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例析解三角形中的最值问题

时间:2017-01-09


数 学篇 高二使用

名师 专题 讲 座  2 0 1 6年 9月 下 

解 三角 形 中的最 值 问题 是 高 考 和各 地模 
拟 卷 中的热 点 问题 , 这 类 问 题 可 结 合 几 何 和  代 数 两 个 方 面 来 考 查 同 学 们 的 分 析 问 题 的 能 

B  ) z 一( B A—Bd) 。 ] 可 简便 求得 三 角形 的 中  
线 长。  

( 2 ) 挖 掘 出隐 藏在 本 题 的 ( 三 ) 0 是 成 功 解 

力 , 且 综 合性 强 , 常作为小题 的压轴题 出现。  
下 面结 合具 体例 题解 析 这类 最值 问题 。  
一  

答 的 关 键 。 本 题 得到  A D c 一 号 可直 接作  
出( 三 ) 0, 有 的 题 目 隐 圆 背 景 不 容 易 从 表 面 看  出, 可 以 通 过 建 立 坐标 系 算 出 。  

关于 边长 或 边长 的 线性 组合 的最 值 

问 题 

侧 2 在 AA B C 中, 角 A, B, C所 对 
的 边 分 别 为 n, b, C, 且 a c o s   B + b C O S   A 一 

侧 , 如图 1 , 在四边 
形 ABC D中, 已 知 AB 一 7 ,   AC= 6 , 并 且C O S   B AC — 
1 1


熹   , c 一 2 , 角 c 是 锐 角 , 则 n + 6 的 最 大 值  
D 

CD 一 6 s i n   DAc, 则  。  
C 



。 
— —

BD 的 最 大 值 为 

解 析 :由 nc 。 s   B+ 6 c 。 s   A 一 

得 

解 析 : 由余 弦定 理 ,  
可 得 
图 1   s i n   A c o s   B+ s i n   sA 一  。  

BC一  ̄ / AB + AC  一2 AB ?AC ?C O S   BAC 
n( A + B—


i n   c 一 

。  

√ 
由正 弦定 理 可得 :  
CD 
s i n  D A C 

A C 
si n  A D C  s i n 

6  
A D C 

c 是 锐 角 , 则c 一 号 , 故 B + c 一 荨 。  
3 / -


A — 

s i n

。 一  
0  

百一 

一  

一4 J  

一亨 , 则“ a 一  


= = = 6, 即 s i n   ADc 一 1,  ̄ ADC -   。  
s i n  A , 6一  s i n   B 。  

以 AC 为 直 径 作 o 0 , 则 点 D 在 o0 上 。   又   ABC<   ACB , 则   A BC 为 锐 角 , 即 点 
B 在 ④ 0 外 面 。 从 而 当 BD 经 过 圆 心 0 时 取   最 大 值 。  
而一 .一 一 _ 1 ( 一 而  B A  ?   BC   一_ - E   (   B A- 4 - B d) C) z 。 一(   B 一 A一  


0  

故  + 6 一 竽 n   A  n   B   一  

竽[ s i n A  n (   一 A ) I : 4 c o s ( A 一 詈 ) 。  
而o < A < 等, 即 一 号 < A 一 詈 < 詈 , 则  
a+ b ≤ 4, 当 A 一  时 等 号 成 立 , 故 n+ b 的 
0 

Bd)   ] 一   1[ ( 2   B O) 。 一(   )   ]
故 7.  
+ .— 4 9


。 

19




36



1( 4 BO   z
_
~  

2 ?7 ? \ , 1 9  

_

4  

最 大 值 为 4。  
点评 : ( 1 ) 射 影 定理 a   C O S   B + bC OS   A—C  

3 6 ) , 解 得 BO 一 5 。  

故 BD≤ BD  一 BO+ oD  一5 4 - 3 — 8, 即 
8为 所 求 。  

是 很 多 解 三 角形 题 目题 设 条 件 的 命 题 背 景 。   ( 2 ) 求 最 值 问题 , 常 见 策 略 是 采 用 函 数 思  想, 将待 求量表 示成 某 个量 的 函数 来 求 解 , 如 
以 上 解 答 。 另 外 一 种 策 略 是 将 待 求 量 看 作 一 

点 评 : ( 1 ) 由 公 式   ? 赢一 { [ (  +  

9  









_, 一

 

