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2012年广州二模理科数学及答案解析

时间:2012-05-05


试卷类型:B

2012 年广州市普通高中毕业班综合测试 二) 年广州市普通高中毕业班综合测试(二 理科) 数 学(理科 理科
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项: 1.答卷前,考生务必用 2B 铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹的钢 笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、 试室号、座位号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题 卡相应位置上。 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案 信息点涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能 答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各 题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再 写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作 答。漏涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。
1 参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V = Sh ,其中 S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 3

小题。 一、选择题:本大题共 8 小题。每小题 5 分.满分 40 分.在每小题给出的四个 选择题: 选项中,只有一项是符合题目要求的. 选项中,只有一项是符合题目要求的
1.已知 i 为虚数单位,复数 z1 = a + i , z2 = 2 ? i ,且 | z1 |=| z2 | ,则实数 a 的值为 A.2 B.-2 C.2 或-2 D.±2 或 0

2.设集合 A={(x,y)|2x+y=6},B={(x,y)|3x+2y=4},满足 C ? (A I B)的集合 C

1

的个数为 A.1

B.2

C.3

D.4

3.已知双曲线 x 2 + my 2 = 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则实数 m 的值是 A. 4 B.
1 4 C. ? 1 4 D.-4

4.已知等差数列{ an }的公差为 2,项数是偶数,所有奇数项之和为 l5,所有偶

数项之和为 25,则这个数列的项数为 A.10 B.20

C.30

D.40

5. 已知两条不同直线 m 、l , 两个不同平面 α 、β , 在下列条件中, 可得出 α ⊥ β

的是
A. m ⊥ l , l ∥ α , l ∥ β C. m ∥ l , m ⊥ α , l ⊥ β B. m ⊥ l , α I β =l, m ? α D. m ∥ l , l ⊥ β , m ? α

6.下列说法正确的是 1 A.函数 f ( x ) = 在其定义域上是减函数 x B.两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C.命题“ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 > 0 ”的否定是“ ?x ∈ R,x 2 + x + 1 < 0 ” D.给定命题 p、q,若 p ∧ q 是真命题,则 ? p 是假命题 7.阅读图 l 的程序框图,该程序运行后输出的 k 的值为 A.5 B .6 C .7 D.8 8 . 已 知 实 数 a , b 满 足 a 2 + b 2 ? 4a + 3 = 0 , 函 数 f ( x ) = a sin x + b cos x + 1 的最大值记为 ? ( a,b ) ,则 ? ( a,b ) 的最小值为
A. 1 B .2 C. 3 + 1 D. 3

小题, 小题, 二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. 填空题: (一)必做题 ~13 题) 必做题(9~ 一 必做题 9.某社区有 600 个家庭,其中高收入家庭 150 户,中等收入家庭 360 户,低收 人家庭 90 户,为了调查购买力的某项指标,用分层抽样的方法从中抽取一个容 量为 l00 的样本,则中等收入家庭应抽取的户数是 .
10.( 2 x ? 1 6 ) 展开式中的常数项是 x (用数字作答).

11.已知不等式 | x ? 2 | >1 的解集与不等式 x 2 + ax + b > 0 的解集相等,则 a + b 的

值为


2

12.在平行四边形 ABCD 中,点 E 是 AD 的中点,BE 与 AC 相交于点 F,若 uuu r uuu r uuur m EF = m AB + n AD( m,n ∈ R ) ,则 的值为 . n 13.已知点 P 是直角坐标平面 xOy 上的一个动点,| OP |= 2 (点 O 为坐标原点), 点 M(-1,0),则 cos ∠ OPM 的取值范围是 . (二)选做题 ~15 题,考生只能从中选做一题 选做题(14~ 考生只能从中选做一题) 二 选做题 14.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,若等边三角形 ABC(顶点 A,B, C 按顺时针方向排列)的顶点 A, 的极坐标分别为(2, B π 7π ),(2, ),则顶点 C 的极坐标为 . 6 6 15.几何证明选讲选做题)如图 2, 是圆 O 的直径, ( AB 延长 AB 至 C,使 BC=2OB,CD 是圆 O 的切线,切 AD 点为 D,连接 AD,BD,则面 的值为 . BD 小题, 解答须写出文字说明、 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和 解答题: 演算步骤. 演算步骤 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) = A sin( ω x ? 点和最低点的坐标分别为(
(1)求 A 和 ω 的值; (2)已知 α ∈ (0,

