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高中新课程数学(新课标人教A版)选修4-4《1.3简单曲线的极坐标方程》课件2_图文

时间:2017-05-08

第三节
【课标要求】

简单曲线的极坐标方程

1.了解极坐标方程的意义. 2.掌握直线和圆的极坐标方程. 3.能够根据极坐标方程研究有关数学问题. 【核心扫描】 1.极坐标方程与直角坐标方程的互化.(重点) 2.能用曲线的极坐标方程解决相关问题.(难点)

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自学导引
1.曲线的极坐标方程 一般地,在极坐标系中,如果平面曲线C上任意一点

f(ρ,θ)=0 ,并且 的极坐标中至少有一个满足方程_____________ f(ρ,θ)=0 的点都在曲线C上,那么 坐标适合方程_____________
方程f(ρ,θ)=0叫做曲线C的极坐标方程.

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2.常见曲线的极坐标方程
曲线 圆心在极点, 半径为 r 的圆 圆心为(r,0),半径 为 r 的圆 图形 极坐标方程

ρ=r (0≤θ<2π ) ________
ρ=2rcos θ ? π π? ? ? - ≤ θ ≤ ? 2 2? ? ?

? π ? 圆心为?r, 2 ?

? ? 半径 ?, ?

为 r 的圆

ρ=2rsin θ (0≤θ<π )

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过极点,倾斜角为 α 的直线

(1)________ θ=α (ρ∈R)或 θ =π+α (ρ∈R) ___________ (2)θ=α(ρ≥0)和 θ=π +α(ρ≥0) ρcos θ =a ? π π? ? ? - < θ < ? 2 2? ? ? ρsin θ =a (0<θ<π )

过点(a, 0), 与极轴 垂直的直线
? π ? 过点?a, 2 ? ? ? ?,与极 ?

轴平行的直线

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名师点睛
1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的区别 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一,即(ρ,θ),(ρ, 2π +θ),(-ρ,π +θ),(-ρ,-π + θ)都表示同一点的坐 标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线 上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满 足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程 ρ= θ,点 ?π ?π ? ?π ? π? π π ? ? ? ? ? ? M? , ?可以表示为? , + 2π ?或? , - 2π ?或 ?4 4? ?4 4 ? ?4 4 ? ? π ?π 5π ? π? ? ? ? ? 等多种形式,其中,只有 - , , ? ? ? ? 的极坐标满足 ? 4 4 ? ?4 4? 方程 ρ=θ.

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2.求曲线的极坐标方程,就是在曲线上任找一点M(ρ,θ),探 求ρ,θ的关系,经常利用三角形和正弦定理. 3.在进行两种坐标间的互化时,我们要注意: (1)互化公式是有三个前提条件的,极点与直角坐标系的原

点重合;极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合;两种坐
标系的单位长度相同. (2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但这里约定 在0≤θ<2π,ρ>0范围内求值. (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简.

(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,
通常要用ρ去乘方程的两端,应该检查极点是否在曲线上, 若在,是等价变形;否则,不是等价变形.
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【思维导图】

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题型一

圆的极坐标方程
? 3π ? C?r, ? 2 ? ? ?的圆的极 ?

【例1】 在极坐标系中,求半径为 r,圆心为
坐标方程.

[思维启迪] 解答本题先设圆上任意一点M(ρ,θ),建立等
式转化为ρ,θ的极坐标方程,化简即可.

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由题意知,圆经过极点O,OA为其

一条直径,设M(ρ,θ)为圆上除点O,A 以外的任意一点,则|OA|=2r,连接 AM,则OM⊥MA,在Rt△OAM中,

|OM|=|OA|cos∠AOM,

?3π ρ=2rcos? ? ? 2 ? ? -θ?,∴ρ=-2rsin θ , ? ? 3π ? ? ? O(0,0),A?2r, ?的坐标满足上式. ? 2 ?

经验证,点

所以满足条件的圆的极坐标方程为 ρ=-2rsin θ .