麟 高二使用  2 0 1 6 年9 月下  
个整体 , 构 建 有 关 这 个 整 体 的 不 等 式 求 解 。  


n  z—  

.b cs i n   A, 即_ a   2

一 si n   A 。  

结合条 件的特 点 , 有 以下两种 思路 :   ( 利 用 不 等 式 )由 余 弦 定 理 , 有4 一a  + 
6 。 一 2 a bC O S   C一 ( a   H -6)  一 3 ab≥ ( n + b) 。一



此 ,   c o s   A  一 
厶 

。 一 
0 C  

一 

3 ( a _ . 4   b ) 2 一   {  , 则 。 . 4 b  ̄ 4 。  
( 由二 次 方程有 解 得 △≥ 。构 建 不等 式 )  
设 Ⅱ+ 6一  , 即 6一 一 Ⅱ, 代 入 4一 a  + 6 。 一 。6  

(   + - / - ~   ) 。   设鱼 一   > 。 , 则   + ÷ 一 s i n A . 4 2 c 。 s A 一  


s i n( A +  )≤  
~ 

, 其 中 t a “  

— 2 ,当 

整理得 3 a  一 3 t a+ t  

4— 0。 关 于 n 的 二 次 

方 程 有 解 , 则 A  ̄ 9 t   2 - 1 2 ( t   2 - 4 ) ≥ 。 , 解 得   c 。 s   A 一 竽时 等 号 成 立 。  
的最 大值 为 4 。  

= . 关 于 边 长 的 积 或 三 角 形 面 积 的 最 值  
i '  ̄I I I

从 而  一   +1 ≤ 0 , 解得   ≥   ≤ £ ≤  
- +  ̄5 丁 1

倒  佑f  

~ 知 △ 已 …ABc … 的三 一  个 内 ~ 角  A, B,  

澈  z 为所求 。    
方 法 2: 设 BC — n, 则 s△   一  1
. n  z —  

c 所 对 的 边 分 别 为 a, 6, c, ( 3+ 6) ( s i n   A 一 
s i n   B) 一( c 一6 ) s i n   C, 且 a一 3 , 则 A ABC 面   1  

积的最大值为   。  
解析 : 由 n一 3和 ( 3   . b) 4 ( s i n   A— s i n   B)  

寺。 b c s i n   A, 即s i n   A 一   b c 。  
b  + c 。 -a  
…   一


:一 2  

j - 

.C 4   2 -a   2 一





A 一 



… 。  
卜   。  

专 , 故 A 一 争 
一  

。  
1   1


则一 4  

成 立 。
【I   一 L   . , d /
0 . ,

故 蚁 I (  』   )   一 。 I (  J   ) 。 十 +   ≤ U 。 , 肼 解 侍I 得(  J   )   。 ≤  
I T
一  

3 +, / g   5 +2   +1   /   +1 、  
2   4   \   2   /。  

z  


z  

故  为 所 求 。  

从 而 鱼 ≤ 掣


, 故 掣 为 所 求 。  

点评 : 这 类 问 题 通 常 结 合 余 弦 定 理 和 不 
等 式 放 缩 求 最 值 。 由 于 已 知 “一 3 和 A 一  ,  
此 题 也 可 以 从 几 何 上 考 虑 :固 定 BC ,作  

点评 由 此 题 还 可 以衍 生 出如 下 变 式 :  
变式 1 : 若 △ ABc 的 BC 边 上 的 高 AD 一 
BC , 则  +  AB 的 取 值 范 围 是

— —

( 答 案 :  

△ ABc 的 外 接 圆 o 0 , 则 点 A 在 弦 Bc 所 对   的优 弧上 运 动 , 从 而 当 点 A 在 Bc 的 垂 直 平 
分 线上 时 , S△ A   c最 大 。  

r 2
, 

] )   变式 2


在 △ A Bc 中 ,内 角 A , B, C 所 对 

三 ,关 于边长 的 比值的 最值 问题 

的边分别为 a, b , c , B C边 上 的 高为   a , 且 

倒 

; f N  ̄A B C中, A D为B C边上的  
^  

+b




4, 则 t a n   A 的 值 为 

。( 答案 :  

高, 且 AD _ BC , b, C分 别 表 示 角 B, C 所 对  的边 长 ' 则  的 最 大 值 是

‘  

四 .关 于 角 或 角 的 三 角 函 数 的 量 值 问 题 
— —

。  
?  

