【陕西省2014届高三高考考前 数学30天保温训练6(导数及其应用)Word版含解析

2014 年高三数学考前 30 天保温训练 6 （导数及其应用）
一．选择题（共 18 小题） 1． （2010?重庆三模）已知 y=f（x）与 y=g（x）都为 R 上的可导函数，且 f′ （x）＞g′ （x） ， 则下面不等式正确的是（ ） A．f（2）+g（1）＞f B．f（1）+f（2）＞g C．f（1）﹣f（2）＞gD．f（2）﹣g（1）＞f （1）+g（2） （1）+g（2） （1）﹣g（2） （1）﹣g（2） 2． （2013?聊城一模）设曲线 （ ） A．2 在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=

B．

C．

D．﹣2

3． （2011?福州模拟）若曲线 y=x +ax+b 在点（0，b）处的切线方程是 x﹣y+1=0，则（ A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1 4． （2010?江西）若 f（x）=ax +bx +c 满足 f′ （1）=2，则 f′ （﹣1）=（ A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
2 4 2

2

）

）

5． （2014?江西一模）若 f（x）=2lnx﹣x ，则 f′ （x）＞0 的解集为（ ） A．（0，1） B．（﹣∞， ﹣1） ∪ （0， C．（﹣1， 0） ∪ （1， +∞） D．（1，+∞） 1） 6． （2013?绵阳一模）己知 f（x）=xsinx，则 f′ （π）=（ A．O B．﹣1 C．π ） D．﹣π ）

7． （2008?福建）如果函数 y=f（x）的图象如图，那么导函数 y=f′ （x）的图象可能是（

A．

B．

C．

D．

8． （2012?辽宁）函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为（ A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞）

2

） D．（0，+∞）
x

9． （2014?肇庆一模）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=xe ，则（ A．1 是 f（x）的极小值点 B． ﹣1 是 f（x）的极小值点 C． 1 是 f（x）的极大值点 D．﹣1 是 f（x）的极大值点
3 2

）

10． （2005?安徽） 函数 f （x） =x +ax +3x﹣9， 已知 f （x） 在 x=﹣3 时取得极值， 则 a= （ A．2 B．3 C．4 D．5 11． （2006?浙江）f（x）=x ﹣3x +2 在区间[﹣1，1]上的最大值是（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 12．如果 f（x）为偶函数，且 f（x）导数存在，则 f′ （0）的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣1
3 2

）

以下理科做
13． （2012?杭州一模）已知函数 f（x）= f（x）的图象（ A． 向右平移 ）个单位． B． 向左平移 ，要得到 f′ （x）的图象，只需将

C．

向右平移

D．

向左平移

14． （2013?北京）直线 l 过抛物线 C：x =4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形 的面积等于（ ） A． B．2 C． D．

2

15． （2011?福建） A．1

（e +2x）dx 等于（ B．e﹣1

x

） C．e D．e2+1

16． （2011?湖南）由直线 （ A． ） B．1

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为

C．

D．

17．若规定 的最大值为（ ）

，不等式

对一切 x∈（0，1]恒成立，则实数 m

A．0

B．2

C．

D．3

18． 曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后， 所形成的旋转体的体积为 （ A． B． C． D．

2

2

）

2014 年高三数学考前 30 天保温训练 7 （导数及其应用）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 18 小题） 1． （2010?重庆三模）已知 y=f（x）与 y=g（x）都为 R 上的可导函数，且 f′ （x）＞g′ （x） ， 则下面不等式正确的是（ ） A．f（2）+g（1）＞f B．f（1）+f（2）＞g C．f（1）﹣f（2）＞gD．f（2）﹣g（1）＞f （1）+g（2） （1）+g（2） （1）﹣g（2） （1）﹣g（2） 考点： 变化的快慢与变化率． 专题： 阅读型． 分析： 先根据导数的运算法则将 f′ （x）＞g′ （x）转化为[f（x）﹣g（x）]′ ＞0，然后由函 数的导数与单调性的关系，得出函数 f（x）﹣g（x）在 R 上为增函数，分别令 x=1， 2 得出大小关系式． 解答： 解：∵ f'（x）＞g'（x） ，∴ f'（x）﹣g'（x）＞0，∴ [f（x）﹣g（x）]′ ＞0，∴ 函数 f（x） ﹣g（x）在 R 上为增函数． ∵ 1＜2，∴ f（1）﹣g（1）＜f（2）﹣g（2） ，移向即得 f（2）+g（1）＞f（1）+g（2） 故选 A 点评： 本题主要考查导数的运算法则，函数的导数与单调性的关系．本题关键是将 f'（x）＞ g'（x） ，移向，得出函数 f（x）﹣g（x）在 R 上为增函数．
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2． （2013?聊城一模）设曲线 （ ） A．2