【反思感悟】 求轨迹方程时,我们常在三角形中利用正弦 定理找到变量ρ,θ的关系.在圆的问题中,经常用到直角三 角形中的边角关系.
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【变式1】 在圆心的极坐标为A(4,0),半径为4的圆中,求过 极点O的弦的中点的轨迹. 解 设M(ρ,θ)是轨迹上任意一点.连接
OM并延长交圆A于点P(ρ0,θ0),则有θ0 =θ,ρ0=2ρ. 由圆心为(4,0),半径为4的圆的极坐标 方程为ρ=8cos θ, 得ρ0=8cos θ0.所以2ρ=8cos θ, 即ρ=4cos θ. 故所求轨迹方程是ρ=4cos θ.它表示以

(2,0)为圆心,2为半径的圆.
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题型二 射线或直线的极坐标方程
π 【例2】 求过点 A(1,0)且倾斜角为 的直线的极坐标方程. 4 [思维启迪] 解答本题先设直线上任意一点M(ρ,θ),建立

等式转化为关于ρ,θ的方程,再化简即可.
设 M(ρ, θ)为直线上除点 A π 以外的任意一点,则∠ xAM= , 4 3π ∠ OAM= , 4 π ∠ OMA= - θ, 4 在△ OAM 中,由正弦定理得 |OM| |OA| = , sin∠ OAM sin∠ OMA 解 法一
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?π ? ρ 1 2 ? ? 即 = ? ,∴ρsin? - θ?= , ? 2 3π π ?4 ? ? ? sin? -θ? sin 4 ?4 ? π π 2 ρ (sin cos θ - cos sin θ )= , 4 4 2 化简得 ρ(cos θ - sin θ )= 1, 经检验点 A(1, 0)的坐标适合上述方程, 所以满足条件的直线的极坐标方程为 ρ(cos θ -sin θ )= 1, π 5π 其中,0≤θ< (ρ≥0)和 <θ <2π (ρ≥0). 4 4

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以极点 O 为直角坐标原点,极轴为 x 轴,建立平面直角 π 坐标系 xOy,直线的斜率 k=tan = 1, 4 直线方程为 y= x- 1, 将 y= ρsin θ , x= ρcos θ 代入上式, 得 ρsin θ = ρcos θ - 1, ∴ρ (cos θ - sin θ )= 1, π 5π 其中, 0≤θ< (ρ≥ 0)和 <θ <2π (ρ≥ 0). 4 4 【反思感悟】 法一通过运用正弦定理解三角形建立了动

法二

点M所满足的等式,从而集中条件建立了以ρ,θ为未知数 的方程;法二先求出直线的直角坐标方程,然后通过直角 坐标向极坐标的转化公式间接得解,过渡自然,视角新 颖,不仅优化了思维方式,而且简化了解题过程.
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【变式2】


求过

? π ? A?2, ? 4

? ? ?平行于极轴的直线方程. ?

如图所示,在直线 l 上任意取点 M(ρ,θ). ? π? ? ? ∵A?2, ?, ? 4? π ∴|MH |=2· sin = 2, 4 在 Rt△OMH 中,|MH|= |OM|sin θ ,即 ρsin θ = 2, 所以,过
? π ? A?2, ? 4 ? ? ? 平行于极轴的直线方程为 ?

ρsin θ = 2.

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题型三
【例3】

直角坐标方程与极坐标方程的互化

将下列直角坐标方程与极坐标方程互化.

(1)直线x+y=0;
(2)圆x2+y2+2ax=0(a≠0); (3)ρcos θ=2;(4)ρ=2cos θ;(5)ρ2 cos 2θ=2. [思维启迪] (1)(2)用公式x=ρcos θ,y=ρsin θ代入曲线(含 直线)的直角坐标方程,再化简即可. (3)(4)(5)利用公式ρ2=x2+y2,ρcos θ=x,ρsin θ=y等代入 曲线的极坐标方程,再化简方程.

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解 (1)将 x= ρcos θ ,y=ρsin θ 代入 x+y=0 得 ρ cos θ +ρsin θ =0,∴ρ(cos θ +sin θ )=0,∴tan θ =-1, 3π 7π ∴θ = (ρ≥0)和 θ= (ρ≥ 0). 4 4 综上所述,直线 x+y=0 的极坐标方程为 3π 7π θ = (ρ≥0)和 θ= (ρ≥ 0). 4 4 (2)将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入x2+y2+2ax=0得

ρ2 cos2θ+ρ2 sin2θ+2aρcos θ=0, 即ρ(ρ+2acos θ)=0,∴ρ=-2acos θ,

所以圆x2+y2+2ax=0(a≠0)的极坐标方程为ρ=-2acos θ.

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(3)∵ρcos θ=2,∴x=2. (4)∵ρ=2cos θ,∴ρ2=2ρcos θ, ∴x2+y2-2x=0,即(x-1)2+y2=1.