倒 

△AB c的三个内角 A, B, c所 
( T  r ig  2 1 页 

解析 : 方法 1 : 设 BC一 。, 则 s△   一 

对 的 边 分 别 为 。, 6, c,

1 0  

数学篇 新颖试题赏析 
高 二 使 用  2 O 1 6年 9月 下  骶

黼  鞫 
 

A 的角 平分 线 , 且 AD — k AC 。   ( 1 ) 求 矗的 取 值 范 围 ;   ( 2 ) 若 S△   一1 , 试 问 是为 何 值 时 , BC   最短。  
解析 : 设 A C= £ , L BAC = 2 0。  

.  



  5   4 c o s   2 0 —5 —4 c o s   2 0   一s i   n   2 0   s i n   2 0   s i n   2   。  

则 5— 4 c o s   2 0一 us i n   2  ’ 5一 “   i n   2  +  4 c 。 s   2 0 =  s i n( 2 0+  ) ≤  丽 ,  

其中 t a n   一  , “≥ 3。  

(   ) S a n  +s △   c 。 一s △  , 则寺 ‘ 2 t 。  
忌 £ s i n   +  .£.志 £ s i n   0一 1


所以( B c ) …一  , 等号成立, 此时  
s i n( 2  +   )一  。  

2 £.   s i n   2 0,  

…  
2  i   。  

1   一i  
, 愚一  。。   。  

3一 

…   O  一 詈   2 C O S 2  1 , 所  
以c 。 s   一 √  一   , 愚 一 号   。  

因 为   ∈ ( 。 , 号 ) , 所 以 忌 ∈ ( 。 , 詈 ) 。  

故 愚 一   4 …   一 号  

c 最 短 , 最  

2   因 为 s  一 丢 . 2   .   .   i n   2   一   ,  小 值   霉   本 题 的 两 个 问 题 都 是 围 绕 着 参 数  
t   Z
S1 n 

一  

∥ 

求  莆 小 值 循 .颇 席i f i且 维 含 舍 蚩 .   求 边 的 最 小 , 具  思 维 量 。  

( 2 t )  + t  ~ 2 ? 2 t?t?C O S   2 0— 5 t   一 

( 责任 编 辑

徐 利 杰)  

( 上接 第 1 0页 ) as i nA  s i nB + b c o s 。 A 一2 a, 则  角 A 的 取 值 范 围是
。 
— —

3    ̄ / 。 。 一6 a+ 3 6  

解析 : 由正 弦 定 理 得 :  
s i t 3co


又 1 ≤ n≤ 6, 则  ̄ /  z   6  + 3 6∈ [ 3  
2s i nA

,  

整理 得
m l l … ^

B   2 s i n   A 





从 而


b   2 a  



o A  

∥ 

I l I J  


“  c, /   3,

6  

一 

2' 故  2为 /   所0 小。 求  

’ 队



b 。 + c  一 a  

3 a  + c   \ 



茸 他 矗 信 闾 颇 



 



 

侧 7 : (  ̄ AA B C中, 内角 A, B, C所对 




 

故 A ∈ ( 。 , 詈 ] 。  

的 边 分 别 为 。 , 6 ,   , 角 B ≤   , 且 8   i n A   i n   c  
+ 

点 评 : 求 角 的取 值 范 围往 往 先 求 这 个 角  

的余 弦的取 值 范 围 。  

一s i n 。 B, 则:  

的最小 值 为
— —

。 

侧 6   在 △ABc 中 , 内角 A, B, c 所 
对 的 边 分 别 为 口, b, c, 已 知 C一 6 , s i n   A 一 

解析 : 设_ a   4 - c
。  

一 £(  > 1), 则 口+ c一 6。  

s i n   c= : : s i n( A -B) 。若 1 ≤ a≤ 6, 则 s i n   C 的  最小 值 是
。 
— —

由 8 s i n   A  s i n   c— s i n   B知 8 a c 一6   。   由余 弦 定 理 , 得 C O S   B一“ 。  
4( Ⅱ + c)  一 8 nc一 46 。  
8ac  

。 一 

解析 : 由题 意 知 s i n   A —s i n( A + B )+ 
s m L ^ 一  — zsl n A cos   。

4(   6) 。 一 6。 一 46 。  
b   2  

而 s i nA > 。, 则 c 。 s   B 一  1


故B : = = 詈 。

4 t   2 - 5 。  
. n   n /

7 c  

mI   T


n \



日 n 

2  



n 

II  

由余 弦定 理 , 得 b一  ̄ / n  + c   一2 a c C O S   B  


用 


2  

/ 

。 /  ,

 ̄ / 口   一 。+ 3 6。  
正 弦

£ ≥  , 故  为 所 求 。  
( 顶 责 。 1 任 士曼 编 而料 辑  徐 俅  U 利  杰 )  

D 

21  


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