在点（3，2）处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直，则 a=

B．

C．

D．﹣2

考点： 导数的几何意义． 分析： （1）求出已知函数 y 在点（3，2）处的斜率； （2）利用两条直线互相垂直，斜率之间的关系 k1?k2=﹣1，求出未知数 a． 解答： 解：∵ y= ∴ y′ =﹣
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∵ x=3∴ y′ =﹣ 即切线斜率为﹣ ∵ 切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴ 直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a． ∴ ﹣ ?（﹣a）=﹣1 得 a=﹣2

故选 D． 点评： 函数 y=f（x）在 x=x0 处的导数的几何意义，就是曲线 y=f（x）在点 P（x0，y0）处的 切线的斜率，过点 P 的切线方程为：y﹣y0=f′ （x0） （x﹣x0） 3． （2011?福州模拟）若曲线 y=x +ax+b 在点（0，b）处的切线方程是 x﹣y+1=0，则（ A．a=1，b=1 B．a=﹣1，b=1 C．a=1，b=﹣1 D．a=﹣1，b=﹣1
2

）

考点： 导数的几何意义． 专题： 计算题；数形结合． 分析： 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数，从而求出切线的斜率，建立等量关 系求出 a，再根据点（0，b）在切线 x﹣y+1=0 上求出 b 即可． 解答： 解：∵ y'=2x+a|x=0=a，
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∵ 曲线 y=x +ax+b 在点（0，b）处的切线方程 x﹣y+1=0 的斜率为 1， ∴ a=1， 又切点在切线 x﹣y+1=0， ∴ 0﹣b+1=0 ∴ b=1． 故选：A 点评： 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程，属于基础题． 4． （2010?江西）若 f（x）=ax +bx +c 满足 f′ （1）=2，则 f′ （﹣1）=（ A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4
4 2

2

）

考点： 导数的运算． 专题： 整体思想． 分析： 先求导，然后表示出 f′ （1）与 f′ （﹣1） ，易得 f′ （﹣1）=﹣f′ （1） ，结合已知，即 可求解． 4 2 解答： 解：∵ f（x）=ax +bx +c，
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∴ f′ （x）=4ax +2bx， ∴ f′ （1）=4a+2b=2， ∴ f′ （﹣1）=﹣4a﹣2b=﹣（4a+2b）=﹣2， 故选 B． 点评： 本题考查了导数的运算，注意整体思想的应用． 5． （2014?江西一模）若 f（x）=2lnx﹣x ，则 f′ （x）＞0 的解集为（ ） A．（0，1） B．（﹣∞， ﹣1） ∪ （0， C．（﹣1， 0） ∪ （1， +∞） D．（1，+∞） 1） 考点： 导数的加法与减法法则． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 求函数的定义域和函数的导数，直接解导数不等式即可． 2 解答： 解：∵ f（x）=2lnx﹣x ， ∴ 函数的定义域为（0，+∞） ，
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3

2

则 f'（x）=

，

由 f'（x）=
2

＞0，

得 x ﹣1＜0， 即 0＜x＜1， 即不等式的解集为（0，1） ， 故选：A． 点评： 本题主要考查导数的基本运算，要求掌握常见函数的导数公式，比较基础． 6． （2013?绵阳一模）己知 f（x）=xsinx，则 f′ （π）=（ A．O B．﹣1 C．π ） D．﹣π

考点： 导数的乘法与除法法则． 专题： 导数的概念及应用． ′ 分析： 先对函数 f（x）求导，进而可求出 f （π）的值． ′ ′ 解答： 解：∵ f （x）=sinx+xcosx，∴ f （π）=sinπ+πcosπ=﹣π． 故选 D． 点评： 本题考查导数的值，正确求导是解决问题的关键．
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7． （2008?福建）如果函数 y=f（x）的图象如图，那么导函数 y=f′ （x）的图象可能是（