π

5π 11π ,2 )( , ,-2). 12 12 4 ,求 f ( α ) 的值. 5

3

)( A > 0 ,ω > 0 ) 在某一个周期内的图象的最高

π

2

),且 sin α =

17.(本小题满分 12 分) 如图 3,A,B 两点之间有 6 条网线连接,每条 网线能通过的最大信息量分别为 1, , , , , . 1 2 2 3 4 从 中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量,设

这三条网线通过的最大信息量之和为 ξ .
(1)当 ξ ≥6 时,则保证线路信息畅通,求线路信

息畅通的概率;
(2)求 ξ 的分布列和数学期望. 18.(本小题满分 l4 分) 某 建 筑 物 的 上 半 部 分 是 多 面 体 MN—ABCD , 下 半 部 分 是 长 方 体 ABCD—A1B1C1D1(如图 4). 该建筑物的正(主)视图和侧(左)视图如图 5, 其中正(主) 视图由正方形和等腰梯形组合而成,侧 (左 )视图由长方形和等腰三角形组合而 成.
3

(1)求直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值; (2)求二面角 A—MN—C 的余弦值; (3)求该建筑物的体积.

19.(本小题满分 14 分) 已知对称中心为坐标原点的椭圆 C1 与抛物线 C2:x 2 = 4 y 有一个相同的焦点 F1,直线 l : y = 2 x + m 与抛物线 C2 只有一个公共点.
(1)求直线 l 的方程; (2)若椭圆 C1 经过直线 l 上的点 P,当椭圆 C1 的离心率取得最大值时,求椭 圆 C1 的方程及点 P 的坐标. 20.(本小题满分 l4 分)

1 已知函数 f ( x ) = ln x ? ax 2 + x,a ∈ R. 2 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间; (2)是否存在实数 a,使得函数 f ( x ) 的极值大于 0?若存在,求 a 的取值范围;

若不存在,说明理由.
21.(本小题满分 l4 分) 1 已知函数 f ( x ) 的定义域为(-1,1),且 f ( ) = 1 ,对任意 x, y ∈ ( ?1,1 ) ,都有 2 f ( x )? f ( y ) = f (

2an x? y 1 ) ,数列{ an }满足 a1 = ,an +1 = ( n ∈ N * ). 2 1 ? xy 2 1 + an

(1)证明函数 f ( x ) 是奇函数; (2)求数列{ f ( an ) }的通项公式;
4

(3)令 An =

n n a1 + a2 + ... + an n ?1 ( n ∈ N * ) ,证明:当 n ≥ 2 时, ∑ ai ? ∑ Ai < . n 2 i =1 i =1

参考答案

一、选择题:本大题主要考查基本知识和基本运算.共 8 小题,每小题 5 分,满分 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 D 7 C 8 B

二、填空题:本大题主要考查基本知识和基本运算.本大题共 7 小题,考生作答 6 小题, 每小题 5 分,满分 30 分.其中 14~15 题是选做题,考生只能选做一题.

9. 60 ;

10. -160;

11. -1;

12. -2;

13 ? [

14 ? (2 3 ,

2π ) 3

2 ,1] 2

15. 2
2π + 2kπ )(k ∈ Z ) 3

说明:第 l4 题的答案可以是 (2 3 ,

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 l2 分) (本小题主要考查三角函数的图象和性质、二倍角的正弦与余弦、同角三角函数关系、两 角差的正弦等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力) (1)解:∵函数 f ( x ) 的图象的最高点坐标为 ?

? 5π ? ,2 ? ? 12 ?
……………1 分

∴ A = 2.

5

依题意,得函数 f (x ) 的周期 T = 2?

? 11π 5π ? ? ?=π ? 12 12 ?

……………2 分

∴ω =

2π = 2. T

……………3 分

(2)解:由(1)得 f ( x ) = 2 sin ? 2 x ?

