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数学奥林匹克高中训练题119

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数学奥林匹克高中训练题(119) 第一试 一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) ≥ d ?0 ,则 S ? 1 . 若 实 数 a 、b 、c 、d 满 足 a ≥ c≥ b a b c d 的取值范围为 ? ? ? a?b b?c c?d d ?a __________. 2.如图 1,在 △ABC 的外部作 △BDC 、△AFB 、△CEA ,使得 △BDC ∽△AFB ∽△CEA .则 △ABC 和 . △DEF 总有相同的(填重心、内心、外心或垂心) F A E B D 图1 C 3. 给定正实数 a 、b , 变量 x 、y 满足 x 、y ≥ 0 ,x ? y ? a ? b . 则函数 f ? x ,y ? ? a a2 ? x2 ? b b2 ? y 2 的最小值为__________. 4 . 如 图 2 , 在 单 位 正 四 面 体 ABCD 中 , M 、N 、K 分 别 在 棱 AB 、AD 、BD 上 , 满 足 1 1 BM ? DN ? , DK ? .则面 ACK 与面 CMN 所夹锐角的余弦值为__________. 3 4 C B M A 图2 K N D 5.数列 ?xn ? 满足: 0 ? x1 ? 1 , xn?1 ? ?3xn ? (n ≥1) .则共有__________个不同的 x1 ,使得 ?xn ? 从第一 项开始是最小正周期为 9 的周期数列( ?x? ? x ? ? x? , . ? x? 表示不超过实数 x 的最大整数) BC ? 32 ,以 AB 为斜边向 △ABC 外作等腰 Rt△ ABD .则 AB ? 2CD 的 6.在 △ABC 中,已知 AC ? 1 , 最大值是__________. 7.图 3 是一个 3×4 的方格(其中心的方格线已被划去) .一只青蛙停在 A 格处,从某一时刻起,青蛙 每隔一秒钟就跳到与它所在方格有公共边的另一方格内,直至跳到 B 格才停下.若青蛙经过每一个方 格不超过一次,则青蛙的跳法总数为__________. A B 图3 8 .设 AB 是抛物线 y 2 ? 2 px 的一条焦点弦,且 AB 与 x 轴不垂直, P 是 y 轴上异于 O 的一点,满足 O 、P 、A 、B 四点共圆,点 A 、B 、P 的纵坐标分别为 y1 、y2 、y0 .则 y1 ? y2 的值为__________. y0 二、 (14 分)实数 xi 、yi ? i ? 1 , 2, 3? 满足 ? xi ? ? yi ? ? i ?1 i ?1 i ?1 3 3 3 3 yi ? 1. xi 试求 ? i ?1 yi 的值. x ? x1 x2 x3 2 i 三、 (15 分)若 △ABC 的三边所在直线均与抛物线 y2 ? 2 px ? p ? 0? 相切,证明: △ABC 的外接圆必过 某个定点,并求出定点的坐标. k an 是 f n 除以 10 以后的余数.试问 ?an ? 是否为周期 四、 (15 分)数列 ? f n ? (n ≥1) 的通项为 f n ? ? Cn ?2k , k ?0 ?n? ?3? ? ? 数列?如果是,请求出 ?an ? 的最小正周期;如果不是,请说明理由. 第二试 一、 (50 分)求在图 4 所示的 2×6 的方格中“圈”的个数.在这里,一条封闭的折线叫做圈,如果这 条折线的边均由方格的边组成,且折线经过的任意一个方格顶点都只与折线的两条边相连. 图4 二、 (50 分)如

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