(5)∵ρ2 cos 2θ=2,∴ρ2(cos2θ-sin2θ)=2,
即ρ2cos2θ-ρ2sin2θ=2,∴x2-y2=2. 【反思感悟】 在实践中,由于问题的需要和研究的方

便,常需把这两种坐标进行换算,我们有必要掌握这两种
坐标间的互化.在解这类题时,除正确使用互化公式外, 还要注意与恒等变换等知识相结合.化为极坐标方程时, 如果不加特殊说明,就认为ρ≥0.
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【变式3】 (1)将x2-y2=a2化为极坐标方程; (2)将ρ=2asin θ化为直角坐标方程.
π (3)将 θ= 化为直角坐标方程. 3 解 (1)直接代入互化公式,ρ2cos2 θ-ρ2sin2 θ=a2,

∴ρ2cos 2θ=a2,这就是所求的极坐标方程. (2)两边同乘以ρ得ρ2=2a×ρsin θ. ∴x2+y2=2ay,这就是要求的直角坐标方程.
π y y (3)tan θ = , ∴tan = = 3, 化简得 y= 3x(x≥0). x 3 x

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高考在线——极坐标方程的应用
点击1 考查极坐标方程的意义 【例1】 (2010· 北京高考)极坐标方程(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)表示
的图形是 ( A.两个圆 C.一个圆和一个射线 解析 ). B.两条直线 D.一条直线和一条射线

由(ρ-1)(θ-π)=0(ρ≥0)得,ρ=1或θ=π,其中ρ=

1表示以极点为圆心,半径为1的圆,θ=π表示以极点为起 点与Ox反向的射线.

答案

C
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点击2 极坐标方程与直角坐标方程的互化 广东高考)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 【例2】 (2010· ρ(cos θ+sin θ)=1与ρ(sin θ-cos θ)=1的交点的极坐标为 ________.
解析 曲线 ρ(cos θ+sin θ)=1 与 ρ(sin θ-cos θ)= 1 的直角坐标方程分别为 x+y=1 和 y-x=1,两条直线 ? π? ? 的交点的直角坐标为(0,1),化为极坐标为?1, ? ?. ? 2?

答案

? π ? ?1, ? 2

? ? ? ?

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点击3 极坐标方程的应用
上海高考)在极坐标系中,由三 【例3】 (2009· π 条直线 θ=0, θ = , ρcos θ +ρsin θ 3 =1 围成图形的面积是 ________.
π 解析 θ=0,θ= ,ρcos θ+ρsin θ 3 =1 三直线对应的直线坐标方程 分别为:y=0,y= 3x,x+y=1,作出

3- 3 图形得围成的图形为如图△OAB,S= . 4 3- 3 答案 4
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辽宁理)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点,x 【例4】 (2009· 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? π? ? ρcos?θ - ? ?= 1, M、 N 分别为 C 与 x 轴、 y 轴的交点. ? 3? (1)写出C的直角坐标方程,并求M、N的极坐标;

(2)设MN的中点为P,求直线OP的极坐标方程. ? π? ? 解 (1)由 ρcos?θ- ? ?=1 ? 3? ?1 ? 3 得 ρ? cos θ+ sin θ?=1. ?2 ? 2 1 3 从而 C 的直角坐标方程为 x+ y=1, 2 2
即 x+ 3y=2.

θ=0 时,ρ=2,所以 M(2,0).
?2 3 π ? π 2 3 ? θ= 时,ρ= ,所以 N? . , ? 2 3 ? 3 2? ?
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? ? 2 3 ?. (2)M 点的直角坐标为(2,0),N 点的直角坐标为?0, ? 3 ? ? ? ? ? π 3 2 3 ? ? 所以 P 点的直角坐标为?1, ?, 则 P 点的极坐标为? , ?, ? 3? ? 3 6?

π 所以直线 OP 的极坐标方程为 θ= ,ρ∈(-∞,+∞). 6

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[P15思考] 在例3中,如果以极点为直角坐标原点,极轴为x轴正 半轴建立平面直角坐标系,那么直线l的直角坐标方程是 什么?比较直线l的极坐标方程与直角坐标方程,你对不 同坐标系下的直线方程有什么认识?
P 点坐标(ρ1cos θ1,ρ1sin θ1), π 当 α≠ 时,直线方程为 y-ρ1sin θ1=tan α(x-ρ1cos θ1) , 2 即 x· tan α-y-ρ1cos θ1·tan α+ρ1sin θ1=0. π 当 α= 时,x=ρ1cos θ1. 2 答
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在极坐标系中,过极点的直线方程形式比较简单,而不过 极点的直线方程形式要比直角坐标方程复杂. [课后习题解答]

习题1.3 (第15页)
1.解 (1)表示圆心在极点,半径为5的圆(图略). 5π (2)表示过极点,倾斜角为 的直线. 6 ? π? (3)表示过极点,圆心在?1, 2 ?,半径为 1 的圆. ? ?