? ?

π?

?? 3?

……………4 分

π 4 Qα ∈ (0, ), 且 sin α = , 2 5 3 ∴ cos α = 1 ? sin 2 α = 5
∴ sin 2α = 2 sin α cos α =

……………5 分

24 , 25 7 25

……………7 分

cos 2α = 1 ? 2 sin 2 α = ?
∴ f (α ) = 2 sin(2α ?

……………9 分

π
3

)
? cos 2α sin

……………10 分

= 2(sin 2α cos =

π
3

π
3

)

……………11 分

24 + 7 3 ? 25

……………12 分

17.(本小题满分 12 分) (本小小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望等知识,考查或然与必 然的数学思想方法,以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识) 3 (I)解:从 6 条网线中随机任取三条网线共有 C6 = 20 种情况. ……………1 分

Q1 + 1 + 4 = 1 + 2 + 3 = 6,
1 1 1 + C2C2 1 ∴ P (ξ = 6) = = ? 3 C6 4

……………2 分

Q 1 + 2 + 4 = 2 + 2 + 3 = 7,

∴ P(ξ = 7) =

1 1 C 2 C2 + 1 1 = 3 C6 4

……………3 分

Q1 + 3 + 4 = 2 + 2 + 4 = 8,
1 C2 + 1 3 ∴ P(ξ = 8) = = 3 C6 20

……………4 分

Q 2 + 3 + 4 = 9,
6

∴ P (ξ = 9) =

1 C2 1 = ? 3 C6 10

…………5 分

∴ P (ξ ≥ 6) = P (ξ = 6) + P (ξ = 7) + p (ξ = 8) + P (ξ = 9)

=

1 1 3 1 3 + + + = ? 4 4 20 10 4 3 4

答:线路信息畅通的概率为

……………6 分 ……………7 分

(2)解:ξ 的取值为 4,5,6,7,8,9.

Q1 + 1 + 2 = 4,

∴ p (ξ = 4) =

1 C2 1 = ? 3 C6 10

……………8 分

Q1 + 1 + 3 = 1 + 2 + 2 = 5,

∴ P(ξ = 5) =

1 1 + C2 3 = ? 3 C6 20

……………9 分

∴ξ的的分布列为:

……………10 分

∴ Eξ = 4 ×

1 3 1 1 3 1 + 5× + 6× + 7× + 8× + 9× 10 20 4 4 20 10 = 6 .5 .

……………11 分 ……………12 分

18.(本小题满分 14 分) (本小题主要考查空间线面关系、几何体的三视图、空间角、几何体的体积等知识,考查 数形结合、 化归与转化的数学思想方法, 以及空间想象能力、 推理论证能力和运算求解能力) 解法 l: (1)作 MO⊥平面 ABCD,垂足为 O,连接 AO, 则∠MAO 是直线 AM 与平面 ABCD 所成的角. 由于平面 ABCD∥平面 A1B1C1D1, ……………l 分

7

故∠MAO 是直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成的角. 作 MP⊥AB,垂足为 P,连接 PO,

……………2 分

Q AB ? 平面 ABCD,
∴MO⊥AB.

Q MO I MP = M , MO ? 平面 MOP, MP ? 平面 MOP,
∴AB⊥平面 MOP. 由题意知 MO = PO = AP = 1, AD = 2, AA1 = 4. 在 Rt?POM 中, PM = 在 Rt?APM 中, AM = ……………3 分

PO 2 + MO 2 = 2 AP 2 + PM 2 = 3
MO 1 3 = = 3 AM 3
3 3

在 Rt?AOM 中, sin ∠MAO =

∴直线 AM 与平面 A1B1C1 D1 所成角的正弦值为

……………5 分

(2)延长 PO 交 CD 于点 Q,连接 MQ, 由(1)知 AB⊥平面 MOP ∴MQ ? 平面 MOP, ∴AB⊥MQ. ∵MN∥AB, ∴MN⊥MP,MN⊥MQ. …………6 分 ……………7 分

