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【陕西省2014届高三高考考前 数学30天保温训练6(导数及其应用)Word版含解析

时间:2015-03-25


2014 年高三数学考前 30 天保温训练 6 (导数及其应用)
一.选择题(共 18 小题) 1. (2010?重庆三模)已知 y=f(x)与 y=g(x)都为 R 上的可导函数,且 f′ (x)>g′ (x) , 则下面不等式正确的是( ) A.f(2)+g(1)>f B.f(1)+f(2)>g C.f(1)﹣f(2)>gD.f(2)﹣g(1)>f (1)+g(2) (1)+g(2) (1)﹣g(2) (1)﹣g(2) 2. (2013?聊城一模)设曲线 ( ) A.2 在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=

B.

C.

D.﹣2

3. (2011?福州模拟)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1 4. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′ (1)=2,则 f′ (﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
2 4 2

2





5. (2014?江西一模)若 f(x)=2lnx﹣x ,则 f′ (x)>0 的解集为( ) A.(0,1) B.(﹣∞, ﹣1) ∪ (0, C.(﹣1, 0) ∪ (1, +∞) D.(1,+∞) 1) 6. (2013?绵阳一模)己知 f(x)=xsinx,则 f′ (π)=( A.O B.﹣1 C.π ) D.﹣π )

7. (2008?福建)如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′ (x)的图象可能是(

A.

B.

C.

D.

8. (2012?辽宁)函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为( A.(﹣1,1] B.(0,1] C.[1,+∞)

2

) D.(0,+∞)
x

9. (2014?肇庆一模)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=xe ,则( A.1 是 f(x)的极小值点 B. ﹣1 是 f(x)的极小值点 C. 1 是 f(x)的极大值点 D.﹣1 是 f(x)的极大值点
3 2



10. (2005?安徽) 函数 f (x) =x +ax +3x﹣9, 已知 f (x) 在 x=﹣3 时取得极值, 则 a= ( A.2 B.3 C.4 D.5 11. (2006?浙江)f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是( ) A.﹣2 B.0 C.2 D.4 12.如果 f(x)为偶函数,且 f(x)导数存在,则 f′ (0)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1
3 2



以下理科做
13. (2012?杭州一模)已知函数 f(x)= f(x)的图象( A. 向右平移 )个单位. B. 向左平移 ,要得到 f′ (x)的图象,只需将

C.

向右平移

D.

向左平移

14. (2013?北京)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形 的面积等于( ) A. B.2 C. D.

2

15. (2011?福建) A.1

(e +2x)dx 等于( B.e﹣1

x

) C.e D.e2+1

16. (2011?湖南)由直线 ( A. ) B.1

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为

C.

D.

17.若规定 的最大值为( )

,不等式

对一切 x∈(0,1]恒成立,则实数 m

A.0

B.2

C.

D.3

18. 曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后, 所形成的旋转体的体积为 ( A. B. C. D.

2

2



2014 年高三数学考前 30 天保温训练 7 (导数及其应用)
参考答案与试题解析
一.选择题(共 18 小题) 1. (2010?重庆三模)已知 y=f(x)与 y=g(x)都为 R 上的可导函数,且 f′ (x)>g′ (x) , 则下面不等式正确的是( ) A.f(2)+g(1)>f B.f(1)+f(2)>g C.f(1)﹣f(2)>gD.f(2)﹣g(1)>f (1)+g(2) (1)+g(2) (1)﹣g(2) (1)﹣g(2) 考点: 变化的快慢与变化率. 专题: 阅读型. 分析: 先根据导数的运算法则将 f′ (x)>g′ (x)转化为[f(x)﹣g(x)]′ >0,然后由函 数的导数与单调性的关系,得出函数 f(x)﹣g(x)在 R 上为增函数,分别令 x=1, 2 得出大小关系式. 解答: 解:∵ f'(x)>g'(x) ,∴ f'(x)﹣g'(x)>0,∴ [f(x)﹣g(x)]′ >0,∴ 函数 f(x) ﹣g(x)在 R 上为增函数. ∵ 1<2,∴ f(1)﹣g(1)<f(2)﹣g(2) ,移向即得 f(2)+g(1)>f(1)+g(2) 故选 A 点评: 本题主要考查导数的运算法则,函数的导数与单调性的关系.本题关键是将 f'(x)> g'(x) ,移向,得出函数 f(x)﹣g(x)在 R 上为增函数.
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2. (2013?聊城一模)设曲线 ( ) A.2

在点(3,2)处的切线与直线 ax+y+1=0 垂直,则 a=

B.

