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湖北省天门市2014届高三下学期四月调研测试数学(理)试题 (含答案)Microsoft Office Word 文档

时间:2014-04-19


湖北省天门市2014届高三下学期四月调研测试 数学(理)试题
全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意:1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。 答在试题卷上无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 把答案填在答题卡上对应题号后的框内, 答在试卷上无效。 1. 设集合 M ? { y | y ?| cos 2 x ? sin 2 x |, x ? R} ,N ? {x || 则 M∩N 为 A. (0,1)

2x i 为虚数单位,x ? R} , |? 1 , 1 ? 3i
D.[0,1]

B. (0,1]

C.[0,1)

2.已知 2 ? a ? 2 ,则函数 f ( x) ? a 2 ? x 2 ? | x | ?2 的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4

3.圆 O 中,弦 PQ 满足|PQ|=2,则 PQ PO = A.2
x

B.1

C.

1 2

D.4

1 4.函数 f ( x) ? ( ) ? x 的零点所在区间为 3
A. (0,

1) 3

B. (

1,1) 3 2

C. ( 1 ,1) 2

D. (1,2)

3 2 4 5.设 p : f ( x) ? x ? 2 x ? mx ? 1 在( ??, ?? )上单调递增; q : m ≥ ,则 p 是 q 的 3

A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 6.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示 A、B、C 分别 是△GHI 三边的中点)得到几何体如图(2) ,则该几何 体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为

D.以上都不对

A

B

C

D

?0 ≤ x ≤ 2 , ? 7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2, 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上 ? ?x ≤ 2 y

的动点,点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 z ? OM OA 的最大值为

A.3

B.4

C. 3 2

D. 4 2

8.已知函数 f ( x) ? a sin x ? b cos x ,在 x ? ? 时取得极值,则函数 y ? f ( 3? ? x) 是 4 4 A.偶函数且图象关于点( ? ,0)对称 称 C.奇函数且图象关于点( 3 ? ,0)对称 2 D.奇函数且图象关于点( ? ,0)对称 B.偶函数且图象关于点( 3 ? ,0)对 2

9.设平面向量 am ? (m,1) , bn ? (2, n) ,其中 m, n ? {1, 2,3, 4}. 记“使得 am ? (am ? bn ) 成立的
(m, n) ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为

A. 1 2

B. 1 4

C. 1 8

D. 1 16

10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位: 米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为 80? 立方米, 且 l ≥ 2r . 假设该容器 3 的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平 方米建造费用为 3 千元,半球形部分每平方米建造 费用为 22 千元. 设该容器的建造费用为 y 千元. 当 该容器建造费用最小时,r 的值为 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2

二、填空题:本大题 共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将答案 填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11.设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b及x 轴所围成的图形的面积称为 f ( x) 在 ? a, b ? 上的
? ?? 面积,则函数 y ? sin(nx)(n ? 0)在 ?0, ? 上的面积为 ? n?



12.已知

?

3

x 2 ? 3x 2

? 展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大 992,则展开式中系数
n

最大的项是第

项.

13.若实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 , 则 a 的最大值为 . 14 .在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k ] ,即 [k ] ? {5n ? k , n ? Z}, k ? 0,1, 2,3, 4 . 给出如下四个结论: ①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④ “整数 a, b 属于同一 ‘类’ ” 的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确的结论的个数是 . (二) 选考题 (请考生在第 15、 16 两题中任选一题作答, 如果全选, 则按第 15 题作答结果计分。 ) 15.如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P, PD ?

