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必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题

时间:2016-07-27


必修五第一章解三角形知识点总结及经典习题
(数学教研组) 一、知识点总结 a b c ? ? ? 2 R (R:外接圆半径) 1.正弦定理: sin A sin B sin C 或变形: a : b : c ? sin A : sin B : sin C . 结论:①定理:在三角形中,α 、β 为其内角,则α ≤β ? sin ? ? sin ? ,等号当且当α =β 时成立。 ②判断三角形大小关系时,可以利用如下原理: sin A > sin B ? A > B ? a > b
cos A ? cos B ? A ? B ? a < b

③ 三角形的面积公式: S ? =

1 1 1 absinC= bcsinA= acsinB 2 2 2

? b2 ? c2 ? a 2 cos A ? ? 2bc ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 2 ? a ? c2 ? b2 ? 2.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B 或 ?cos B ? . 2 ac ? ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ? ? b2 ? a 2 ? c2 cos C ? ? 2ab ?
3.利用正弦定理和余弦定理分别能解决的问题: (1)正弦定理:1、已知两角和一边(如 A、B、c),由 A+B+C =π 求 C,由正弦定理求 a、b.(ASA 或 AAS) 2、已知两边和其中一边的对角(如 a、b、A),应用正弦定理求 B,由 A+B+C = π 求 C,再由正弦定理或余弦定理求 c 边,要注意解可能有多种情况.(SSA) (2)余弦定理:1、已知三边 a、b、c,应余弦定理求 A、B,再由 A+B+C = π ,求角 C.(SSS) 2、已知两边和夹角(如 a、b、C),应用余弦定理求 c 边;再应用正弦定理先求较短 边所对的角,然后利用 A+B+C =π ,求另一角.(SAS) 主流思想:利用正、余弦定理实现边角转化,统一成边的形式或角的形式. 5.三角形中的基本关系: sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,
A? B C A? B C A? B C ? cos , cos ? sin , tan ? cot 2 2 2 2 2 2 6. 求解三角形应用题的一般步骤: (1)分析:分析题意,弄清已知和所求; (2)建模:将实际问题转化为数学问题,写出已知与所求,并画出示意图; (3)求解:正确运用正、余弦定理求解; sin

(4)检验:检验上述所求是否符合实际意义。

1

习题练习
解三角形[A 组] 一、选择题 1.在△ ABC 中,若 b ? 2a sin B ,则 A 等于( D ) A. 300 或600 B. 450 或600 C. 1200 或600 D. 300 或1500

2.边长为 5, 7,8 的三角形的最大角与最小角的和是( B ) A. 900 二、填空题 3.在△ABC 中,若 a 2 ? b 2 ? bc ? c 2 , 则A ? ___ 1200 ___。 4.在△ABC 中,若 b ? 2, B ? 300 , C ? 1350 , 则a ? 6 ? 2 。 三、解答题 5.在△ABC 中,设 a ? c ? 2b, A ? C ? B. 1200 C. 1350 D. 1500

?
3

, 求 sin B 的值。

解:∵ a ? c ? 2b, ∴ sin A ? sin C ? 2sin B ,即 2sin ∴ sin

A?C A?C B B cos ? 4sin cos , 2 2 2 2

B ? B 1 A?C 3 B 13 ,而 0 ? ? , ∴ cos ? , ? cos ? 2 2 2 2 2 4 2 4

∴ sin B ? 2sin

B B 3 13 cos ? 2 ? ? ? 2 2 4 4

39 8

解三角形[B 组] 一、选择题 1.在△ABC 中, A : B : C ? 1: 2 : 3 ,则 a : b : c 等于( C ) A. 1: 2 : 3 二、填空题 2.若在△ABC 中, ?A ? 600 , b ? 1, S?ABC ? 3, 则
a?b?c 2 39 =( ) sin A ? sin B ? sin C 3

B. 3 : 2 :1

C. 1: 3 : 2

D. 2 : 3 :1

3.在△ABC 中,若 a ? 9, b ? 10, c ? 12, 则△ABC 的形状是锐角三角形。 4.在△ABC 中,若 a ? 3, b ? 2 , c ?
6? 2 则A ? 600 。 2

5.在锐角△ABC 中,若 a ? 2, b ? 3 ,则边长 c 的取值范围是 ( 5, 13) 。 三、解答题 6. 在△ABC 中, A ? 1200 , c ? b, a ? 21, S? ABC ? 3 ,求 b, c 。

2

1 解: S?ABC ? bc sin A ? 3, bc ? 4, 2

a2 ? b2 ? c2 ? 2 bc co s A , ? b
所以 b ? 1, c ? 4 7. 在△ABC 中,若 a cos 2

? c,而 5 c?b

C A 3b ? c cos 2 ? ,求证: a ? c ? 2b 。 2 2 2

证明:∵ a cos 2

C A 3b ? c cos 2 ? 2 2 2 1 ? cos C 1 ? cos A 3sin B ? sin C ? ? ∴ sin A ? 2 2 2 即 sin A ? sin A cos C ? sin C ? sin C cos A ? 3sin B