）

A．

B．

C．

D．

考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 压轴题． 分析： 由 y=f（x）的图象得函数的单调性，从而得导函数的正负． 解答： 解：由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负， 故选 A． 点评： 导数的正负决定函数的单调性．
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8． （2012?辽宁）函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为（ A．（﹣1，1] B．（0，1] C．[1，+∞）

2

） D．（0，+∞）

考点： 利用导数研究函数的单调性． 专题： 计算题． 分析： 由 y= x ﹣lnx 得 y′ =
2

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，由 y′ ≤0 即可求得函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间．

2

解答： 2 解：∵ y= x ﹣lnx 的定义域为（0，+∞） ，

y′ =

，

∴ 由 y′ ≤0 得：0＜x≤1， ∴ 函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为（0，1]． 故选 B． 点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性，注重标根法的考查与应用，属于基础题． 9． （2014?肇庆一模）已知 e 为自然对数的底数，设函数 f（x）=xe ，则（ A．1 是 f（x）的极小值点 B． ﹣1 是 f（x）的极小值点 C． 1 是 f（x）的极大值点 D．﹣1 是 f（x）的极大值点
x 2

）

考点： 函数在某点取得极值的条件． 专题： 导数的综合应用． 分析： 求出 f′ （x） ，然后解不等式 f′ （x）＞0 即可得到函数的单调增区间，解不等式 f′ （x） ＜0 即可得到函数的单调减区间，进而得到函数的极值． x x 解答： 解：f（x）=xe ?f′ （x）=e （x+1） ， 令 f′ （x）＞0?x＞﹣1， ∴ 函数 f（x）的单调递增区间是[﹣1，+∞） ； 令 f′ （x）＜0?x＜﹣1， ∴ 函数 f（x）的单调递减区间是（﹣∞，﹣1） ， 故﹣1 是 f（x）的极小值点． 故选：B． 点评： 本题考查利用导数研究函数单调性与极值问题，属基础题．
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10． （2005?安徽） 函数 f （x） =x +ax +3x﹣9， 已知 f （x） 在 x=﹣3 时取得极值， 则 a= （ A．2 B．3 C．4 D．5

3

2

）

考点： 利用导数研究函数的极值． 专题： 计算题． 分析： 因为 f（x）在 x=﹣3 是取极值，则求出 f′ （x）得到 f′ （﹣3）=0 解出求出 a 即可． 2 解答： 解：∵ f′ （x）=3x +2ax+3，又 f（x）在 x=﹣3 时取得极值
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∴ f′ （﹣3）=30﹣6a=0 则 a=5． 故选 D 点评： 考查学生利用导数研究函数极值的能力． 11． （2006?浙江）f（x）=x ﹣3x +2 在区间[﹣1，1]上的最大值是（ ） A．﹣2 B．0 C．2 D．4 考点： 利用导数求闭区间上函数的最值． 分析： 由题意先对函数 y 进行求导，解出极值点，然后再根据函数的定义域，把极值点和区 间端点值代入已知函数，判断函数在区间上的增减性，比较函数值的大小，求出最大 值，从而求解． 2 解答： 解：f'（x）=3x ﹣6x=3x（x﹣2） ， 令 f'（x）=0 可得 x=0 或 2（2 舍去） ， 当﹣1＜x＜0 时，f'（x）＞0， 当 0＜x＜1 时，f'（x）＜0， ∴ 当 x=0 时，f（x）取得最大值为 f（0）=2． 故选 C 点评： 此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值，解题的关键是求导要精确．
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3

2

12．如果 f（x）为偶函数，且 f（x）导数存在，则 f′ （0）的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D．﹣1 考点： 导数的概念；偶函数． 专题： 阅读型． 分析： 由函数为偶函数得到 f（x）等于 f（﹣x） ，然后两边对 x 求导后，因为导函数在 x=0 有定义，所以令 x 等于 0，得到关于 f′ （0）的方程，求出方程的解即可得到 f′ （0） 的值． 解答： 解：因为 f（x）为偶函数，所以 f（x）=f（﹣x） ， 此时两边对 x 求导得：f′ （x）=﹣f′ （﹣x） ， 又因为 f′ （0）存在， 把 x=0 代入得：f′ （0）=﹣f′ （0） ， 解得 f′ （0）=0． 故选 C 点评： 此题考查了导数的运算，考查偶函数的性质，是一道综合题．
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13． （2012?杭州一模）已知函数 f（x）= f（x）的图象（ A． 向右平移 ）个单位． B． 向左平移