2a , ?OAP ? 30? ,则 CP= 3



16.已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 ,则极点到这条 4 2 直线的距离是 . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。把 答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos( x ? 2 ? ) ? 2cos 2 x , x ? R . 3 2 (1)求 f ( x) 的值域; (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值.
2 18. (本题满分 12 分) 数列 {an } 中各项为正数, 对任意 n ? N? , 总有 an , Sn , an Sn 为其前 n 项和,

成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 是否存在最大正整数 p, 使得命题 “ ?n ? N? ,ln( p ? an ) ? 2an ” 是真命题?若存在, 求出 p; 若不存在, 请说明理由. 频率/ 组距 19. (本题满分 12 分) “根据《中华 0.025 人民共和国道路交通安全法》 0.020 规定:车辆驾驶员血液酒精浓 图甲 0.015 度在 20~80 mg/100ml (不含 80) 0.010 0.005 之间,属于酒后驾车,血液酒 酒精含量 60 0 20 30 40 50 70 90 80 精浓度在 80mg/100ml(含 80) (单位:mg/100ml) 以上时,属醉酒驾车. ” 某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查, 经过一晚的抽查, 共查出 酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检 测后依所得结果画出的频率分布直方图. 开始 (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表,图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精 S=0 浓度做进一步的统计, 求出图乙输出的 S 的值, 并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 与 分别表示图甲中各组
i =1 输入m i,fi

的组中值及频率) (2)本次行动中,吴、李两位先生都被酒精测试仪测得酒精 S=S+m i×f i 浓度属于 70~90 的范围,但他俩坚称没喝 i >=7? 那么多,是测试仪不准,交警大队队长决定在被酒精测 是 试仪测得酒精浓度属于 70~90 范围的酒后 输出S 驾车者中随机抽出 2 人抽血检验,设 为吴、李两位先 结束 生被抽中的人数,求 的分布列,并求吴、李两位先生 至少有 1 人被抽中的概率; 20. (本题满分 12 分)如图,四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形,其对角线

i =i+1 否

图乙

AC ? 2, BD ? 2. AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2.

(1)求二面角 B-AF-D 的大小; (2)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. 21. (本题满分 13 分)已知椭圆 且直线 y ? x ?

x2 y 2 5 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? , a 2 b2 3

b 是抛物线 y 2 ? 4 x 的一条切线. 2 x 0x y 0 y ? ? 1 ,判断 l 与椭圆的位置关系并给 9 4

(1)求椭圆的方程; (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆上一点,直线 l : 出理由; (3)过椭圆上一点 P 作椭圆的切线交直线 x ?
9 5 于点 A,试判断线段 AP 为直径的圆 5 是否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
f ( x) 在 ? k , ??) 上为增函数,则称 f ( x) 为“k 次比增函数” , xk

22. (本题满分 14 分)定义:若

其中 (k ? N? ) . 已知 f ( x) ? e ax ,其中 e 为自然对数的底数. (1)若 f ( x) 是“1 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?
1 f ( x) 时,求函数 g ( x) ? 在 ? m, m ? 1? (m ? 0) 上的最小值; 2 x
n

(3)求证: ?
i ?1

i

? e?

1

i

?

7 . 2e

天门市 2014 年高三年级四月调研考试 数学试题(理科)参考答案及评分标准
全卷满分150分,考试时间120分钟。 注意:1. 考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上. 2. 选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。 答在试题卷上无效。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 把答案填在答题卡上对应题号后的框内, 答在试卷上无效。 1. 设集合 M ? { y | y ?| cos 2 x ? sin 2 x |, x ? R} ,N ? {x || 则 M∩N 为 A. (0,1) B. (0,1] C.[0,1) D.[0,1]

2x i 为虚数单位,x ? R} , |? 1 , 1 ? 3i

2 . 已 知

2?a?2 , 则 函 数

f ( x) ? a 2 ? x 2 ? | x | ?2 的 零 点 个 数 为

A.1

B.2

C.3

D.4

3.A 【解析】 : 如 图 甲 , 设 ?QPO ? ? , 圆 的 半 径 为 r , 则 cos? ? 1 , 所 以 r
PQ PO ?| PQ | | PO | cos ? ? 2 ? r ? 1 ? 2 . 本题也可以 r

考虑特殊情况:当 PQ 经过点 O 时,如图乙,此时

? ? 0 , PQ PO ?| PQ | | PO | cos ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 2 .

