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2018北师大版高中数学必修一学案:第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

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数学 学习目标 1.了解三种函数的增长特征.2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增 长”.3.尝试函数模型的简单应用. 知识点一 同类函数增长特点 思考 同样是增函数,当 x 从 2 变到 3,y=2x 到 y=10x 的纵坐标增加了多少? 梳理 当 a>1 时,指数函数 y=ax 是增函数,并且当 a 越大时,其函数值的增长就越快. 当 a>1 时,对数函数 y=logax 是增函数,并且当 a 越小时,其函数值的增长就越快. 当 x>0,n>1 时,幂函数 y=xn 是增函数,并且当 x>1 时,n 越大其函数值的增长就越快. 知识点二 指数函数、幂函数、对数函数的增长差异 思考 当 x 从 1 变到 10,函数 y=2x,y=x2 和 y=lg x 的纵坐标增长了多少? 梳理 一般地,在区间(0,+∞)上,尽管指数函数 y=ax(a>1)、幂函数 y=xn(n>0)与对数函 数 y=logax(a>1)都是增函数,但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上.随着 x 的增 大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会远远超过幂函数 y=xn(n>0)的增长速度,而对数函 数 y = logax(a>1) 的 增 长 速 度 越 来 越 慢 , 因 此 总 会 存 在 一 个 x0 , 当 x>x0 时 , 就 有 数学 ________________________(a>1,n>0). 类型一 根据图像判断函数的增长速度 例 1 函数 f(x)=2x 和 g(x)=x3 的图像如图所示.设两函数的图像交于点 A(x1,y1),B(x2, y2),且 x1<x2. (1)请指出图中曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)结合函数图像,判断 f(6),g(6),f(2 013),g(2 013)的大小. 反思与感悟 判断函数的增长速度,一个是从 x 增加相同量时,函数值的增长量的变化;另 一方面,也可从函数图像的变化,图像越陡,增长越快. 跟踪训练 1 函数 f(x)=lg x,g(x)=0.3x-1 的图像如图所示. (1)试根据函数的增长差异指出曲线 C1,C2 分别对应的函数; (2)以两图像交点为分界点,对 f(x),g(x)的大小进行比较. 数学 类型二 函数增长模型的应用 例 2 假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报 40 元; 方案二:第一天回报 10 元,以后每天比前一天多回报 10 元; 方案三:第一天回报 0.4 元,以后每天的回报比前一天翻一番. 请问,你会选择哪种投资方案? 反思与感悟 直线上升反映了一次函数(一次项系数大于 0)的增长趋势, 其增长速度不变(恒 为常数);指数爆炸反映了指数函数(底数大于 1)的增长趋势,其增长速度急剧(越来越快); 数学 对数增长反映了对数函数(底数大于 1)的增长趋势,其增长速度平缓(越来越慢).解题时, 注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律. 跟踪训练 2 某公司为了实现 1 000 万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方 案:在销售利润达到 10 万元时,按销售利润进行奖励,且资金 y(单位:万元)随销售利润 x(单位:万元)的增加而增加,但资金总数不超过 5 万元,同时资金不超过利润的 25%.现有 三个奖励模型:y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求? 1.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应是( A.y=3x C.y=x3 2.当 a>1 时,有下列结论: ①指数函数 y=ax,当 a 越大时,其函数值的增长越快; ②指数函数 y=ax,当 a 越小时,其函数值的增长越快; B.y=log3x D.y=3x ) 数学 ③对数函数 y=logax,当 a 越大时,其函数值的增长越快; ④对数函数 y=logax,当 a 越小时,其函数值的增长越快. 其中正确的结论是( A.①③ C.②③ ) B.①④ D.②④ 3. 某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长 10.4%, 要增长到原来的 x 倍, 需经过 y 年, 则函数 y=f(x)的图像大致是( ) 4.当 2<x<4 时,2x,x2,log2x 的大小关系是( A.2x>x2>log2x C.2x>log2x>x2 ) B.x2>2x>log2x D.x2>log2x>2x 5. 某商场 2016 年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势, 现有三种函数模型: ①f(x)=p· qx(q>0,q≠1); ②f(x)=logpx+q(p>0,p≠1); ③f(x)=x2+px+q. 能较准确反映商场月销售额 f(x)与月份 x 关系的函数模型为________(填写相应函数的序号), 若所选函数满足 f(1)=10,f(3)=2,则 f(x)=____________. 三种函数模型的选取 (1)当增长速度变化很快时,常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会增长到很大时,常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型 y=xn(n>0), 则可以描述增长幅度不同的变化: n 值较小(n≤1)时, 增长较慢; n 值较大(n>1)时,增长较快. 数学 答案精析 问题导学 知识点一 思考 23-22=4,103-102=900,即同样是 x 从 2 变到 3,y=2x 与 y=10x 的纵坐标分别增 加了 4 和 900. 知识点二 思考 210-21=1 024-2=1 022,102-12=99,lg 10-lg 1=1,即同样是 x 从 1 变到 10,y =2x,y=x2 和 y=lg x 的纵坐标分别增加了 1 022,99 和 1. 梳理 logax<xn<ax 题型探究 例1 解 (1)C1 对应的函数为 g(x)=x3

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