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数学奥林匹克高中训练题133

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数学和奥林匹克高中训练题(133) 文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2010)09-0039-07 第一试 一、填空题 (每小题 8 分,共 64 分) 中图分类号:G424.79 1 ? 3x ? 32 x ? ? ? 32 010 x ? 3 的解为 x ? __________. 1 ? 3? x ? 3?2 x ? ? ? 3?2 010 x y 2.若实数 x 、 y 满足 y 2 ? 4 x ,则 的取值范围为__________. x ?1 1.方程 ? ? ? y ? 1 ? x ,? ? ? 3.集合 A ? ?? x ,y ? ? 的子集个数为__________. ? 2 ?y ?1? x ? ? ? ? ? 4 . 称 四 个 面 均 为 直 角 三 角 形 的 三 棱 锥 为 “ 四 直 角 三 棱 锥 ” . 若 在 四 直 角 本 棱 锥 S ? ABC 中 , ?SAB ? ?SAC ? ?SBC ? 90? ,则另一面的直角为__________. 5.把函数 f ? x ? ? ?a b? ax ? b 的系数按其自然位置排成两行两列,记为二阶矩阵 A ? ? ? ,其中,每一个 cx ? d ?c d ? af ? x ? ? b 数字称为二阶和矩阵的元素,又记 f ? f ? x ? ? ? cf ? x ? ? d ? ?a 2 ? ac ? cd ? x ? ? bc ? d 2 ? ? bc ? x ? ? ab ? bd ? 的系数所组成的二阶和 ? a 2 ? ab ab ? bd ? ? a 2 ? bc ab ? bd ? 2 矩阵 ? 为 的平方,即 . A ? A ? A ? A ? ? ? ac ? cd bc ? d 2 ? ? ac ? cd bc ? d 2 ? ? ? ? ? ? ?a a ? 请观察二阶和矩阵乘法的规律,写出 A2 ? A ? A ? ? 11 12 ? 中的元素 a21 ? __________. ? a21 a22 ? 3, 5, 7, 9 ? , B ? ?2 ,4 ,6 , 8? .现抛掷硬币从 A 、 B 中无放回地取出数字组成九位数, 6.记 A ? ?1, 规则是:若硬币出现正面时,就从集合 A 中取出一个最小的数;若硬币出现反面时,就从集合日中取 出一个最小的数.当一个集合的数字被取完而另一个集合还有数字时,另一集合剩下的数字就按从小 到大的顺序添在后面.按此规则,取出的数字恰好为123 456 789的概率为__________. 7.某公司在2009年投资了一个项目,每年都既有现金投入又有现金收入.已知 (1)2009年度公司投入了1 000万元,以后每年投人将比上年减少 20% ; (2)2009年度公司收入了500万元,以后每年收人会比上年增加 25% . 按此计算,公司将于__________年即可收回全部投入. 8.对正整数 n ,用 S ? n ? 表示 n 的各位数码之和,用 ? ? n ? 表示小于 n 且与 n 互质的正整数个数.若 n 为 三位数,且满足 n ? 34S ? n ? ,则 ? ? n ? 的最大值为__________. 二、解答题(共56分) ??? ? ??? ? ??? ? ???? ??? ? ???? 9.(16分)如图1,在三棱锥 O ? ABC 中, OA ? OB ? OC ? 1 , OA ? OB ? OB ? OC ? OA ? OC ? 0 ,

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