也可以取 PQ 中点 M,连结 OM,则使 PQ PO ? PQ ( PM ? MO ) ? PQ PM ? 2 4 . 函 数

f ( x) ? ( 1 ) x ? x 3

















A. (0, 1 ) 3

B. (1,1) 3 2

C. ( 1 ,1) 2

D. (1,2)

6.将正三棱柱截去三个角(如图(1)所示 A、B、C 分别是△GHI 三边的中点)得到几何 体如图(2) ,则该几何体按图(2)所示方向的侧视图(或称左视图)为

A

B

C

D

6.A 【解析】 :由正三棱柱的性质得侧面 AED⊥底面 EFD, 则侧视图必为直角梯形,又线段 BE 在梯形内部,故 A 正确.
?0 ≤ x ≤ 2 , ? 7.已知平面直角坐标系 xOy 上的区域 D 由不等式组 ? y ≤ 2, 给定. 若 M ( x, y ) 为 D 上 ? ?x ≤ 2 y

的动点,点 A 的坐标为 ( 2 ,1) ,则 z ? OM OA 的最大值为 A.3 B.4 C. 3 2 D. 4 2

9.设平面向量 am ? (m,1) , bn ? (2, n) ,其中 m, n ? {1, 2,3, 4}. 记“使得 am ? (am ? bn ) 成立 的 (m, n) ”为事件 A,则事件 A 发生的概率为 A. 1 2 B. 1 4 C. 1 8
2

D. 1 16

9.C 【解析】 :由 am ? (am ? bn ) 得 m 2 ? 2m ? 1 ? n ? 0 ,即 n ? (m ? 1) .由于 m, n ? {1, 2,3, 4} , 故事件 A 包含的基本事件为(2,1)和(3,4) ,共 2 个. 又基本事件的总数为 16,故 所求的概率为 P( A) ?

2 ? 1 . 故选 C. 16 8
80? 立方米, 且 l ≥ 2r . 假设该容器 3

10.某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度, 长度单位: 米) ,其中容器的中间为圆柱形, 左右两端均为半球形, 按照设计要求容器的容积为

的建造费用仅与其表面积有关. 已知圆柱形部分每平方米建造费用为 3 千元,半球形部 分每平方米建造费用为 22 千元. 设该容器的建造费用 为 y 千元. 当该容器建造费用最小时,r 的值为 A. 1 2 B.1 C. 3 2 D.2

二、填空题:本大题 共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请将 答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14 题) 11.设函数 f ( x) 的图象与直线 x ? a, x ? b及x 轴所围成的图形的面积称为 f ( x) 在 ? a, b ? 上的
? ?? 面积,则函数 y ? sin(nx)在 ?0, ? 上的面积为 ? n? 2 11. . n



12.已知

?

3

x 2 ? 3x 2

? 展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大 992,则展开式中系数
n

最大的项的项数是 12.5.



13.若实数 a,b,c,d 满足 a ? b ? c ? d ? 3 , a 2 ? 2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ? 5 , 则 a 的最大值为 .

13.2 【解析】 :由柯西不等式可得:
1 1 1 ( ? ? )(2b 2 ? 3c 2 ? 6d 2 ) ≥ (b ? c ? d ) 2 ,所以由条件可得: 5 ? a 2 ≥ (3 ? a) 2 ,解 得 2 3 6
1 ≤ a ≤ 2 ,a 的最大值是 2.

14 .在整数集 Z 中,被 5 除所得余数为 k 的所有整数组成一个“类” ,记为 [k ] ,即
[k ] ? {5n ? k , n ? Z}, k ? 0,1, 2,3, 4 . 给出如下四个结论:

①2011∈[1]; ②-3∈[3]; ③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]; ④ “整数 a, b 属于同一 ‘类’ ” 的充要条件是“a-b∈[0]”. 其中,正确的结论的个数是 .

(二) 选考题 (请考生在第 15、 16 两题中任选一题作答, 如果全选, 则按第 15 题作答结果计分。 ) 15.如图,AB,CD 是半径为 a 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P, PD ? 2a , ?OAP ? 30? ,则 CP= 3 .

