的单调性,其中根据已知构造关于 a 的不等式组,是解 答的关键.

7.已知△ ABC 中,∠C=90°,CA=3,CB=4,D、E 分别为边 CA、CB 上的点,且 ? =8,则 ? =﹣14.

?

=6,

考点:平面向量数量积的运算. 专题:平面向量及应用. 分析:如图所示,通过向量的坐标运算、数量积运算即可得出. 解答: 解:如图所示,C(0,0) ,A(3,0) ,B(0,4) , 设 D(x,0) ,E(0,y) . 则 ∵ =(x,﹣4) , ? =6, ? =(3,0) , =8, =(﹣3,y) , =(0,4) .

∴3x=6,4y=8, 解得 x=2,y=2. 则 ? =(﹣3,2)?(2,﹣4)=﹣6﹣8=﹣14.

故答案为:﹣14.

点评:本题考查了向量的坐标运算、数量积运算,属于基础题. 8.已知曲线 S:y=3x﹣x 及点 P(2,2) ,则过点 P 可向曲线 S 引切线,其切线共有 3 条. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 专题:计算题;导数的概念及应用.
3

分析:求函数的导数,设切点为 M(a,b) ,利用导数的几何意义,求切线方程,利用点 P (2,2)在切线上,求出切线条数即可. 解答: 解:∵y=3x﹣x , 2 ∴y'=f'(x)=3﹣3x , ∵P(2,2)不在曲线 S 上, 3 ∴设切点为 M(a,b) ,则 b=3a﹣a , 2 f'(a)=3﹣3a 3 2 则切线方程为 y﹣(3a﹣a )=(3﹣3a ) (x﹣a) , ∵P(2,2)在切线上, 3 2 3 2 ∴2﹣(3a﹣a )=(3﹣3a ) (2﹣a) ,即 2a ﹣6a +4=0, 3 2 3 2 2 ∴a ﹣3a +2=0,即 a ﹣a ﹣2a +2=0, 2 ∴(a﹣1) (a ﹣2a﹣2)=0, 解得 a=1 或 a=1 , ∴切线的条数为 3 条, 故答案为:3. 点评:本题主要考查导数的几何意义,以及导数的基本运算,考查学生的运算能力.注意点 P 不在曲线上,所以必须单独设出切点. 9.已知函数 y=tanωx 在(﹣π,π)内是减函数,则实数 ω 的范围是 .
3

考点:三角函数的最值. 专题:计算题;三角函数的图像与性质. 分析:根据正切型函数的图象,要使函数 y=tanωx 在(﹣π,π)内是减函数,则 ω<0 且函 数 y=tanωx 的周期 T≥2π. 解答: 解:∵函数 y=tanωx 在(﹣π,π)内是减函数, ∴ω<0,| 解得: 故答案为: |≥2π . .

点评:本题考查了正切型函数的图象与性质,解题时要根据函数在(﹣π,π)内是减函数, 先判断 ω 的正负,再利用周期求 ω 的范围. 10.已知 f(x)=log2(x﹣2) ,若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,则 m+n 的最小值是 7. 考点:基本不等式;对数的运算性质. 专题:计算题. 分析:由题意得 m>2,n>1, (m﹣2) (n﹣1)=4,再由基本不等式得 =2≤ = ,变形可得 m+n 的最小值.

解答: 解:∵f(x)=log2(x﹣2) ,若实数 m,n 满足 f(m)+f(2n)=3,m>2,n>1, ∴log2(m﹣2)+log2(2n﹣2)=3,log2(m﹣2)2(n﹣1)=3, (m﹣2)2(n﹣1)=8,

