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数学奥林匹克高中训练题129

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数学奥林匹克高中训练题(129) 中图分类号:G424.79 文献标识码:A 文章编号:1005-6416(2010)05-0040-07 第一试 一、填空题(每小题 8 分,共 64 分) 1.设 f ? x ? 是定义在 ? ?? , 0? ? ? 0 , ? ? ? 上的奇函数,当 x ? 0 时, xf ' ? x ? ? 0 且 f ?1? ? 0 .则不等式 xf ? x ? ? 0 的解集是___________. x2 y 2 ? ? 1 上一点.则 3? x ? 9 y 的最小值等于__________. 8 2 3.如果一个四面体的六条棱长均等于 2 的方幂,则在该四面体中,各棱的长度至多有__________个取 值. 2.已知 P ? x ,y ? 是椭圆 sin9 x cos9 x 的值域是__________. ? sin x cos x 5.平面上有相异的 11 个点,每两点连成一条直线,共得 48 条不同的直线.则这 11 个点可构成不同 的三角形的个数是__________. 4.函数 y' ? 6.若 2 n ? 1 、 20n ? 1? n ? N+ ? 是同一个正整数的方幂,则 n 的所有可能值是__________. ??? ? 7.在 Rt △ ABC 中, ?C ? 90? ,AB ? c .沿向量 AB 的方向,点 M 1 , M 2 ,?石成金, M n?1 将线段 AB B ? M n .则 lim 分成了 n 等分.设 A ? M 0 , ? ????? ????? ????? ? ??????? ??? ? 1 ??? CA ? CM1 ? CM1 ? CM 2 ? ? CM n?1 ? CB ? ___________. n??? n ? ? ? π? 3? ? ? 8.平面区域 S ? ?? x ,y ? x、y ? ?0 , ? , sin 2 x ? sin x ? sin y ? sin 2 y ≤ ? 的面积等于__________. 2? 4? ? ? ? 二、解答题(共 56 分) 9. (16 分)已知数列 ?xn ? 满足 x1 ? a ? a ? 0? ,且对所有正整数 n 有,使得 xn ? 2 010 ! . 10. (20 分)设 a 、 b 、 c 、 d 为实数,称 ? ? 为 2? 2 数表,并将 a 、 b 、 c 、 d 称为数表中的元素.如 ab cd 果 a ? b 、c ? d 、 a ? c 、b ? d 各不相同,则称该 2 ? 2 数表为“好数表” .若将每个元素都等于 ?1 、0 或 1 的数表所组成的集全记为 M ,自 M 中任取一个数表,求其为好数表的概率. 11. (20 分)离心率 e ? 2 的椭圆 E 的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上.过点 C ? ?1 , 0 ? 的斜率为 3 ??? ? ??? ? K ? k ? R ? 的直线 l 与椭圆交于点 A 、 B ,且满足 BA ? ? ? ? 1? BC ? ? ≥ 3? . (1)固定 ? ,当 △OAB 的面积取得最大值时,求椭圆 E 的方程; (2)若 ? 变化,且 ? ? k 2 ? 1 ,试问:实数 ? 和 k 分别为何值时,椭圆 E 的长轴长取得最大值?并求出 此时椭圆的方程. 加试 一、 (40 分)如图 1, △ ABC 的三条垂线 AD 、 BE 、 CF 交于点 H ,P 是 △ ABC 内的任意一点.求证: △ APD 、

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