15. 9 a 【解析】 :依题意 AP ? PB ? 3 a ,由 PD CP ? AP PB, 8 2
2 得 CP ? AP ? 9 a . PD 8

16. 已知直线的极坐标方程为 ? sin(? ? ? ) ? 2 , 则极点到这条直线的距离是 4 2



三、 解答题: 本大题共 6 小题, 共 75 分。 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。 把答案填在答题卡上对应题号指定框内。 17. (本题满分 12 分)设函数 f ( x) ? cos( x ? 2 ? ) ? 2cos 2 x , x ? R . 3 2 (1)求 f ( x) 的值域; (2)记△ABC 的内角 A,B,C 的对边长分别为 a,b,c,若 f ( B) ? 1, b ? 1, c ? 3 ,求 a 的值. 17. 【解析】 : (1) f ( x) ? cos x cos 2 ? ? sin x sin 2 ? ? cos x ? 1 ? ? 1 cos x ? 3 sin x ? cos x ? 1 3 3 2 2

? 1 cos x ? 3 sin x ? 1 ? sin( x ? 5? ) ? 1 2 2 6

???????????3 分

因此 f ( x) 的值域为[0,2]. ?????????6 分 (2)由 f ( B) ? 1 得 sin( B ? 即 sin( B ?

5? ) ? 1 ? 1 , 6

5? ) ? 0 ,又因 ? 0 ? B ? ? ,故 B ? .???????9 分 6 6

解法 1:由余弦定理 b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ,得 a 2 ? 3a ? 2 ? 0 , 解得 a ? 1或a ? 2 .???????????12 分 解法 2:由正弦定理

b ? c ,得 sin C ? 3 , C ? ? 或 2? .??9 分 sin B sin C 2 3 3

当 C ? ? 时, A ? ? ,从而 a ? b 2 ? c 2 ? 2 ; 3 2 当 C ? 2? 时, A ? ? ,又 B ? ? ,从而 a ? b ? 1 . 3 6 6 故 a 的值为 1 或 2. ?? ?? ?? ??12 分

2 18. (本题满分 12 分) 数列 {an } 中各项为正数, 对任意 n ? N? , 总有 an , Sn , an Sn 为其前 n 项和,

成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2) 是否存在最大正整数 p, 使得命题 “ ?n ? N? ,ln( p ? an ) ? 2an ” 是真命题?若存在, 求出 p;若不存在,请说明理由.
2 2 18. 【解析】 : (1)由已知 n ? N? 时, 2Sn ? an ? an ,∴ 2Sn ?1 ? an ?1 ? an ?1 ( n ≥ 2)

2 2 ? an ?1 ? an 两式相减,得 2an ? an ? an ?1

∴ an ? an ?1 ? (an ? an ?1 )(an ? an ?1 ) 又 an , an ?1 为正数,∴ an ? an ?1 ? 1 (n ≥ 2) .???????????4 分 ∴ {an } 是公差为 1 的等差数列. 当 n ? 1 时, 2S1 ? a1 ? a12 ,得 a1 ? 1或a1 ? 0(舍去) ,∴ an ? n .???6 分 (2)解法 1:假设存在正整数 p,满足 ln( p ? an ) ? 2an ,即 p ? n ? e 2 n . ∴ p ? e 2 n ? n (n ? N? ) 设函数 f ( x) ? e 2 x ? x( x ≥ 1) ,则 f ?( x) ? 2 e 2 x ? 1 . 当 x ≥ 1 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在[1,+∞)上为增函数. ∴ f ( x) ≥ f (1) ? e 2 ? 1 ,即有 e2 n ? n ≥ e2 ? 1 . ∵p 为满足 p ? e2 ? 1 的最大正整数,而 6 ? e2 ? 1 ? 7 ,故 p ? 6 .???12 分 解法 2:设 f ( x) ? ln( p ? x) ? 2 x( x ≥ 1, p ≥ 1) ,
f ?( x) ? 1 ?2 x ? 2 p ? 1 ?2? ? 0, p?x p?x