(m﹣2) (n﹣1)=4,∴

=2≤

=

(当且仅当 m﹣2=n﹣1=2 时,取等号 ) ,∴m+n﹣3≥4,m+n≥7. 故答案为:7. 点评:本题考查对数的运算性质,基本不等式的应用.考查计算能力. 11.已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数,且当 0≤x<2 时,f(x)=x ﹣x,则函 数 f(x)在[0,6]上有 7 个零点. 考点:根的存在性及根的个数判断. 专题:探究型. 分析: 先求出方程 f (x ) =0 在区间[0, 2) 上的根的个数, 再利用其周期为 2 的条件即 f (x+2) =f(x) ,即可判断出所有根的个数. 3 解答: 解:当 0≤x<2 时,令 f(x)=x ﹣x=0,则 x(x﹣1) (x+1)=0,解得 x=0,或 1; 已知 f(x)是 R 上最小正周期为 2 的周期函数, ∴f(0)=f(2)=f(4)=f(6)=0,f(1)=f(3)=f(5)=0, 故在区间[0,6]上,方程 f(x)=0 共有 7 个根, ∴函数 y=f(x)的图象在区间[0,6]上与 x 轴的交点的个数为 7. 故答案为 7. 点评:正确求出一个周期内的根的个数和理解周期性是解题的关键.
3

12.已知实数 x、y 满足

,若不等式 a(x +y )≥(x+y) 恒成立,则实数 a

2

2

2

的最小值是 .

考点:简单线性规划;函数恒成立问题. 专题:综合题. 分析:确定约束条件的平面区域,求得与原点连线的斜率的范围,再分离参数,利用函数的 单调性,确定函数的最值,即可得到结论.

解答: 解:实数 x、y 满足

的可行域是一个三角形,三角形的三个顶点分别

为(1,4) , (2,4) , 与原点连线的斜率分别为 4,2,∴ a(x +y )≥(x+y) 等价于 a≥1+
2 2 2

∵ ∈[2,4] ∴ ≤ + ≤4+ = ∴a≥1+ = ∴实数 a 的最小值是 故答案为: 点评:平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型,在解题时,关键是正确地画出 平面区域,分析表达式的几何意义,然后结合数形结合的思想,分析图形,找出满足条件的 点的坐标,即可求出答案.

13.定义在 R 上的函数 f (x)的图象关于点(﹣ ,0)对称,且满足 f (x)=﹣f (x+ ) , f (1)=1,f (0)=﹣2,则 f (1)+f (2)+f (3)+…+f 的值为=0. 考点:函数的周期性;奇偶函数图象的对称性;函数的值. 专题:证明题. 分析:根据题意得 f (x+3)=f[(x+ )+ ]=﹣f (x+ )=f (x)即函数的周期为 3.由 函数 f (x)的图象关于点(﹣ ,0)对称得到 f (﹣ ﹣x)=f (x+ ) ,所以可得函数 f (x)是偶函数.结合奇偶性、周期性可得答案. 解答: 解:由 f (x)=﹣f (x+ )得 f (x+3)=f[(x+ )+ ]=﹣f (x+ )=f (x) 所以可得 f (x)是最小正周期 T=3 的周期函数; 由 f (x)的图象关于点( ,0)对称,知(x,y)的对称点是(﹣ ﹣x,﹣y) .

即若 y=f (x) ,则必﹣y=f (﹣ ﹣x) ,或 y=﹣f (﹣ ﹣x) . 而已知 f (x)=﹣f (x+ ) ,故 f (﹣ ﹣x)=f (x+ ) , 今以 x 代 x+ ,得 f (﹣x)=f (x) ,故知 f (x)又是 R 上的偶函数. 于是有:f (1)=f (﹣1)=1;f (2)=f (2﹣3)=f (﹣1)=1;f (3)=f (0+3)=f (0) =﹣2; ∴f (1)+f (2)+f (3)=0,以下每连续 3 项之和为 0. 而 2010=3×670,于是 f =0; 故答案为 0. 点评: 解决此类问题的关键是周期利用函数的对称性与周期性得到函数是偶函数, 再结合着 函数的三个性质求解问题,2015 届高考经常考查这种周期性、单调性、奇偶性、对称性相 结合的综合问题.

14.设首项不为零的等差数列{an}前 n 项之和是 Sn,若不等式 an 和正整数 n 恒成立,则实数 λ 的最大值为 .

对任意

考点:数列与不等式的综合. 专题:计算题. 分析:等差数列{an}中,首项不为零,前 n 项和 Sn= ;由不等式

,得 an +

2

≥λa1 ,整理得

2

+

+ ≥λ;若

设 t=

,求函数 y= t + t+ 的最小值,得 λ 的最大值.