∴ sin A ? sin C ? sin( A ? C) ? 3sin B 即 sin A ? sin C ? 2sin B ,∴ a ? c ? 2b 解三角形[C 组] 一、选择题 1. A 为△ABC 的内角,则 sin A ? cos A 的取值范围是( C ) A. ( 2 ,2) B. (? 2 , 2 ) C. (?1, 2 ] D. [? 2 , 2 ]

2.在△ABC 中,若 a ? 7, b ? 3, c ? 8 ,则其面积等于( D ) A. 12 B.
21 2

C. 28

D. 6 3

3.在△ABC 中,若 (a ? c)(a ? c) ? b(b ? c) ,则 ? A ? ( C ) A. 900 B. 600 C. 1200 D. 1500

4.在△ABC 中,若 A.直角三角形 二、解答题

tan A a 2 ? ,则△ABC 的形状是( B ) tan B b 2

B.等腰或直角三角形

C.不能确定

D.等腰三角形

5. 如果△ABC 内接于半径为 R 的圆,且 2R(sin 2 A ? sin 2 C) ? ( 2a ? b) sin B, 求△ABC 的面积的最大值。 解: 2R sin A ? sin A ? 2R sin C ? sin C ? ( 2a ? b)sin B,

a sin A ? c sin C ? ( 2a ? b)sin B, a2 ? c2 ? 2ab ? b2 ,
a 2 ? b2 ? c 2 ? 2ab, cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 2 ? , C ? 450 2ab 2

3

c ? 2 R, c ? 2 R sin C ? 2 R, a 2 ? b 2 ? 2 R 2 ? 2ab, sin C

2 R 2 ? 2ab ? a 2 ? b2 ? 2ab, ab ?

2R2 2? 2
2 ?1 2 R 2

1 2 2 2R2 S ? ab sin C ? ab ? ? , S max ? 2 4 4 2? 2

1 2 2 另法: S ? ab sin C ? ab ? ? 2 R sin A ? 2 R sin B 2 4 4 ? 2 ? 2 R sin A ? 2R sin B ? 2R 2 sin A sin B 4

1 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? cos( A ? B)] 2

1 2 ? 2 R 2 ? ? [cos( A ? B) ? ] 2 2 2R2 2 ? ? (1 ? ) 2 2
? Smax ? 2 ?1 2 R 此时 A ? B 取得等号 2

6. 已知△ABC 的三边 a ? b ? c 且 a ? c ? 2b, A ? C ?

?
2

,求 a : b : c 。

解: sin A ? sin C ? 2sin B, 2sin
sin

A?C A?C A?C A?C cos ? 4sin cos 2 2 2 2

B 1 A?C 2 B 14 B B 7 ? cos ? ,cos ? ,sin B ? 2sin cos ? 2 2 2 4 2 4 2 2 4

A?C ?

?
2

, A ? C ? ? ? B, A ?

3? B ? B ? ,C ? ? 4 2 4 2

sin A ? sin(

3? 3? 3? 7 ?1 ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4 4

sin C ? sin( ? B) ? sin cos B ? cos sin B ? 4 4 4

?

?

?

7 ?1 4

a : b : c ? sin A : sin B : sin C ? (7 ? 7 ) : 7 : (7 ? 7 )

7. 在△ABC 中,若 (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac ,且 ta n A? ta n 的大小与边 a, b, c 的长。

C3 ? ? 3

, AB 边上的高为 4 3 ,求角 A, B, C

4

1 解: (a ? b ? c)(a ? b ? c) ? 3ac, a 2 ? c 2 ? b 2 ? ac, cos B ? , B ? 600 2

tan A? t a Cn ?3 3 t a nA ( ? C ?) ? , ?3 , 1? t a n A tC an ? 1 At a nC t a n

tan A ta Cn? ? 2 ,联合 3 tan A ? tan C ? 3 ? 3
0 0 ? ? ? ? A ? 75 ? A ? 45 ? tan A ? 2 ? 3 ? ? tan A ? 1 或 或? 得? ,即 ? ? 0 0 ? ? ? ? ? tan C ? 1 ? tan C ? 2 ? 3 ?C ? 45 ?C ? 75

当 A ? 750 , C ? 450 时, b ?

4 3 ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ? 1), a ? 8 sin A 4 3 ? 4 6, c ? 4( 3 ? 1), a ? 8 sin A

当 A ? 450 , C ? 750 时, b ?