.???8 分

故 f ( x) ? ln( p ? x) ? 2 x 在[1,+∞)上为减函数,

???9 分

f ( x) ≤ f (1) ? ln( p ? 1) ? 2 ? ln( p ? 1) ? ln e 2 ? ln

p ?1 . e2

令 ln

p ?1 ? 0, 得p ? e2 ? 1 . ∵ 6 ? e2 ? 1 ? 7 , e2

故使 f (n) ? ln( p ? n) ? 2n ? 0 成立的最大正整数 p ? 6 .???12 分 19. (本题满分 12 分) “根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定:车辆驾驶员血液酒 精浓度在 20~80 mg/100ml (不含 80) 之间, 属于酒后驾车, 血液酒精浓度在 80mg/100ml (含 80)以上时,属醉酒驾车. ” 某市交警在该市一交通岗前设点对过往的车辆进行抽查, 经过一晚的抽查, 共查出 酒后驾车者 60 名,图甲是用酒精测试仪对这 60 名酒后驾车者血液中酒精浓度进行检 测后依所得结果画出的频率分布直方图.
频率/ 组距
0.025 0.020 0.015 0.010 0.005 0 20 30 40 50 60 70 80 90

开始 S=0 i =1

图甲
酒精含量 (单位:mg/100ml)

输入m i,fi S=S+m i×f i i >=7? 是 输出S 结束 否 i =i+1

(1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表, 图乙的程序框图是对这 60 名酒后驾车者血液的酒精 浓度做进一步的统计,求出图乙输出的 S 值,并说明 S 的统计意义; (图乙中数据 与

图乙

分别表示图甲中各组的组中值及频率)

(2) 本次行动中, 吴、 李两位先生都被酒精测试仪测得酒精浓度属于 70~90 的范围,但他俩坚称没喝那么多,是测试仪不准,交警大队队长决定在被酒精测试 仪测得酒精浓度属于 70~90 验, 范围的酒后驾车者中随机抽出 2 人抽血检 的分布列,并求吴、李两位先生至

为吴、李两位先生被抽中的人数,求

少有 1 人被抽中的概率; 19.解: (1)由图乙知输出的



=47(mg/100ml) 分 S 的统计意义为 60 名酒后驾车者血液的酒精浓度的平均值.

??5

??6

分 (2)酒精浓度属于 70~90 分 的可能取值为 0,1,2 , 8分 分布列如下: 分 0 P 吴、李两位先生至少有 1 人被抽中的概率 (或 p ? 1 ? p(? ? 0) ? 分 20. (本题满分 12 分) 如图, 四棱锥 F-ABCD 的底面 ABCD 是菱形, 其对角线 AC ? 2, BD ? 2. AE、CF 都与平面 ABCD 垂直,AE=1,CF=2. (1)求二面角 B-AF-D 的大小; (2)求四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 公共部分的体积. . 1 2 , ? 的范围的人数为 ??7

??9

5 )?????????????????????????? 12 12

20. 【解析】 : (1)方法一:如图(1)连结 AC、BD 交于菱形的中心 O,过 O 作 OG⊥AF,G 为垂足. 连结 BG、DG. 由 BD⊥AC,BD⊥CF,得 BD⊥平面 ACF, 故 BD⊥AF. 于是 AF⊥平面 BGD, 所以 BG⊥AF,DG⊥AF,∠BGD 为二面角 B-AF-D 的平面角. ???????3 分

由 FC⊥AC,FC=AC=2,得∠FAC ? 由 OB⊥OG,OB=OD=

?
4

, OG ?

2 . 2

2 ? ,得∠BGD=2∠BGO ? . 2 2

即二面角 B-AF-D 的大小为

?
2

.???????????6 分

方法二:设 AC 与 BD 交点为 O,以 O 为坐标原点,分别以 BD 、AC 所在直线为 x 轴 y 轴建立如图所示的空间直角坐标系 则 A(0,-1,0),B( ?
AF ? (0, 2, 2) , AB ? (?
2 2 ,0,0),D( ,0,0),F(0,1,2) 2 2 2 2 ,1, 0) , AD ? ( ,1, 0) ????????????2 分 2 2

设平面 ABF,平面 ADF 的法向量分别为 n 1 , n 2 设 n 1 ? ( x, y , z )

z

?y ? z ? 0 ? ?n 1 AF ? 0 ? ?? 2 由? ? x? y?0 ? ?n 1 AB ? 0 ? ? 2
令 n 1 ? ( 2,1, ?1) ????????????4 分 同理可得 n 2 ? ( 2, ?1,1) ∴ n1 n 2 ? 2 ?1?1 ? 0