∴∠PMQ 是二面角 A 一 MN—C 的平面角. 在△PMQ 中, MQ = MP =

2 .PQ = 2

Q MP 2 + MQ 2 = 4 = PQ 2 ,
∴ ∠PMQ = 90 o.
∴二面角 A 一 MN 一 C 的余弦值为 0. (3)作 NP1∥MP 交 AB 于点 P1,作 NQ1 ∥MQ 交 CD 于点 Q1, ……………8 分

……………9 分

8

由题意知多面体 MN—ABCD 可分割为两个等体积的四棱锥 M—APQD 和 N ? PBCQ1 和一个直三棱柱 MPQ ? NP Q1 . 1

1 1 2 ? AP ? AD ? MO = × 1× 2 × 1 = …………10 分 3 3 3 1 1 直三棱柱 MPQ ? NPQ1 的体积为 V2 = ? MP ? MQ ? MN = × 2 × 2 × 2 = 2 …11 分 1 2 2 2 10 ∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = 2V1 + V2 = 2 × + 2 = ……………12 分 3 3
四棱锥 M ? APQD 的体积为 V = 长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的体积为 V3 = AB ? BC ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32 ………13 分 ∴建筑物的体积为 V + V3 = 解法 2: (1)以点 D 为原点,DA 所在直线为 x 轴,DC 所在直线为 y 轴, D1 D 所在直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系 D ? xyz ,(如图),作 MO⊥平面 ABCD,垂足为 O, 作 OP⊥AB,垂足为 P,依题意知 MO = OP = AP = 1, AD = 2. AA1 = 4, 则 D (0,0,0), A( 2,0,0), M (1,1,1), N (1,3,1), A1 ( 2,0,?4) ……………1 分

106 ……………14 分 3

∴ AM = (?1,1,1) ?

……………2 分

Q AA1 ⊥ 平面 A1B1C1D1
∴平面 A1B1C1D1 的一个法向量为 AA1 = (0,0,?4) ………3 分 设直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角为θ,

则 sin θ =

AM ? AA1 AM AA1

=

4 3 = 3×4 3

……………4 分

∴直线 AM 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为 (2)由(1)知 MN = (0,2,0), DM = (1,1,1), 设平面 ABNM 的法向量为 n1 = ( x, y, z ), 由 n1 ? MN = 0, n1 ? AM = 0, 得 ?

3 ……5 分 3

?? x + y + z = 0, ? 2 y = 0.
9

令 x = 1 ,则 z = 1, y = 0 ∴平面 ABNM 的一个法向量为 n1 = (1,0,1) 设平面 CDMN 的法向量为 n2 = ( x, y, z ) 由 n2 ? DM = 0, n2 ? MN = 0 ,得 ? 令 x = 1 ,则 z = ?1, y = 0 ∴平面 CDMN 的一个法向量为 n2 = (1,0,?1) ……………7 分 ……………6 分

? x + y + z = 0, ?2 y = 0 .

Q n1 ? n2 = 1 × 1 + 0 + 1 × (?1) = 0,
∴平面 ABNM⊥平面 CDMN. ∴二而角 A 一 MN 一 C 的余弦值为 0. (3)如图将多面体 MN ? ABCD 补成一个直三棱柱 ADQ ? BCQ1 , 依题意知 AQ = DQ = BQ1 = CQ1 = ……………8 分 ……………9 分

2 , MQ = NQ1 = 1, AD = 2, AA1 = 4,

多面体 MN ? ABCD 的体积等于直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积减去两个等体积的三 棱锥 M ? ADQ 和 N ? BCQ1 的体积

Q AQ 2 + DQ 2 = 4 = AD 2
∴ ∠AQD = 90 o.
∴直三棱柱 ADQ ? BCQ1 的体积为 V1 =

1 1 ? AQ ? DQ ? AB = × 2 × 2 × 4 = 4, 2 2
…………………………10 分

三棱锥 M ? ADQ 的体积为 V2 =

1 1 1 1 1 ? ? AQ ? DQ ? MQ = × × 2 × 2 × 1 = ? 3 2 3 2 3
…………………………11 分

∴多面体 MN ? ABCD 的体积为 V = V1 ? 2V2 = 4 ?