C.

D.﹣2

考点: 导数的几何意义. 分析: (1)求出已知函数 y 在点(3,2)处的斜率; (2)利用两条直线互相垂直,斜率之间的关系 k1?k2=﹣1,求出未知数 a. 解答: 解:∵ y= ∴ y′ =﹣
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∵ x=3∴ y′ =﹣ 即切线斜率为﹣ ∵ 切线与直线 ax+y+1=0 垂直 ∴ 直线 ax+y+1=0 的斜率为﹣a. ∴ ﹣ ?(﹣a)=﹣1 得 a=﹣2

故选 D. 点评: 函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的几何意义,就是曲线 y=f(x)在点 P(x0,y0)处的 切线的斜率,过点 P 的切线方程为:y﹣y0=f′ (x0) (x﹣x0) 3. (2011?福州模拟)若曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程是 x﹣y+1=0,则( A.a=1,b=1 B.a=﹣1,b=1 C.a=1,b=﹣1 D.a=﹣1,b=﹣1
2



考点: 导数的几何意义. 专题: 计算题;数形结合. 分析: 根据导数的几何意义求出函数 y 在 x=0 处的导数,从而求出切线的斜率,建立等量关 系求出 a,再根据点(0,b)在切线 x﹣y+1=0 上求出 b 即可. 解答: 解:∵ y'=2x+a|x=0=a,
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∵ 曲线 y=x +ax+b 在点(0,b)处的切线方程 x﹣y+1=0 的斜率为 1, ∴ a=1, 又切点在切线 x﹣y+1=0, ∴ 0﹣b+1=0 ∴ b=1. 故选:A 点评: 本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程,属于基础题. 4. (2010?江西)若 f(x)=ax +bx +c 满足 f′ (1)=2,则 f′ (﹣1)=( A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.4
4 2

2



考点: 导数的运算. 专题: 整体思想. 分析: 先求导,然后表示出 f′ (1)与 f′ (﹣1) ,易得 f′ (﹣1)=﹣f′ (1) ,结合已知,即 可求解. 4 2 解答: 解:∵ f(x)=ax +bx +c,
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∴ f′ (x)=4ax +2bx, ∴ f′ (1)=4a+2b=2, ∴ f′ (﹣1)=﹣4a﹣2b=﹣(4a+2b)=﹣2, 故选 B. 点评: 本题考查了导数的运算,注意整体思想的应用. 5. (2014?江西一模)若 f(x)=2lnx﹣x ,则 f′ (x)>0 的解集为( ) A.(0,1) B.(﹣∞, ﹣1) ∪ (0, C.(﹣1, 0) ∪ (1, +∞) D.(1,+∞) 1) 考点: 导数的加法与减法法则. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 求函数的定义域和函数的导数,直接解导数不等式即可. 2 解答: 解:∵ f(x)=2lnx﹣x , ∴ 函数的定义域为(0,+∞) ,
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3

2

则 f'(x)=



由 f'(x)=
2

>0,

得 x ﹣1<0, 即 0<x<1, 即不等式的解集为(0,1) , 故选:A. 点评: 本题主要考查导数的基本运算,要求掌握常见函数的导数公式,比较基础. 6. (2013?绵阳一模)己知 f(x)=xsinx,则 f′ (π)=( A.O B.﹣1 C.π ) D.﹣π

考点: 导数的乘法与除法法则. 专题: 导数的概念及应用. ′ 分析: 先对函数 f(x)求导,进而可求出 f (π)的值. ′ ′ 解答: 解:∵ f (x)=sinx+xcosx,∴ f (π)=sinπ+πcosπ=﹣π. 故选 D. 点评: 本题考查导数的值,正确求导是解决问题的关键.
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7. (2008?福建)如果函数 y=f(x)的图象如图,那么导函数 y=f′ (x)的图象可能是(



A.

B.

C.

D.