O

y

x

∴ n1 ? n 2

∴二面角 B-AF-D 的大小为

?
2

???????????????????6 分

(2)如图(2)连 EB、EC、ED,设直线 AF 与直线 CE 相交于点 H, 则四棱锥 E-ABCD 与四棱锥 F-ABCD 的公共部分为四棱锥 H-ABCD. 过 H 作 HP⊥平面 ABCD,所以平面 ACFE⊥平面 ABCD, 从而 P ? AC , HP ? AC . ???????????7 分 由
HP HP AP PC 2 ? ? ? ? 1 ,得 HP ? .????????9 分 CF AE AC AC 3

1 又因为 S菱形ABCD= AC BD ? 2 2

1 2 2 故四棱锥 H ? ABCD 的体积 V= S菱形ABCD HP= .?????12 分 3 9

21. (本题满分 13 分)已知椭圆 抛物线 y 2 ? 4 x 的一条切线. (1)求椭圆的方程;

x2 y 2 5 b ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且直线 y ? x ? 是 2 a b 3 2

(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 为椭圆上一点,直线 l : 出理由;

x 0x y 0 y ? ? 1 ,判断 l 与椭圆的位置关系并给 9 4

(3)过椭圆上一点 P 作椭圆的切线交直线 x ?

9 5 于点 A,试判断线段 AP 为直径的圆 5 是否恒过定点,若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.

21. 【解析】 : (1)因为直线 y ? x ?
2

b 是抛物线 y 2 ? 4 x 的一条切线, 2

b? ? 所以 ? x ? ? =4 x时,? ? 0 , 2? ?

即 x 2 ? (b ? 4) x ? 又

b2 ? 0, ? ? (b ? 4) 2 ? b 2 ? 0 ? b ? 2 ????????2 分 4

c 5 ,所以 a ? 3, c ? 5, b ? 2 , ? a 3 x2 y 2 ? 1 . ????????????????4 分 所以椭圆的方程是 ? 9 4

y y ? x 0x y 0 y ?x x ? ? 1 ? 0 ?1 ? ? 0 ① ? ? 9 ? 9 4 4 (2)由 ? 2 得? 2 2 2 ?x ? y ?1 ? x ?1 ? ? y ② ? ? 4 4 ?9 ?9

由①2+② ?
??

2 y0 x2 y2 2x x y2 得 ( 0 ? 0 )x 2 ? 0 ? 1 ? 0 ? 0 4 81 36 9 4

2 4x 0 x2 y2 y2 y2 x2 y2 ? 4( 0 ? 0 )(1 ? 0 ) ? 0 ( 0 ? 0 ? 1) ? 0 81 81 36 4 36 9 4

∴直线 l 与椭圆相切????????????????8 分 (3)首先取两种特殊情形:切点分别在短轴两端点时, 求得两圆的方程为
(x ? 9 5 2 81 9 5 2 81 , ) ? ( y ? 2) 2 ? 或( x ? ) ? ( y ? 2) 2 ? 10 20 10 20 4 5 ,0) , 5

两圆相交于点( 5 ,0) , (

若定点为椭圆的右焦点( F2 ( 5,0) . 则需证: PF2 ? AF2 . 设点 P( x0 , y0 ) ,则椭圆过点 P 的切线方程是 所以点 A(
xx0 yy0 ? ? 1, 9 4

9 5 20 ? 4 5 x0 , ), PF2 ? ( 5 ? x0 , ? y0 ), 5 5 y0

AF2 ? (?

4 5 20 ? 4 5 x0 ,? ), 5 5 y0 20 ? 4 5 x0 4 5 4 5 4 5 ) ? (? y0 ) (? ) ? ?4 ? x0 ? 4 ? x0 ? 0 5 5 y0 5 5

PF2 AF2 ? ( 5 ? x0 )(?

所以 PF2 ? AF2 .????????????????????11 分

若定点为 Q( 则 PQ AQ ? ( 意.