2 10 = 3 3

…………12 分

长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的体积为 V3 = AB ? CD ? AA1 = 4 × 2 × 4 = 32. ∴建筑物的体积为 V + V3 =

……13 分

106 3

………………14 分

19.(本小题满分 14 分)

10

(本小题主要考查直线、椭圆、抛物线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的

数学思想方法,以及推理论证能力和运算求解能力) (1)解法 1:由 ?

? y = 2 x + m, ?x = 4 y
2

消去 y , 得 x ? 8 x ? 4m = 0.
2

……………1 分

∵直线 l 与抛物线 C2 只有一个公共点,

∴ ? = 82 + 4 × 4m = 0 ,解得 m = ?4
∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4 解法 2:设直线 l 与抛物线 C2 的公共点坐标为 ( x0 , y0 ), 由y=

…………3 分

……………4 分

1 1 2 x ,得 y′ = x 4 2
x = x0

∴直线 l 的斜率 k = y′

=

1 x0 2

……………1 分

依题意得

1 x0 = 2 ,解得 x0 = 4. 2

……………2 分

把 x0 = 4 代入抛物线 C2 的方程,得 y0 = 4. ∵点 ( x0 , y0 ) 在直线 l 上,

∴ 4 = 2 × 4 + m, 解得 m = ?4.
∴直线 l 的方程为 y = 2 x ? 4. (2)解法 l:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1), 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) 设点 F1 (0,1) 关于直线 l 的对称点为 F1 ( x0 , y0 )

……………3 分

……………4 分

……………5 分

? y0 ?1 ? x × 2 = ?1, ? 则 ? 0 ? y0 + 1 = 2 × x0 ? 4 ? 2 2 ?
解得 ?

……………7 分

? x0 = 4, ? y0 = ?1.

11

∴点 F1 ( 4,?1)

……………8 分

∴直线 l 与直线 F1F2 : y = ?1 的交点为 P0 ( ,?1) 由椭圆的定义及平面几何知识得:

3 2

……………9 分

. 椭圆 C1 的长轴长 2a =| PF1 | + | PF2 |=| PF1 | + | PF2 |≥| F1F2 |= 4, ……………11 分

其中当点 P 与点 p0 重合时,上面不等式取等号.

∴ a ≥ 2. ∴ e =

1 1 ≤ a 2
1 , 2
……………12 分

故当 a = 2 时, emax =

此时椭圆 C1 的方程为

3 y 2 x2 + = 1 ,点 P 的坐标为 ( ,?1) 4 3 2

……………14 分

解法 2:∵抛物线 C2 的焦点为 F1 (0,1), 依题意知椭圆 C1 的两个焦点的坐标为 F1 (0,1), F2 (0,?1) 设椭圆 C1 的方程为 ……………5 分

y2 x2 + 2 = 1(a > 1), a 2 a ?1

……………6 分

? y = 2x ? 4 ? 由 ? y2 消去 y , x2 + 2 =1 ? a2 a ?1 ?
得 (5a 2 ? 4) x 2 ? 16( a 2 ? 1) x + ( a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) = 0 (*) 由 ? = [16( a 2 ? 1)]2 ? 4(5a 2 ? 4)( a 2 ? 1)(16 ? a 2 ) ≥ 0 得 5a ? 20a ≥ 0
4 2

……………7 分

……………8 分

……………9 分

解得 a ≥ 4.
2

∴a ≥ 2. 1 1 ∴e = ≤ ? a 2
当 a = 2 时, emax =

……………10 分 ……………11 分

y2 x2 1 , 此时椭圆 C1 的方程为 + = 1. 4 3 2 3 , y = ? 1. 2

……………12 分

把 a = 2 代入方程(*),解得 x = ∴点 P 的坐标为 ( ,?1)

……………13 分

3 2

……………14 分

12

20.(本小题满分 l4 分) (本小题主要考查函数和方程、导数、函数的极值等知识,考查函数与方程、分类与整合、 化归与转化的数学思想方法,以及抽象概括能力、推理论证能力和运算求解能力) (1)解:函数 f (x ) 的定义域为(0,+∞). ……………1 分

f ′( x) =

ax 2 ? x ? 1 1 ? ax + 1 = ? x x

……………2 分

13

1+ x ①当 a = 0 时, f ′ ( x ) = ,Q x > 0,∴ f ( x) > 0 x
∴函数 f (x ) 单调递增区间为(0,+∞).