考点: 函数的单调性与导数的关系. 专题: 压轴题. 分析: 由 y=f(x)的图象得函数的单调性,从而得导函数的正负. 解答: 解:由原函数的单调性可以得到导函数的正负情况依次是正→负→正→负, 故选 A. 点评: 导数的正负决定函数的单调性.
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8. (2012?辽宁)函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为( A.(﹣1,1] B.(0,1] C.[1,+∞)

2

) D.(0,+∞)

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 由 y= x ﹣lnx 得 y′ =
2

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,由 y′ ≤0 即可求得函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间.

2

解答: 2 解:∵ y= x ﹣lnx 的定义域为(0,+∞) ,

y′ =



∴ 由 y′ ≤0 得:0<x≤1, ∴ 函数 y= x ﹣lnx 的单调递减区间为(0,1]. 故选 B. 点评: 本题考查利用导数研究函数的单调性,注重标根法的考查与应用,属于基础题. 9. (2014?肇庆一模)已知 e 为自然对数的底数,设函数 f(x)=xe ,则( A.1 是 f(x)的极小值点 B. ﹣1 是 f(x)的极小值点 C. 1 是 f(x)的极大值点 D.﹣1 是 f(x)的极大值点
x 2



考点: 函数在某点取得极值的条件. 专题: 导数的综合应用. 分析: 求出 f′ (x) ,然后解不等式 f′ (x)>0 即可得到函数的单调增区间,解不等式 f′ (x) <0 即可得到函数的单调减区间,进而得到函数的极值. x x 解答: 解:f(x)=xe ?f′ (x)=e (x+1) , 令 f′ (x)>0?x>﹣1, ∴ 函数 f(x)的单调递增区间是[﹣1,+∞) ; 令 f′ (x)<0?x<﹣1, ∴ 函数 f(x)的单调递减区间是(﹣∞,﹣1) , 故﹣1 是 f(x)的极小值点. 故选:B. 点评: 本题考查利用导数研究函数单调性与极值问题,属基础题.
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10. (2005?安徽) 函数 f (x) =x +ax +3x﹣9, 已知 f (x) 在 x=﹣3 时取得极值, 则 a= ( A.2 B.3 C.4 D.5

3

2



考点: 利用导数研究函数的极值. 专题: 计算题. 分析: 因为 f(x)在 x=﹣3 是取极值,则求出 f′ (x)得到 f′ (﹣3)=0 解出求出 a 即可. 2 解答: 解:∵ f′ (x)=3x +2ax+3,又 f(x)在 x=﹣3 时取得极值
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∴ f′ (﹣3)=30﹣6a=0 则 a=5. 故选 D 点评: 考查学生利用导数研究函数极值的能力. 11. (2006?浙江)f(x)=x ﹣3x +2 在区间[﹣1,1]上的最大值是( ) A.﹣2 B.0 C.2 D.4 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值. 分析: 由题意先对函数 y 进行求导,解出极值点,然后再根据函数的定义域,把极值点和区 间端点值代入已知函数,判断函数在区间上的增减性,比较函数值的大小,求出最大 值,从而求解. 2 解答: 解:f'(x)=3x ﹣6x=3x(x﹣2) , 令 f'(x)=0 可得 x=0 或 2(2 舍去) , 当﹣1<x<0 时,f'(x)>0, 当 0<x<1 时,f'(x)<0, ∴ 当 x=0 时,f(x)取得最大值为 f(0)=2. 故选 C 点评: 此题考查导数的定义及利用导数来求闭区间函数的最值,解题的关键是求导要精确.
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3

2

12.如果 f(x)为偶函数,且 f(x)导数存在,则 f′ (0)的值为( ) A.2 B.1 C.0 D.﹣1 考点: 导数的概念;偶函数. 专题: 阅读型. 分析: 由函数为偶函数得到 f(x)等于 f(﹣x) ,然后两边对 x 求导后,因为导函数在 x=0 有定义,所以令 x 等于 0,得到关于 f′ (0)的方程,求出方程的解即可得到 f′ (0) 的值. 解答: 解:因为 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(﹣x) , 此时两边对 x 求导得:f′ (x)=﹣f′ (﹣x) , 又因为 f′ (0)存在, 把 x=0 代入得:f′ (0)=﹣f′ (0) , 解得 f′ (0)=0. 故选 C 点评: 此题考查了导数的运算,考查偶函数的性质,是一道综合题.
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13. (2012?杭州一模)已知函数 f(x)= f(x)的图象( A. 向右平移 )个单位. B. 向左平移

,要得到 f′ (x)的图象,只需将

C.

