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2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛

时间:2011-02-17


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中 等 数 学

2009年全国高中数学联赛天津赛区预赛
中图分类号 : G 424 . 79 文献标识码 : A 文章编号 : 1005 - 6416( 2010) 02 - 0020- 03

一、 填空题 ( 每小题 7分 , 共 56 分 ) 1 . 设 a、 b、 c为实数 , 且满足 a + b + c= 15 , a + b + c = 100 . 则 a 的最大值和最小值的积为 2 . 已知 边 BC、 BA 的中点 , O 为 AC 上 有 一 点 D, 使 得 ABC的面积的 值为 . 3 . 甲在黑板上写下正整数 1 , 2 , , . ABC 是正三角形 , M 、 N 分别为 BMN 的外心, 在边 AOD 的 面 积 等 于 N + ). 则 AD 的 DC
2 2 2

2

: x 2 - y 2 = 1 ( a > b > 0) . 椭圆 a b
2

2

2

1

的左、 右

焦点分别 为 F 1、 F 2, 双曲线

的左、 右焦点

分别为 F 3、 F 4. 过 F 4作一条直线, 与椭圆交于 两个不同的点 A、 B ( B 在 A 与 F 4之间 ) , 直线 F 3A 与 F 2 B 交于点 C. 若直线 AF 2、 BF 3、 CF 1 三线共点, 则 a 2 = b
2

.

1 (n> 1 , n n

8. 已知正 200边形 A 1A 2 A 200, 联结对角 线 A iA i+ 9 ( i = 1 , 2, Ai ( i = 1 , 2 , 200边形的内部有 , 200 ), 其中, A i + 200 = 个不同的交点 . , 9 ). 则这 200 条对角线在正

2 009 , 然后背对黑板, 让乙将黑板上的这些 数擦去若干个后再添加上擦去数之和被 7 除 的余数 . 当经过若干次如上操作后使黑板上 只剩下两个数, 其中的一个数是一位数. 甲问 乙: ! 剩下的两个数中较大的数是几? ? 乙答: ! 100 . ? 则剩下的那个一位数为 4 . 方程 解的个数为
x- 1

二、 论述题 ( 共 44 分 ) 9. ( 14 分 ) 已知 C、 D 是以 AB 为直径的 半圆 O 上的两个 点, 弦 AD、 BC 交于点 E , AEF 、 BEG 的垂心分 O 上; F、 G 分别是 AC、 BD 延长线 上的点 , 且满足 AF# BG = AE# BE. 若 别为 H 1、 H 2, 证明 : ( 1)AH 1与 BH 2的交点 K 在 ( 2) F、 K、 G 三点共线. 10 . ( 15分 )已知正数列 { an } ( n ?0) 满足 an = an- 1 (n= 2 , 3 , man - 2 , m 为实参数 ).

.
2

x +

2

x2

x-

x2

= x + x - 1的

( 为圆周率 ) .

5 . 已知 n = abc < 10 000( a、 b、 c 均为质 数 ) , 且 2a + 3b = c, 4a + c + 1= 4b. 则 n 的值 为 . 6 . 已知二次函数 y= x 2

若 a2 009 =

2n + 1 n+ 1 x+ 2 n ( n + 2) n( n + 2 )

a0 , 求 m 的值. a1 ABC 的各

11 . ( 15 分 ) 将边长为 3 的正 行线, 称

在 x 轴上截得的线段的长为 d n. 则
100 n= 1

边三等分, 过每个分点分别作另外两边的平 ABC 的边及这些平行线所交的 10 个点为格点 . 若在这 10 个格点中任取 n 个格

dn =
1

. : x y 2 + 2 = 1 和 双曲 线 a b
2 2

7 . 已知 椭圆

点 , 一定存在三个格点能构成一个等腰三角 形 (包括正三角形 ). 求 n 的最小值 .

2010 年第 2 期

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参考答案
一、 1 . 25 . 3
2 2 2

因为 c = 20a + 3 为质数, 所以, a ?3. 于是, a = 2 , b = 13, c = 43 , n = 1 118 . 6. 7 625 . 10 302
2n + 1 n( n + 2 )
2

因 100- a = b + c

1 2 1 2 ? ( b + c) = ( 15- a ) , 2 2 所以, 3a - 30a + 25%0.
2

由 dn =
100

-

4( n + 1) 1 , 2= n( n + 2 ) n( n + 2)


n= 1

dn =

1 2

100 n= 1

1 1 n n+ 2

由于 a 的最大值和最小值就是方程 3a - 30a + 25= 0 的两个根 , 且 a 的最大值和最小值是可以取 到的, 因此, 由韦达定理可得 a 的最大值和最 小值的积为 2 . 25 . 3
2

= 7.