……………3 分

ax ? x ? 1 ②当 a = 0 时,令 f ′ ( x) = 0 得 ? =0 /
2

x

Q x > 0.∴ ax 2 ? x ? 1 = 0.∴ ? = 1 + 4a.
(i)当 ? ≤ 0 ,即 a ≤ ?

1 2 ′ 时,得 ax ? x ? 1 ≤ 0 ,故 f ( x ) ≥ 0 4
……………4 分

∴函数 f (x ) 的单调递增区间为(0,+∞) (ii)当 ? > 0 ,即 a > ?

1 2 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的两个实根分别为 4 1 ? 1 + 4a 1 + 1 + 4a x1 = , x2 = ……………5 分 2a 2a 1 若 ? < a < 0 ,则 x1 < 0, x2 < 0 ,此时,当 x ∈ (0,+∞) 时, f ′ ( x ) > 0. 4
∴函数 f (x ) 的单调递增区间为(0,+∞), 若 a > 0 ,则 x1 < 0, x2 > 0 此时,当 x ∈ (0, x2 ) 时, f ′ ( x ) > 0 ,当 x ∈ ( x2 ,+∞) 时, f ′ ( x ) < 0, ∴函数 f (x ) 的单调递增区间为 ? 0, ……………6 分

? 1 + 1 + 4a ? ? 1 + 1 + 4a ? ?, 单调递减区间为 ? ,+∞ ? ? ? ? ? 2a 2a ? ? ? ?
LLLLL 7分

综上所述,当 a > 0 时,函数 f (x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? ? ,单调递减区间 ? ? 2a ? ?

为?

? 1 + 1 + 4a ? ,+∞ ? ? ? 2a ? ?

当 a ≤ 0 时,函数 f (x ) 的单调递增区间为(0,+∞),无单调递减区间. …………8 分 (2)解:由(1)得当 a ≤ 0 时,函数 f (x ) 在(0,+∞)上单调递增,故函数 f (x ) 无极值; …………9 分

14

当 a > 0 时,函数 f (x ) 的单调递增区间为 ? 0,

? 1 + 1 + 4a ? ?, 单谢递减区间为 ? ? 2a ? ?

? 1 + 1 + 4a ? ? , ∞? + ? ? 2a ? ?
则 f (x ) 有极大值,其值为 f ( x2 ) = ln x2 ?
2 2 而 ax2 ? x2 ? 1 = 0 ,即 ax2 = x2 + 1

1 2 1 + 1 + 4a ax2 + x2 ,其中 x2 = …10 分 2a 2

x2 ? 1 2 x ?1 1 1 ( x > 0) ,则 h′( x) = + > 0 设函数 h( x) = ln x + 2 x 2 x ?1 则 h( x) = ln x + 在(0,+∞)上为增函数. 2 ∴ f ( x2 ) = ln x2 +
又 h(1) = 0 ,则 h( x) > 0 等价于 x > 1.

……………11 分

……………12 分

∴ f ( x2 ) = ln x2 +

x2 ? 1 > 0 等价于 x2 > 1 2
2

……………13 分

即在 a > 0 时,方程 ax ? x ? 1 = 0 的大根大于 1, 设 ? ( x) = ax 2 ? x ? 1, 由于 ? (x) 的图象是开口向上的抛物线,且经过点(0,-l),对称 轴x =

1 > 0 ,则只需 ? (1) < 0 ,即 a ? 1 ? 1 < 0 ,解得 a < 2 ,而 a > 0. 2a
………………14 分

故实数 a 的取值范围为(0,2). 说明:若采用下面的方法求出实数 a 的取值范围的同样给 1 分.

