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高中数学必修5常考题型:数列求和(复习课)

时间:2016-07-20


数列求和(复习课)
【知识梳理】
1.公式法(分组求和法) 如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合 而成,并且各独立项也可组成等差或等

比数列,则该数列的前 n 项和可考虑拆项后利用公式求解. 2.裂项求和法 对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列,在求和时常用“裂项法”,分式的求和多利 用此法.可用待定系数法对通项公式进行拆项,相消时应注意消去项的规律,即消去哪些项, 保留哪些项,常见的拆项公式有: ① 1 1 1 1 = · ( - ); n?n+k? k n n+k

②若{an}为等差数列,公差为 d, 则 ③ 1 1 1 1 = ( - ); d a an· an+1 an+1 n 1 = n+1- n等. n+1+ n

3.错位相减法 若数列{an}为等差数列,数列{bn}是等比数列,由这两个数列的对应项乘积组成的新数列 为{anbn},当求该数列的前 n 项的和时,常常采用将{anbn}的各项乘以公比 q,然后错位一项与 {anbn}的同次项对应相减,即可转化为特殊数列的求和,所以这种数列求和的方法称为错位相 减法. 4.倒序相加法 如果一个数列{an},与首末两项等距离的两项之和等于首末两项之和,可采用把正着写与 倒着写的两个和式相加,就得到一个常数列的和,这一求和方法称为倒序相加求和法.

【常考题型】 题型一、分组转化法求和
1 1 1 【例 1】 已知数列{cn}:1 ,2 ,3 ,?,试求{cn}的前 n 项和. 2 4 8 [解] 令{cn}的前 n 项和为 Sn, 1 1 1 ?1?n? 则 Sn=1 +2 +3 +?+? ?n+?2? ? 2 4 8 1?n? 1 1 1 =(1+2+3+?+n)+?2+4+8+?+? ?2?

?

?

1?n? 1? 1-? ?2? ? n?n+1? 2? = + 2 1 1- 2 = n?n+1? 1?n +1-? ?2? . 2 n2+n 1?n +1-? ?2? . 2

即数列{cn}的前 n 项和为 Sn= 【类题通法】

当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列, 但如果它的通项公式可以拆分为几项的和, 而这些项又构成等差数列或等比数列,那么就可以用分组求和法,即原数列的前 n 项和等于拆 分成的每个数列前 n 项和的和. 【对点训练】
n个 ? ? ? ? ? 1.求和:Sn=3+33+333+?+ 333? 3 . n个 ? ? ? ? ? 解:数列 3,33,333,?, 333? 3 的通项公式

1 an= (10n-1). 3 1 1 1 ∴Sn= (10-1)+ (102-1)+?+ (10n-1) 3 3 3 1 n = (10+102+?+10n)- 3 3
n 1 10?1-10 ? n = × - 3 3 1-10



10 n n (10 -1)- . 27 3

题型二、错位相减法求和
【例 2】 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn, 且 Sn=2n2+n, n∈N*, 数列{bn}满足 an=4log2bn +3,n∈N*. (1)求 an,bn; (2)求数列{an· bn}的前 n 项和 Tn. [解] (1)由 Sn=2n2+n,得当 n=1 时,a1=S1=3; 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=4n-1, 所以 an=4n-1,n∈N*.

由 4n-1=an=4log2bn+3,得 bn=2n 1,n∈N*.


(2)由(1)知 an· bn=(4n-1)· 2n 1,n∈N*,


所以 Tn=3+7×2+11×22+?+(4n-1)· 2n 1)· 2 n,

-1,

2Tn=3×2+7×22+?+(4n-5)· 2n 1+(4n-


所以 2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n 1)]=(4n-5)2n+5.


故 Tn=(4n-5)2n+5,n∈N*. 【类题通法】 如果数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,求数列{an· bn}的前 n 项和时,可采用错位相 减法. 在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn- qSn”的表达式. 【对点训练】 n 2.已知 an= n,求数列{an}的前 n 项和 Sn. 3 n-1 n 1 2 3 解:Sn= + 2+ 3+?+ n-1 + n, 3 3 3 3 3 n-1 1 1 2 n S = + +?+ n + n+1, 3 n 32 33 3 3 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn= + 2+ 3+?+ n- n+1 3 3 3 3 3 3 1 1? 1- n? 3? 3 ? n 1 1 n = - n+1= - - , 1 2 2×3n 3n+1 3 1- 3 3 1 n 3 2n+3 ∴Sn= - . n-1- n= - 4 4×3 2×3 4 4×3n

题型三、裂项相消法求和
【例 3】 已知等差数列{an}满足:a3=7,a5+a7=26,{an}的前 n 项和为 Sn. (1)求 an 及 Sn; 1 (2)令 bn= 2 (n∈N*),求数列{bn}的前 n 项和 Tn. an-1 [解](1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 由于 a3=7,a5+a7=26, ∴a1+2d=7,2a1+10d=26, 解得 a1=3,d=2.