1 1 1 1 7 625 1+ = . 2 101 102 2 10 302 3 2 . 4 F 3F 1 F 2B CA # # = 1 . F 1F 2 BC AF 3 F 3F 4 F 2B CA # # = 1 . F 4F 2 BC AF 3

由塞瓦定理得

3 . 2n - 3 2 , 所以 , 3 1 2 AD# 2 3 1 = = 1 n AC# 1 2 AD 3 = AC 2n

由梅涅劳斯定理得 于是,

因为点 O 到 AC 的 距离等于点 B 到 AC 的距离的 S S

F 3F 1 F 3 F 4 = . F 1F 2 F 4 F 2 a + b 2 2 2 2

又 F3 F1 = F 1F 2 = 2
2 2

a - b = F 4F 2, a + b,
2 2

2

2

a - b , F 3F 4 = 2 a - b
2 2 2 2 2 2

A OD A BC



a + b 2
2 2

a -b a +b
2 2

AD 3 = . DC 2n - 3 3 . 5 . 因为 1+ 2+ + 2 009 &0 ( m od 7 ) , 所 以 , 那个一位数 a 满足 100+ a &0 ( m od 7) . 故 a &5 ( m od 7) . 4 . 2 . 原方程变形后为 x ( 同号. 因此, x = 0 , 1 . 5 . 1 118 . 由 b = 6a + 1 , c = 20a + 3 a ( 6a + 1 ) ( 20a + 3 ) < 10 000 120a < 10 000 a < 5 .
3 2 x- 1

=

2
2

a + b -

a - b

.

整理得

a 3 2 . 2 = 4 b , 200) ,

8. 1 600 . 对每条对角线 A iA i + 9 ( i = 1 , 2 , A i + 1, A i + 2, , A i+ 8 各 引 出 两 条 对 角 线 与

- 1 ) + (x - 1) (
2 x-1

x2

- 1) = 0 .
x2

A iA i+ 9相交 . 而每个这样的交点都被计算了两 次 , 则这 200 条对角线在正 200 边形的内部 不同的交点不超过 2( 8( 200 = 1 600个 . 2

当 x ?0 , 1 时, x (

- 1)与 ( x - 1 ) (

- 1)

下面证明: 不存在三条这样的对角线交 于一点 . 由于每条对角线等长 , 因此 , 这 200 条对 角线都与一个定圆相切. 因为由交点只能作两条切线, 所以, 不可

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中 等 数 学

能有三条这样的对角线交于一点 . 二、 9 . ( 1) 如图 1 ,由 AF BE = , AE BG 得 AEF BGE. 又 因 为 BC AF, AD BG, 所以, CEF + 于是, BEG = FEG = 90) . CEF + CFE = 90) .
图 1

11 . nm in = 5 . CBD, 设边 AB 上从点 A 到 B 的两个等分点分 别为 D、 E, 边 BC 上从点 B 到 C 的两个等分 点分别为 F、 G, 边 CA 上从点 C 到 A 的两个 等分点分别为 H 、 I, 中间的一个格点为 K . 若 n 的最小值为 4 , 取格点 A、 D、 E、 B, 则 不存在三个格点能构成一个等腰三角形 . 因此, n ?5 . 下面证明: 任取五个格点, 一定存在三个 格点能构成一个等腰三角形. 不妨假设被选取的点为红点. 只要证明: 一定存在一个由红点构成的 等腰三角形 . O 上. AEF、 若这五个红点中包含格点 K , 将其他九 个格点分成三个点集 L = {D, E, F }, M = {G,H, I}, N = {A, B, C}. 由抽屉原理知 , 一定存在一个点集中包 含至少两个红点, 无论是哪个点集中的哪两 个格点是红点, 均与红点 K 构成一个等腰三 角形. 若这五个红点中不包含格点 K , 当格点
KFM = 90 ) ,

CAD =

设 AK 、 BK 分别与 EF 、 EG 交于点 M 、 N. 则四边形 MENK 为矩形 . 因此, AKB = 90) , 即点 K 在 ( 2 ) 因 为 AM、 BN 分 别是 相 似 BGE对应边上的高线, 所以 , GN EM = . NE MF GN NK 又 NE = MK, EM = NK, 则 = . MK MF 由 故 即 FMK =
FKM +

KNG = 90) ,有 NKG.
GKN = FKM +

MFK FKM +

A 是红点时 , 在 U = {D, I }, V = {E, H }, W = {F, G }, T = {B, C } 中 , 如果有一个点集中包含两个红点 , 则结论 成立; 否则 , 每个点集中均恰有一个红点 . 不妨假设 D 为红点, 则 I 不是红点 . 若 B 为红点, 则 G、 C 不是红点. 于是, F 是红点 , 且无论 E、 H 哪个是红点, 均与 D、 F 构成一个等腰三角形 . 若 B 不是红点 , 则 C 为红点 , 于是 , E 不 是红点 , H 是红点 , 无论 F、 G 哪个是红点 , 均 可与 D、 H 或 H、 C 构成一个等腰三角形. 同理, 当格点 B 或 C 为红点时 , 结论仍 然成立 . 若 K、 A、 B、 C 均不是红点 , 则 D、 E、 F、 G、 H、 I 中有五个红点 , 结论显然成立. ( 李建泉 提供 )

GKN +

MKN = 180) .

从而, F、 K、 G 三点共线. a1 a1 ma 0 1 10. 因 a 2 = ,a = = , m a0 3 ma 1 m 2 a0 1 1 2 2 m a0 m a1 a0 1 a4 = = 2 , a5 = = , a1 1 m a1 m a1 m 2 m m a0 ma0 a0 ma 1 a0 a6 = = a0, a 7 = = a 1, 1 a0 m 2 m m a1 m a1 所以, 数列 { an }是周期为 6 的周期数列. 因此, a0 a0 = a2 009 = a 5 = m = 1. a1 m a1


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