1.由于

1 + 1 + 4a 1 1 1 + 4a 1 1 1 4 = + = + + 在(0,+∞)是减函数, 2 2a 2a 2 a 2a 2 a 2 a

1 + 1 + 4a 1 + 1 + 4a = 1 时, a = 2, 故 > 1 的解集为(0,2), 2a 2a 从而实数 a 的取值范围为(0,2)
而 2.直接解不等式 (0,2).

1 + 1 + 4a > 1 ,而 a > 0 通过分类讨论得出实数 a 的取值范围为 2a

15

21.(本小题满分 l4 分)

(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,考查化归与转化、分类与整合的数学思想方

法,以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识) (1)解:由于对任意 x, y ∈ ( ?1,1) 都有 f ( x ) ? f ( y ) = f (

x?y ) 1 ? xy

令 x = y = 0 ,得 f (0) ? f (0) = f ( 解得 f (0) = 0. 令 x = 0, 得 f (0) ? f ( y ) = f (

0?0 ) = f (0), 1? 0× 0
……………1 分

0? y ) = f (? y ) 1? 0× y
……………2 分

Q f (0) = 0, ∴ 0 ? f ( y ) = f (? y ),即f (? y ) = ? f ( y )
∴函数 f (x) 是奇函数. (2)解:先用数学归纳法证明 0 < an < 1 ①当 n=1 时 a1 =

……………3 分

1 ,得 0 < a1 < 1. 结论成立. 2

②假设 n=k 时,结论成立,即 0 < ak < 1 当 n = k + 1 时,由于 0 < ak < 1, ak +1 =

2ak >0 1 + ak2

又 a k ? +1 =

2a k 2a k 2a < = k = 1. 1+ a k2 2 1 × a 2 2a k k

∴ 0 < a k ?1 < 1.
即 n = k + 1 时,结论也成立. 由①②知对任意 n ∈ N ,0 < an < 1.
*

……………………4 分

求数列 { f (an )} 的通项公式提供下面两种方法. 法 l: f ( a n +1 ) = f (

2an a ? ( ? an ) )= f( n ) = f (an ) ? f (? an ) ……………5 分 2 1+ an 1 ? a n ? (?a n )

∵函数 f ( x ) 是奇函数
16

∴ f (? an ) = ? f (an ), ∴ f (an +1 ) = 2 f (an )
1 2
……………6 分

∴数列 { f (an )} 是首项为 f ( a1 ) = f ( ) = 1 ,公比为 2 的等比数列. ∴数列 { f (an )} 的通项公式为 f ( an ) = 2 法 2:Q f ( an +1 ) ? f ( an ) = f (
n ?1

……………7 分

an +1 ? an ) 1?an +1an

……………5 分

? 2an ? ? ? 2 ? an ? 1+ an ?= = f 2 ? 2 an ? ? 1?1+ a 2 ? n ? ?
∴ f ( a n +1 ) = 2 f ( a n ) ? 1 2

? a ? a3 ? f ? n 2 n ? = f (an ), ? 1? an ? ? ?

……………6 分

∴数列 { f (an )} 是首项为 f ( a1 ) = f ( ) = 1 ,公比为 2 的等比数列. ∴数列 { f (an )} 的通项公式为 f ( a n ) = 2
n ?1

……………7 分

(3)证法 l:由(2)知 0 < an < 1,
2 2 an an (1 ? an ) Q an +1 ? an = ? an = >0 2 2 1+ an 1 + an

∴ a n +1 > a n ∴ a1 = 1 1 ? < an < 1(n ∈ N * , 且n ≥ 2) 2 2 1 ∴ 0 < an ? am < ( n, m ∈ N * , 且 n > m ) 2
当 k ≥ 2 且 k ∈ N 时,
*

……………8 分

……………9 分

ak ? Ak = ak ? =

a1 + a2 + L + ak k

(ak ? a1 ) + (ak ? a2 ) + L + (ak ? ak ?1 ) k k ?1 < 2k

……………10 分

…………11 分

17

1 1 ? 2 2k 1 < . 2 = ∴ 0 < ak ? Ak < 1 . 2
…………12 分

Q a1 ? A1 = 0 ,
∴当 n ≥ 2 时, 0 <
n

∑ ai ? ∑Ai <
i =1 i =1 n

n

n

n ?1 . 2

………13 分

∴当 n ≥ 2 时, |

∑ ai ? ∑ Ai | <
i =1 i =1

n ?1 . 2

………14 分

证法 2:由(2)知 0 < an < 1 ,
2 2an an (1 ? an ) Q a n +1 ? a n = ? an = >0, 2 2 1+ an 1 + an