2

解答: 解:在等差数列{an}中,首项不为零,即 a1≠0;则数列的前 n 项之和为 Sn= ;

由不等式

,得 an +

2

≥λa1 ,

2

∴ an + a1an+ a1 ≥λa1 ,即

2

2

2

+

+ ≥λ;

设 t=

,则 y= t + t+ =

2

+ ≥ ,

∴λ≤ ,即 λ 的最大值为 ; 故答案为 . 点评:本题考查了数列与不等式的综合应用,其中用到换元法求得二次函数的最值,应属于 考查计算能力的基础题目. 二、解答题. 2 2 2 15.已知集合 A={x|x ﹣2x﹣3≤0,x∈R},B={x|x ﹣2mx+m ﹣4≤0,x∈R,m∈R}. (1)若 A∩B=[0,3],求实数 m 的值; (2)若 A??RB,求实数 m 的取值范围.

考点:交、并、补集的混合运算. 分析: (1)根据一元二次不等式的解法,对 A,B 集合中的不等式进行因式分解,从而解出 集合 A,B,再根据 A∩B=[0,3],求出实数 m 的值; (2)由(1)解出的集合 A,B,因为 A?CRB,根据子集的定义和补集的定义,列出等式 进行求解. 解答: 解:由已知得:A={x|﹣1≤x≤3}, B={x|m﹣2≤x≤m+2}. (1)∵A∩B=[0,3] ∴ ∴ ,

∴m=2; (2)CRB={x|x<m﹣2,或 x>m+2} ∵A?CRB, ∴m﹣2>3,或 m+2<﹣1, ∴m>5,或 m<﹣3. 点评: 此题主要考查集合的定义及集合的交集及补集运算, 一元二次不等式的解法及集合间 的交、并、补运算是 2015 届高考中的常考内容,要认真掌握. 16.在锐角△ ABC 中,已知内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c.向量 , (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ ABC 的面积 S△ ABC 的最大值. 考点:解三角形;数量积的坐标表达式;三角函数中的恒等变换应用. 专题:计算题. 分析: (1)由两向量共线,得到向量的坐标表示列出一个关系式,根据三角形的内角和定理 得到 A+C=π﹣B,利用诱导公式化简这个关系式后,再利用二倍角的正弦、余弦函数公式及 同角三角函数间的基本关系化简,得到 tan2B 的值,又三角形为锐角三角形,由 B 的范围 求出 2B 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出 B 的度数; 2 2 2 (2)根据余弦定理表示出 b =a +c ﹣2accosB,把(1)求出的 B 的度数与 b 的值代入得到 一个关于 a 与 c 的式子,变形后,根据基本不等式即可求出 ac 的最大值,然后利用三角形 的面积公式,由 ac 的最大值及 sinB 的值,表示出三角形 ABC 的面积,即为三角形面积的 最大值. 解答: 解: (1)∵向量 ∴2sin(A+C) (2 ∴2sinBcosB﹣ ∴tan2B= , 、 共线, cos2B=0,又 A+C=π﹣B, cos2B, ,且向量 、 共线.

﹣1)﹣ cos2B,即 sin2B=

又锐角△ ABC,得到 B∈(0, ∴2B∈(0,π) , ∴2B= ,故 B= ;

) ,

(2)由(1)知:B=
2 2 2

,且 b=1,
2 2

根据余弦定理 b =a +c ﹣2accosB 得:a +c ﹣ ∴1+ ac=a +c ≥2ac,即(2﹣
2 2

ac=1, =2+ ,

)ac≤1,ac≤

∴S△ ABC= acsinB= ac≤ ∴△ABC 的面积最大值为

,当且仅当 a=c= .

时取等号,

点评:此题考查了平面向量的数量积的坐标表示,三角函数的恒等变形,余弦定理及三角形 的面积公式.学生作第二问时注意利用基本不等式求出 ac 的最大值是解本题的关键. 17.已知向量 (1)求 (2)若 的最大值 ,且 ,求 cosβ 的值.