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2.解

π (1)θ= (ρ∈ R). 3

π (2)如图所示,设过点 A(2, )且与极轴垂直 3 的直线与极轴交于点 B,点 P(ρ,θ)是直线上 任一点. π 因为∠ AOB= , OA= 2, 3 π 所以 OB= 2cos = 1, 3 OB 1 从而 cos θ = ,即 cos θ = , OP ρ 所以,所求的极坐标方程为 ρcos θ = 1.

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(3)如图所示,设 P(ρ,θ)是圆上任一点.当 O,A, P 三点不共线时, 在△ OPA 中利用余弦定理得到 ? π? ? ? 2 2 OA + OP - 2OA· OPcos?θ - ? ? 4? = AP2, ? π? ? ? 2 所以, 1+ ρ - 2ρcos?θ - ?= 1, ? 4? ? π? ? ? 即ρ = 2cos?θ - ?. ① ? 4? ? 3π ? ? ? 当 O, A, P 三点共线时, 点 P 的坐标为?0, ?或 ? 4 ? ? π? ? ? 2 , ? ? ,这两点的坐标满足①,所以①就是所求 ? 4? 的圆的极坐标方程.
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(4)如图所示,设 P(ρ, θ)是圆上任一点. 当 O、A、P 三点不共线时,在△ OPA 中 利用余弦定理得到 ? ? ?π ? 2 2 OA + OP - 2OA· OPcos? - θ? ?2 ? = AP2, 所以 a2+ ρ2- 2aρsin θ = a2,
即 ρ=2asin θ . ② ? π? ? 当 O、A、P 三点共线时,点 P 的坐标为(0,0)或?2a, ? , ? 2? ? 这两点的坐标满足②,所以②就是所求的圆的极坐标方程.

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3.解 4.解

(1)ρcos θ=4. (1)y=2.

(2)ρsin θ=-2. (2)2x+5y-4=0.

(3)2ρcos θ-3ρsin θ- 1=0. (4)ρ2cos 2θ=16.

(3)(x+5)2+y2=25.
? ρsin? ?θ ?

(4)(x-1)2+(y+2)2=5.

π? 2 ? 5.解 把 + ?= 2 ,转化成普通方程 x+y-1=0. 4? ? 7 ? ∵点 A 的极坐标为?2, π ?. 4 ? ? ∴点 A 的直角坐标为( 2,- 2). | 2- 2-1| 2 ∴所求的距离为 d= = . 2 2
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x2 y2 6.(1)证明 由题意知,椭圆的方程为 2+ 2=1 (a>b>0), a b ? π? ? ? 设 A 的极坐标为(ρ1,θ),B 的极坐标为?ρ 2,θ- ?. 2? ? 则 A 的直角坐标为(ρ1cos θ ,ρ1sin θ ),B 的直角坐标为 (ρ2sin θ ,-ρ2cos θ ), (ρ1cos θ )2 (ρ1sin θ )2 ∵点 A、B 在椭圆上,∴ + =1, a2 b2 (ρ2sin θ )2 (-ρ2cos θ )2 + =1. a2 b2
2 2 2 2 2 2 2 2 1 b cos θ +a sin θ 1 b sin θ +a cos θ ∴ 2= , 2= . ρ1 a2b2 a2b2 ρ 2

1 1 1 1 ∴ + = 2+ 2 |OA|2 |OB|2 ρ 1 ρ2

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1 1 ∴ + 为定值. |OA|2 |OB|2
(2)解 1 1 由(1)知 S△AOB= |OA||OB|= ρ 1ρ 2. 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 b cos θ +a sin θ b sin θ +a cos θ · 2= · 2 2 2 2 ρ a b a b ρ2 2 1

1 (a2-b2)2sin2 2θ +a2b2 4 = , a4b4 ∴ρ
2 2 ρ 1 2=

. 1 (a2-b2)2sin22θ +a2b2 4
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a4b4

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当 sin 2θ =0

2

1 2 2 2 2 时,(ρ1ρ 2)max=a b ,∴(S△AOB)max= ab; 2

4 4 4 a b 2 2 2 当 sin 2θ =1 时,(ρ1ρ 2)min= , (a2+b2)2 1 2a2b2 a2b2 ∴(S△AOB)min= · 2 = . 2 a +b2 a2+b2

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