由于 an=a1+(n-1)d,Sn=

n?a1+an? , 2

∴an=2n+1,Sn=n(n+2). (2)∵an=2n+1, ∴a2 n-1=4n(n+1), 1 ? 1 1 1 因此 bn= = ? - . 4n?n+1? 4?n n+1? 故 Tn=b1+b2+?+bn 1 1 1 1 1 1 = ?1-2+2-3+?+n-n+1? 4? ? 1 1 = ?1-n+1? 4? ? = n . 4?n+1? n . 4?n+1?

∴数列{bn}的前 n 项和 Tn= 【类题通法】

裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合使之能消去一些项,最终达到 求和的目的.利用裂项法的关键是分析数列的通项,考察是否能分解成两项的差,这两项一定 要是同一数列相邻(相间)的两项,即这两项的结论应一致. 【对点训练】 1 2 n 2 3.在数列{an}中,an= + +?+ ,且 bn= ,求数列{bn}的前 n 项的和. n+1 n+1 n+1 an· an+1 1 n 解:an= (1+2+?+n)= , 2 n+1 2 ∵bn= , an· an+1 2 1 1 ∴bn= =8( - ), n n+1 n n+1 · 2 2 ∴数列{bn}的前 n 项和为 1 1 1 1 1 1 1 1 8n Sn=8[(1- )+( - )+( - )+?+( - )]=8(1- )= . 2 2 3 3 4 n n+ 1 n+1 n+1

【练习反馈】
1.已知 an=(-1)n,数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S9 与 S10 的值分别是( A.1,1 B.-1,-1 )

C.1,0

D.-1,0

解析:选 D S9=-1+1-1+1-1+1-1+1-1=-1, S10=S9+a10=-1+1=0. 2.数列{an},{bn}满足 anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前 10 项和为( 1 A. 4 3 C. 4 5 B. 12 7 D. 12 )

1 1 1 1 1 解析:选 B 依题意 bn= = 2 = = - ,所以{bn}的前 10 项 an n +3n+2 ?n+1??n+2? n+1 n+2 1 1? ?1 1? ?1 1? ?1 1? 1 1 5 和为 S10=? ?2-3?+?3-4?+?4-5?+?+?11-12?=2-12=12,故选 B. 1 ? 1? ? 1 1? 1 1 1 ?1+1+1+?+ n - 3.求和:Sn=1+? 2 1?=________. ?1+2?+?1+2+4?+1+2+4+8+?+? 2 4 解析:被求和式的第 k 项为: 1 1 1 ak=1+ + +?+ k-1= 2 4 2 1?k 1-? ?2? 1 1- 2 1? =2? ?1-2k?.

? 1? ? 1 ? ? 1 ?? 所以 Sn=2? ??1-2?+?1-22?+?+?1-2n??
1 ?? ?1 1 1 =2? ?n-?2+22+23+?+2n??

? ? 2? ?1-2 ?? =2?n- 1 ? 1 - ? 2 ?
n

1

1

? 1 ?? =2? ?n-?1-2n??
1 =2n+ n-1-2. 2 1 答案:2n+ n-1-2 2 2n-1 321 4.已知数列{an}的通项公式 an= n ,其前 n 项和 Sn= ,则项数 n 等于________. 2 64 2n-1 1 解析:an= n =1- n 2 2

1 1? 1- n? 2? 2 ? 1 321 1 ∴Sn=n- =n-1+ n= =5+ , 1 2 64 64 1- 2 ∴n=6. 答案:6 5.已知等比数列{an}中,a2=8,a5=512. (1)求数列{an}的通项公式; (2)令 bn=nan,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. a5 512 解:(1) = =64=q3, a2 8 ∴q=4. ∴an=a2· 4n 2=8×4n 2=22n 1.
- - -

(2)由 bn=nan=n×22n

-1

知 Sn=1×2+2×23+3×25+?+n×22n 1①,
- +

从而 22×Sn=1×23+2×25+3×27+?+n×22n 1②, 1 - + + ①-②得(1-22)×Sn=2+23+25+?+22n 1-n×22n 1,即 Sn= [(3n-1)22n 1+2]. 9


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