考点:数量积判断两个平面向量的垂直关系;向量的模. 专题:计算题. 分析: (1)利用向量的运算法则求出 ,利用向量模的平方等于向量的平方求出

的平方,利用三角函数的平方关系将其化简,利用三角函数的有界性求出最值. (2)利用向量垂直的充要条件列出方程,利用两角差的余弦公式化简得到的等式,求出值. 解答: 解: (1) |
2 2

=(cosβ﹣1,sinβ) ,则
2

| =(cosβ﹣1) +sin β=2(1﹣cosβ) .

∵﹣1≤cosβ≤1, ∴0≤| | ≤4,即 0≤|
2

|≤2. |=2,

当 cosβ=﹣1 时,有| 所以向量

的长度的最大值为 2. =(cosβ﹣1,sinβ) ,

(2)由(1)可得 ?(

)=cosαcosβ+sinαsinβ﹣cosα=cos(α﹣β)﹣cosα.

∵ ⊥( ∴ ?( 由 得 即 ∴ 于是 ,

) , )=0,即 cos(α﹣β)=cosα.

, . , .….

点评:本题考查向量模的性质:向量模的平方等于向量的平方、向量垂直的充要条件;三角 函数的平方关系、三角函数的有界性、两角差的余弦公式.考查计算能力. 18. 经销商用一辆 J 型卡车将某种水果从果园运送 (满载) 到相距 400km 的水果批发市场. 据 测算,J 型卡车满载行驶时,每 100km 所消耗的燃油量 u(单位:L)与速度 v(单位:km/h)

的关系近似地满足 u=

除燃油费外,人工工资、车损等其他费用平均

每小时 300 元.已知燃油价格为每升(L)7.5 元. (1)设运送这车水果的费用为 y(元) (不计返程费用) ,将 y 表示成速度 v 的函数关系式; (2)卡车该以怎样的速度行驶,才能使运送这车水果的费用最少? 考点:利用导数求闭区间上函数的最值;分段函数的应用;函数模型的选择与应用. 专题:综合题. 分析: (1)由题意,当 0<v≤50 时,y= = (2)当 0<v≤50 时, = ,当 v>50 时,

,由此能将 y 表示成速度 v 的函数关系式. 是单调减函数,故 v=50 时,y 取得最小值

,当 v>50 时, 时,y 取得最小值

,由导数求得当 v=100 +600=2400,由于 3150>2400,知当卡车以

100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少. 解答: 解: (1)由题意,当 0<v≤50 时, y=

=30? = 当 v>50 时, = = , ,





(2)当 0<v≤50 时, 是单调减函数, 故 v=50 时,y 取得最小值 当 v>50 时, , ,



=

=0,

得 v=100. 当 50<v<100 时,y′<0, 函数 单调递增, +600=2400,

∴当 v=100 时,y 取得最小值

由于 3150>2400, 所以,当 v=100 时,y 取得最小值. 答:当卡车以 100km/h 的速度行驶时,运送这车水果的费用最少. 点评: 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用, 考查运算求解能力, 推理论证能力; 考查化归与转化思想.综合性强,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是 2015 届 高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 19. (16 分)如图,平面直角坐标系中,射线 y=x(x≥0)和 y=0(x≥0)上分别依次有点 A1、 A2,…,An,…,和点 B1,B2,…,Bn…,其中 , (1)用 n 表示|OAn|及点 An 的坐标; (2)用 n 表示|BnBn+1|及点 Bn 的坐标; , (n=2,3,4…) . , .且

(3)写出四边形 AnAn+1Bn+1Bn 的面积关于 n 的表达式 S(n) ,并求 S(n)的最大值.

考点:数列与解析几何的综合;数列递推式. 专题:计算题. 分析: (1)由 (2)由 ,知 , 由此能用 n 表示|BnBn+1|及点 Bn 的坐标. (3)由 求出 S(n)的最大值. 解答: 解: (1)∵ ∴ (2) … … , ∴ (3) , … … ,写出四边形 AnAn+1Bn+1Bn 的面积关于 n 的表达式 S(n) ,并 ,能求出 .









∴n≥4 时,S(n)单调递减. 又 , .