∴当 A ? 750 , B ? 600 , C ? 450 时, a ? 8, b ? 4(3 2 ? 6), c ? 8( 3 ?1), 当 A ? 450 , B ? 600 , C ? 750 时, a ? 8, b ? 4 6, c ? 4( 3 ?1) 。 解三角形[D 组] 1.在 ?ABC 中, sin A ? cos A ? 2 , AC ? 2 , AB ? 3 ,求 tan A 的值和 ?ABC 的面积。
2

解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。
? sin A ? cos A ? 2 cos(A ? 45? ) ? 1 ? cos(A ? 45? ) ? . 2 2 , 2

又 0? ? A ? 180? , ? A ? 45? ? 60? , A ? 105?.
? tan A ? tan(45? ? 60? ) ? 1? 3 ? ?2 ? 3 , 1? 3

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60? ) ? sin 45? cos60? ? cos45? sin 60? ?

2? 6 . 4

S ?ABC ?

1 1 2? 6 3 AC ? AB sin A ? ? 2 ? 3 ? ? ( 2 ? 6) 。 2 2 4 4

解法二:由 sin A ? cos A 计算它的对偶关系式 sin A ? cos A 的值。
? sin A ? cos A ? 2 2



5

? (sin A ? cos A)2 ? ? 2sin A cos A ? ?

1 2

1 2 ? ? ? 0 ? A ? 180 ,? sin A ? 0,cos A ? 0. 1 另解(sin 2 A ? ? ) 2

? (sin A ? cos A) 2 ? 1 ? 2 sin A cos A ?
? sin A ? cos A ? 6 2

3 , 2



①+②得 sin A ?

2? 6 。 4
4

①-②得 cos A ? 2 ? 6 。 从而 tan A ?
sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3 。 cos A 4 2? 6

2.(2010 上海文数 18.)若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC ( (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.
2 2

C



sin C ? 2 3 sin B , 3. (2010 天津理数 7) 在△ABC 中, 内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c, 若 a ? b ? 3bc ,
则 A=( A ) (B) 600 (C) 1200 (D) 1500 D )

(A) 300

4.(2010 湖北理数)3.在 ?ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B =( A -
2 2 3

B 2 2 C - 6 D
3
3

6 3

5. (2010 广东理数) 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, 若 a=1,b= 3 , 则 sinC= 1 。

A+C=2B,

6.(2009 全国卷Ⅰ理)在 ?ABC 中,内角 A、B、C 的对边长分别为 a 、 b 、 c ,已知 a ? c ? 2b ,
2 2

且 sin A cos C ? 3cos A sin C, 求 b 7.(2009 四川卷文)在 ?ABC 中, A、B 为锐角,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c ,且
sin A ? 5 10 ,sin B ? 5 10 .

(I)求 A ? B 的值;(II)若 a ? b ? 2 ? 1 ,求 a、b、c 的值。
6

解(I)∵

A、B 为锐角, sin A ?
5

5 10 ,sin B ? 5 10
10

∴ cos A ? 1 ? sin 2 A ? 2 5 , cos B ? 1 ? sin 2 B ? 3 10
cos( A ? B) ? cos A cos B ? sin A sin B ? 2 5 3 10 5 10 2 ? ? ? ? . 5 10 5 10 2

∵ 0 ? A ? B ? ? ,∴ A ? B ?
4

?
4
2

(II)由(I)知 C ? 3? ,∴ sin C ? 2 由
a b c 得 ? ? sin A sin B sin C

5a ? 10b ? 2c ,即 a ? 2b, c ? 5b

又∵ ∴ ∴

a ? b ? 2 ?1

2b ? b ? 2 ?1
a ? 2, c ? 5



b ?1

8.(2010 辽宁文数 17)(本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, a、b、c 分别为内角 A、B、C 的对边,且 2a sin A ? (2b ? c)sin B ? (2c ? b)sin C (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)若 sin B ? sin C ? 1 ,试判断 ?ABC 的形状. 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a 2 ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c 即 a ? b ? c ? bc
2 2 2

由余弦定理得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 故 cos A ? ? 1 , A ? 120 ?
2
2 2 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 sin A ? sin B ? sin C ? sin B sin C.

又 sin B ? sin C ? 1 ,得 sin B ? sin C ? 因为 0? ? B ? 90?,0? ? C ? 90? ,

1 2

故B ?C 所以 ?ABC 是等腰的钝角三角形。 9.(2010 辽宁理数)(17)(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,a, b, c 分别为内角 A, B, C 的对边,且 2asin A ? (2a ? c)sin B ? (2c ? b)sin C. (Ⅰ)求 A 的大小; (Ⅱ)求 sin B ? sin C 的最大值.

7

2 解:(Ⅰ)由已知,根据正弦定理得 2a ? (2b ? c)b ? (2c ? b)c



a2 ? b2 ? c2 ? bc
由余弦定理得

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A
……6 分

1 cos A ? ? ,A=120° 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:



sin B ? sin C ? sin B ? sin(60? ? B)

3 1 cos B ? sin B 2 2 ? sin(60? ? B) ?

故当 B=30°时,sinB+sinC 取得最大值 1。

8


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