∴ a n+1 > a n . 1 1 , < an < 1 (n∈N*,且 n ≥ 2 ) 2 2 1 ∴| an ? am |< (n, m ∈ N *) . 2 ∴ a1 =
下面用数学归纳法证明不等式 |

……8 分

……9 分

∑a ? ∑ A | <
i =1 i i =1 i

n

n

n ?1 成立. 2

①当 n=2 时,左边 =| a1 + a2 ? ( a1 + ∴n=2 时,不等式成立.

a1 + a2 1 1 1 1 ) |= | a2 ? a1 |< × < = 右边. 2 2 2 2 2
………10 分

②假设 n = k ( k ≥ 2, k ∈ N *) 时,不等式成立,即 | 则 n=k+1 时, 左边 =|

∑ ai ? ∑ Ai | <
i =1 i =1

k

k

k ?1 , 2

∑ a ? ∑A | =| ∑ a
i =1 i i =1 i i =1 k k

k +1

k +1

k

i

+ ak +1 ? ∑ Ai ?
i =1

k

a1 + a2 + L + ak +1 k +1

……………11 分

=| (∑ ai ? ∑ Ai ) +
i =1 i =1

(k + 1)a k + 1 ? (a1 + a 2 + L + a k ) | k +1

≤| ∑ ai ? ∑ Ai | +
i =1 i =1

k

k

1 | (ak +1 ? a1 ) + (ak +1 ? a2 ) + L + (ak +1 ? ak ) | k +1
18

……12 分

k ?1 1 + (| ak +1 ? a1 | + | a k +1 ? a 2 | + L + | a k +1 ? a k |) 2 k +1 k ?1 1 1 1 1 < + ( + +L+ ) 2 k +1 2 2 2 k ?1 1 k × = + 2 k +1 2 <

= <

k ?1 1 1 + ? 2 2 2(k + 1)

k ?1 1 + 2 2 (k + 1) ? 1 = = 右边. 2 ∴ n = k + 1 时,不等式也成立.
由①②知,当 n ≥ 2 时, |

……………13 分

∑a ? ∑ A | <
i =1 i i =1 i

n

n

n ?1 成立. 2

………………14 分

证法 3:由(2)知 0 < ak < 1( k = 1,2,3, L , n) ,故对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有

0 < ∑ ai < k ,0 <
i =1

k

i = k +1

∑a

n

i

<n?k.

……………8 分

由于对任意 x>0,y>0,有 | x ? y |< max{x, y} ,其中 max{x, y} 表示 x 与 y 的较大值. 于是对 1 ≤ k ≤ n ? 1 ,有

1 1 k 1 n | An ? Ak |=| ( ? )∑ai ? ∑ ai | n k i =1 n i = k +1 =| 1 n 1 1 k ai ? ( ? )∑ai | ∑ n i = k +1 k n i =1 1 n 1 1 k ai , ( ? )∑ai } ∑ n i = k +1 k n i =1

……9 分

< max{

…………10 分

1 1 1 ≤ max{ (n ? k ), ( ? )k} n k n k = 1 ? (k = 1,2,3,L, n ? 1) . n
n n n

……………11 分

故|

∑ ai ? ∑ Ai | =| nAn ? ∑Ai | =| ( An ? A1 ) + ( An ? A2 ) + L + ( An ? An ?1 ) |
i =1 i =1 i =1

……12 分

19

≤| An ? A1 | + | An ? A2 | + L + | An ? An ? 1 |
1 2 n ?1 < (1 ? ) + (1 ? ) + L + (1 ? ) n n n = (n ? 1) ? 1 + 2 + 3 + L + (n ? 1) n

……………13 分

n(n ? 1) n ?1 2 = = (n ? 1) ? . n 2

……………14 分

2012 高考加油!! !

20


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