∴n=2 或 3 时,S(n)取得最大值 …(18 分) 点评:本题考查数列与解析几何的综合应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查化归 与转化思想.综合性强,难度大,有一定的探索性,对数学思维能力要求较高,是 2015 届 高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +|x﹣a|,a∈R. (1)若 a=﹣1,求函数 y=f(x) (x∈[0,+∞)的图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 g(x)=x ,试讨论方程 f(x)=g(x)的实数解的个数; (3)当 a>0 时,若对于任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞) ,使得 f(x1)f(x2) =1024,求满足条件的正整数 a 的取值的集合. 考点:利用导数研究曲线上某点切线方程;根的存在性及根的个数判断;利用导数研究函数 的单调性. 专题:综合题;导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义,求出切线的斜率,即可求出图象在 x=1 处的切线方程; (2)若 g(x)=x ,方程等价于 x=a 或
4 4 3



,分类讨论,即可讨论方程 f(x)

=g(x)的实数解的个数; 4 (3)确定函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数,且 f(x)>f(a)=a >0,对任意的 x1∈[a, a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞) ,使得 f(x1)f(x2)=1024,所以[ (a+2) ,+∞) ,即可得出结论. 解答: 解: (1)当 a=﹣1,x∈[0,+∞)时,f(x)=﹣x +x+1,从而 f′(x)=﹣3x +1. 当 x=1 时,f(1)=1,f′(1)=﹣2, 所以函数 y=f(x) (x∈[0,+∞) )的图象在 x=1 处的切线方程为 y﹣1=﹣2(x﹣1) , 即 2x+y﹣3=0. … 3 4 (2)f(x)=g(x)即为 ax +|x﹣a|=x . 4 3 3 所以 x ﹣ax =|x﹣a|,从而 x (x﹣a)=|x﹣a|. 此方程等价于 x=a 或 或 …
3 2



]?[f

所以当 a≥1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,﹣1; 当﹣1<a<1 时,方程 f(x)=g(x)有三个不同的解 a,﹣1,1; 当 a≤﹣1 时,方程 f(x)=g(x)有两个不同的解 a,1. … 3 2 (3)当 a>0,x∈(a,+∞)时,f(x)=ax +x﹣a,f′(x)=3ax +1>0, 4 所以函数 f(x)在(a,+∞)上是增函数,且 f(x)>f(a)=a >0. 所以当 x∈[a,a+2]时,f(x)∈[f(a) ,f(a+2)], 当 x∈[a+2,+∞)时,f(x)∈[f(a+2) ,+∞) . … ∈[ , ],

因为对任意的 x1∈[a,a+2],都存在 x2∈[a+2,+∞) ,使得 f(x1)f(x2)=1024, 所以[ 从而
2

, ≥f(a+2) .

]?[f(a+2) ,+∞) .



所以 f (a+2)≤1024,即 f(a+2)≤32,也即 a(a+2) +2≤32. 因为 a>0,显然 a=1 满足,而 a≥2 时,均不满足. 所以满足条件的正整数 a 的取值的集合为{1}. …(16 分) 点评:本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程,考查分类讨论的数学思想,考查学生分 析解决问题的能力,属于中档题. 三、附加卷 21.变换 T1 是逆时针旋转 阵是 . 的旋转变换,对应的变换矩阵是 M1;变换 T2 对应用的变换矩

3

(Ⅰ)求点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P′的坐标; 2 (Ⅱ)求函数 y=x 的图象依次在 T1,T2 变换的作用下所得曲线的方程. 考点:逆变换与逆矩阵;逆矩阵的简单性质(唯一性等) . 专题:计算题. 分析: (Ⅰ)先写出时针旋转 的旋转变换矩阵 M1,再利用矩阵的乘法,求出点 P'的坐标;
2

(Ⅱ) 先求 M=M2M1,再求点的变换,从而利用函数 y=x 求出变换的作用下所得曲线的 方程 解答: 解: (Ⅰ) ,

所以点 P(2,1)在 T1 作用下的点 P'的坐标是 P'(﹣1,2) .… (Ⅱ) ,



是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是







也就是{,

,即
2



所以,所求曲线的方程是 y﹣x=y 点评:本题以变换为载体,考查矩阵的乘法,考查点在变换下点的坐标的求法,属于中档题

22.[选做题]已知圆 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为

x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程是

(t 是参数) .若直线

l 与圆 C 相切,求实数 m 的值. 考点:简单曲线的极坐标方程;直线与圆的位置关系;直线的参数方程. 专题:计算题;压轴题. 分析:将圆 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程化为普通方程,再根据直 线 l 与圆 C 相切,利用圆心到直线的距离等于半径,即可求实数 m 的值 解答: 解:由 ρ=4cosθ,得 ρ =4ρcosθ, 2 2 ∴x +y =4x, 2 2 即圆 C 的方程为(x﹣2) +y =4, ∴圆的圆心坐标为(2,0) ,半径为 2
2