向右平移

D.

向左平移

考点: 简单复合函数的导数;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题.

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分析: 由于 f′ (x)=2cos(2x+ 换规律即可得到答案. 解答: 解:∵ f′ (x)=2cos(2x+ ∴ f′ (x)=cos(2x+ ∴ 将 f(x)=sin(2x+ g(x)=f(x+ =sin[2(x+ =sin[(2x+ =cos(2x+ = f′ (x) , ) )] ] ) ,

) ,于是 f′ (x)=cos(2x+

) ,利用诱导公式及平移变

) ,

)向左平移

个单位可得:

)+ )+ )

故选 D. 点评: 本题考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换,考查简单复合函数的导数,考查理解与 运算能力,属于中档题. 14. (2013?北京)直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C 所围成的图形 的面积等于( ) A. B.2 C. D.
2

考点: 定积分. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 先确定直线的方程,再求出积分区间,确定被积函数,由此利用定积分可求直线 l 与 抛物线围成的封闭图形面积. 2 解答: 解:抛物线 x =4y 的焦点坐标为(0,1) ,
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∵ 直线 l 过抛物线 C:x =4y 的焦点且与 y 轴垂直, ∴ 直线 l 的方程为 y=1, 由 ,可得交点的横坐标分别为﹣2,2.

2

∴ 直线 l 与抛物线围成的封闭图形面积为 | = .

= ( x﹣



故选 C.

点评: 本题考查封闭图形的面积,考查直线方程,解题的关键是确定直线的方程,求出积分 区间,确定被积函数. 15. (2011?福建) A.1 (e +2x)dx 等于( B.e﹣1
x

) C.e D.e2+1

考点: 定积分. 专题: 计算题. 分析: 求出被积函数的原函数,将积分的上限代入减去将下限代入求出差. x x 2 1 解答: 解: (e +2x)dx=(e +x )| =e+1﹣1=e
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0

故选 C. 点评: 本题考查利用微积分基本定理求定积分值.

16. (2011?湖南)由直线 ( A. ) B.1

与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为

C.

D.

考点: 定积分在求面积中的应用. 专题: 计算题. 分析: 为了求得与 x 轴所围成的不规则的封闭图形的面积,可利用定积分求解,积分的上下
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限分别为



,cosx 即为被积函数.

解答: 解:由定积分可求得阴影部分的面积为 S= cosxdx= = ﹣(﹣ . )= ,

所以围成的封闭图形的面积是 故选 D.

点评: 本小题主要考查定积分的简单应用、定积分、导数的应用等基础知识,考查运算求解 能力,化归与转化思想、考查数形结合思想,属于基础题. 对一切 x∈(0,1]恒成立,则实数 m

17.若规定 的最大值为( A.0 )

,不等式

B.2

C.

D.3

考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题;一元二次不等式的应用. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据行列式的定义,进行化简,然后根据不等式恒成立,转化为求函数的最值问题即 可求解 m. 解答: 解:由定义可知不等式 化简为(x﹣1) (x+1)﹣mx≥﹣2,
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即 x ﹣mx+1≥0 对一切 x∈(0,1]恒成立, 2 ∴ mx≤x +1, ∵ x∈(0,1], ∴ m 设 f(x)=x , 恒成立.

2

则 f'(x)=1﹣



则当 x∈(0,1]时,f'(x)≤0, ∴ 函数 f(x)单调第减,∴ 函数 f(x)的最小值为 f(1)=1+1=2, ∴ m≤2, 即实数 m 的最大值为 2. 故选:B. 点评: 本题主要考查不等式恒成立问题,利用行列式的定义化简不等式,然后利用基本不等 式的性质进行求解即可. 18. 曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后, 所形成的旋转体的体积为 ( A. B. C. D.
2 2



考点: 用定积分求简单几何体的体积. 专题: 计算题. 2 2 分析: 欲求曲线 y=x 和 y =x 所围成的平面图形绕 x 轴旋转一周后所形成的旋转体的体积,
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可利用定积分计算,即求出被积函数 y=π(x﹣x )在 0→1 上的积分即可. 解答: 解:设旋转体的体积为 V, 则 = . .
1 0

4

故旋转体的体积为:

故选 A. 点评: 本小题主要考查定积分、 定积分的应用等基础知识, 考查数形结合思想. 属于基础题.


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