4 5 ,0) , 5

20 ? 4 5 x0 5 x0 4 5 ,不满足题 ? x0 ) (? 5) ? (? y0 ) (? )? 5 5 y0 5

综上,以线段 AP 为直径的圆恒过定点( 5 ,0).??????13 分

22. (本题满分 14 分)定义:若

f ( x) 在 ? k , ??) 上为增函数,则称 f ( x) 为“k 次比增函数” , xk

其中 (k ? N? ) . 已知 f ( x) ? e ax ,其中 e 为自然对数的底数. (1)若 f ( x) 是“1 次比增函数” ,求实数 a 的取值范围; (2)当 a ?
1 f ( x) 时,求函数 g ( x) ? 在 ? m, m ? 1? (m ? 0) 上的最小值; 2 x
n

(3)求证: ?
i ?1

i

? e?

1

i

?

7 . 2e

22. 【解析】 : (1)由题意知 y ? 上

eax eax eax (ax ? 1) 在[1, ??) 上为增函数,因为 ( )? = ≥ 0 在 [1, ??) x x x2

恒成立.又 eax ? 0, x 2 ? 0 ,则 ax ? 1≥ 0 在 [1, ??) 上恒成立, 即 a≥
1 1 在 [1, ??) 上恒成立. 而当 x ? [1, ??) 时, ( ) max ? 1 ,所以 a ≥ 1 , x x

于是实数 a 的取值范围是 [1, ??) .????????????4 分
x e 2 ( ? 1) f ( x) e 1 2 (2)当 a ? 时, g ( x) ? . ? , 其中x ? 0 ,则 g ( x)? ? x2 x x 2
x 2

x

当 当

x ? 1 ? 0 ,即 x ? 2 时, g ( x)? ? 0 ; 2 x ? 1 ? 0且x ? 0 ,即 x ? 2或0 ? x ? 2 时, g ( x)? ? 0 . 2

则 g ( x) 的增区间为(2,+∞) ,减区间为(-∞,0) , (0,2).??6 分 因为 m ? 0 ,所以 m ? 1 ? 1 , ①当 m ? 1 ≤ 2 ,即 0 ? m ≤ 1 时, g ( x) 在[ m, m ? 1 ]上单调递减,

m ?1

所以 g ( x) min

e 2 . ? g (m ? 1) ? m ?1

②当 m ? 2 ? m ? 1 ,即 1 ? m ? 2 时, g ( x) 在 [m, 2] 上单调递减, 在 [2, m ? 1] 上单调递增,所以 g ( x) min ? g (2) ?
e . 2
m

③当 m ≥ 2 时, g ( x) 在[ m, m ? 1 ]上单调递增,所以 g ( x) min
m ?1

e2 . ? g ( m) ? m

综上,当 0 ? m ≤ 1 时, g ( x) min

e 2 ; ? g (m ? 1) ? m ?1
e ; 2

当 1 ? m ? 2 时, g ( x) min ? g (2) ?

m

当 m ≥ 2 时, g ( x) min

e2 .??????????9 分 ? g ( m) ? m
x

x 2 e2 e (3)由(2)可知,当 x ? 0 时, g ( x) ? ≥ ,所以 x ≤ ( x ? 0) , e x 2 e2 1 n 1 2 可得 ? 2 ≤ 2 ????????????11 分 n n n e n( e ) n ( e)
于是 ?
i ?1 n

1 i ( e)
i

?

1 e

?

1 2( e )
2

?

1 3( e )
3

?

?

1 n( e ) n
? 1 ) n ?1
2

2 1 1 ≤ (1 ? 2 ? 2 ? e 2 3

?

1 2 1 1 ) ? (1 ? 2 ? 2 ? 2 n e 2 ?1 3 ?1 ?

2 1 1 1 1 1 1 ? [1 ? (1 ? ? ? ? ? ? e 2 3 2 4 3 5 2 1 1 1 1 ? [1 ? (1 ? ? ? )] e 2 2 n n ?1 ? 2 7 7 ? e 4 2e

1 1 1 1 ? ? ? )] n ? 2 n n ?1 n ?1

??????????????14 分


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