，要得到 f′ （x）的图象，只需将

C．

向右平移

D．

向左平移

考点： 简单复合函数的导数；函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 计算题．

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分析： 由于 f′ （x）=2cos（2x+ 换规律即可得到答案． 解答： 解：∵ f′ （x）=2cos（2x+ ∴ f′ （x）=cos（2x+ ∴ 将 f（x）=sin（2x+ g（x）=f（x+ =sin[2（x+ =sin[（2x+ =cos（2x+ = f′ （x） ， ） ）] ] ） ，

） ，于是 f′ （x）=cos（2x+

） ，利用诱导公式及平移变

） ，

）向左平移

个单位可得：

）+ ）+ ）

故选 D． 点评： 本题考查函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换，考查简单复合函数的导数，考查理解与 运算能力，属于中档题． 14． （2013?北京）直线 l 过抛物线 C：x =4y 的焦点且与 y 轴垂直，则 l 与 C 所围成的图形 的面积等于（ ） A． B．2 C． D．
2

考点： 定积分． 专题： 压轴题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线 l 与 抛物线围成的封闭图形面积． 2 解答： 解：抛物线 x =4y 的焦点坐标为（0，1） ，
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∵ 直线 l 过抛物线 C：x =4y 的焦点且与 y 轴垂直， ∴ 直线 l 的方程为 y=1， 由 ，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．

2

∴ 直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 | = ．

= （ x﹣

）

故选 C．

点评： 本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分 区间，确定被积函数． 15． （2011?福建） A．1 （e +2x）dx 等于（ B．e﹣1
x

） C．e D．e2+1

考点： 定积分． 专题： 计算题． 分析： 求出被积函数的原函数，将积分的上限代入减去将下限代入求出差． x x 2 1 解答： 解： （e +2x）dx=（e +x ）| =e+1﹣1=e
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0

故选 C． 点评： 本题考查利用微积分基本定理求定积分值．

16． （2011?湖南）由直线 （ A． ） B．1

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为

C．

D．

考点： 定积分在求面积中的应用． 专题： 计算题． 分析： 为了求得与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积，可利用定积分求解，积分的上下
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限分别为

与

，cosx 即为被积函数．

解答： 解：由定积分可求得阴影部分的面积为 S= cosxdx= = ﹣（﹣ ． ）= ，

所以围成的封闭图形的面积是 故选 D．

点评： 本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识，考查运算求解 能力，化归与转化思想、考查数形结合思想，属于基础题． 对一切 x∈（0，1]恒成立，则实数 m

17．若规定 的最大值为（ A．0 ）

，不等式

B．2

C．

D．3

考点： 导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题；一元二次不等式的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 根据行列式的定义，进行化简，然后根据不等式恒成立，转化为求函数的最值问题即 可求解 m． 解答： 解：由定义可知不等式 化简为（x﹣1） （x+1）﹣mx≥﹣2，
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即 x ﹣mx+1≥0 对一切 x∈（0，1]恒成立， 2 ∴ mx≤x +1， ∵ x∈（0，1]， ∴ m 设 f（x）=x ， 恒成立．

2

则 f'（x）=1﹣

，

则当 x∈（0，1]时，f'（x）≤0， ∴ 函数 f（x）单调第减，∴ 函数 f（x）的最小值为 f（1）=1+1=2， ∴ m≤2， 即实数 m 的最大值为 2． 故选：B． 点评： 本题主要考查不等式恒成立问题，利用行列式的定义化简不等式，然后利用基本不等 式的性质进行求解即可． 18． 曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后， 所形成的旋转体的体积为 （ A． B． C． D．
2 2

）

考点： 用定积分求简单几何体的体积． 专题： 计算题． 2 2 分析： 欲求曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积，
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可利用定积分计算，即求出被积函数 y=π（x﹣x ）在 0→1 上的积分即可． 解答： 解：设旋转体的体积为 V， 则 = ． ．
1 0

4

故旋转体的体积为：

故选 A． 点评： 本小题主要考查定积分、 定积分的应用等基础知识， 考查数形结合思想． 属于基础题．