又由

消 t,得 x﹣y﹣m=0,

∵直线 l 与圆 C 相切, ∴圆心到直线的距离等于半径 ∴ ,

解得 . 点评:本题重点考查方程的互化,考查直线与圆的位置关系,解题的关键是利用圆心到直线 的距离等于半径,研究直线与圆相切. 23.在一次电视节目的抢答中,题型为判断题,只有“对”和“错”两种结果,其中某明星判断 正确的概率为 p,判断错误的概率为 q,若判断正确则加 1 分,判断错误则减 1 分,现记“该 明星答完 n 题后总得分为 Sn”. (1)当 (2)当 时,记 ξ=|S3|,求 ξ 的分布列及数学期望及方差; 时,求 S8=2 且 Si≥0(i=1,2,3,4)的概率.

考点:离散型随机变量的期望与方差;n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 专题:计算题. 分析: (1)由题意知变量的可能取值是 1,3,结合变量对应的事件和独立重复试验的概率 公式写出变量对应的概率和分布列,做出期望和方差. (2)本题要求的概率是答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题,包 括若第一题和第二题回答正确, 则其余 6 题可任意答对 3 题; 和若第一题正确和第二题回答 错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对 3 题,两种情况,写出概率. 解答: 解: (1)∵ξ=|S3|的取值为 1,3,又 ;

∴ . ∴ξ 的分布列为:



∴Eξ=1× +3× = ; Dξ= =

(2)当 S 8=2 时,即答完 8 题后,回答正确的题数为 5 题,回答错误的题数是 3 题, 又已知 Si≥0(i=1,2,3,4) ,若第一题和第二题回答正确,则其余 6 题可任意答对 3 题; 若第一题正确,第二题回答错误,第三题回答正确,则后 5 题可任意答对 3 题. 此时的概率为 .

点评:本题考查离散型随机变量的分布列和期望,这种类型是近几年 2015 届高考题中经常 出现的,考查离散型随机变量的分布列和期望,大型考试中理科考试必出的一道问题. 24.设 r,s,t 为整数,集合{a|a=2 +2 +2 ,0≤t<s<r}中的数由小到大组成数列{an}. (1)写出数列{an}的前三项; (2)求 a36. 考点:组合及组合数公式;有理数指数幂的运算性质;数列的概念及简单表示法. 专题:计算题. 分析: (1)由于 r,s,t 为整数,且 0≤t<s<r,下面对 r 进行分类讨论:r 最小取 2 时,符 合条件的数 a 有一个,当 r=3 时,符合条件有的数 a 有 3 个,由此求得数列{an}的前三项. (2)同理可得 r=4 时,r=6 时,r=7 时,分别算出符合条件的数 a 的个数,最后利用加法原 理计算即得. 解答: 解: (1) ∵r、 s、 t 为整数且 0≤t<s<r, ∴r 最小取 2, 此时符合条件的数 a 有 当 r=3 时,s,t 可在 0,1,2 中取,符合条件有的数 a 有
0 1 2 0 1 3 0 2 r s t

=1; …

=3;…
3

故数列{an}的前三项为:2 +2 +2 =7,2 +2 +2 =11,2 +2 +2 =13. (2)同理,r=4 时,符合条件有的数 a 有 r=5 时,符合条件有的数 a 有 r=6 时,符合条件有的数 a 有 r=7 时,符合条件有的数 a 有 =10;… =15;… =21;… =6;…

因此,a36 是 r=7 中的最小值,即 a36=2 +2 +2 =131.… 点评:本题主要考查两个基本计数原理及数列的通项公式等基本概念,既要会合理分类,又 要会合理分步,一般是先分类,后分步.

0

1

7


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