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2.3 向量的坐标表示和空间向量基本定理2 课件 (北师大选修2-1)

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理解 教材新知 第 二 章 § 3 3.3 考点一 把握 热点考向 考点二 考点三 应用创新演练 3. 3 空间向量运算的坐标表示 2012 年 3 月,济青高速临沂段发生交通事故,一辆中型车严 重变形,驾驶员被困车内,消防官兵紧急破拆施救.为防止救援 造成的二次伤害,现从 3 个方向用力拉动驾驶室门,这 3 个力两 两垂直,其大小分别为|F1|=300 N,|F2|=200 N,|F3|=200 3 N. 问题 1:若以 F1、F2、F3 的方向分别为 x 轴、y 轴、z 轴的 正半轴建立空间直角坐标系,驾驶室门受到的力的坐标是什么? 提示:(300,200,200 3). 问题2:驾驶室门受到的合力有多大? 提示:|F|=500 N. 空间向量的坐标运算: 若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2)则: (x1+x2,y1+y2,z1+z2) (1)a+b= ; (x1-x2,y1-y2,z1-z2) (2)a-b= ; (3)λa= (λx1,λy1,λz1) ; (4)a· b= x1x2+y1y2+z1z2 ; (5)a∥b?a=λb? x1=λx2 , y1=λy2 , z1=λz2 (λ∈R); (6)a⊥b?a· b=0? x1x2+y1y2+z1z2=0 ; 2 2 (7)|a|= a· a= x1 +y1 +z2 1 ; a· b (8)cos〈a,b〉= = |a||b| x1x2+y1y2+z1z2 2 2 2 2 2 ; x2 + y + z x + y + z 1 1 1 2 2 2 (9)若 A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB =(x2-x1,y2-y1,z2-z1). 1.空间向量的加、减、数乘的坐标运算仍是坐 标,数量积的运算是实数. 2.利用空间向量的坐标可以解决向量的模、夹 角、向量的平行与垂直等问题. [例1] 已知a=(3,5,-4),b=(2,2,8),求2a+3b,3a-2b, a· b. [思路点拨] 空间向量的加、减、数乘运算与平面向量的 加、减、数乘运算方法类似,向量的数量积等于它们对应坐标 乘积的和. [精解详析] 2a+3b=(6,10,-8)+(6,6,24)=(12,16,16), 3a-2b=(9,15,-12)-(4,4,16)=(5,11,-28), a· b=3×2+5×2-4×8=-16. [一点通] 空间向量的坐标运算和平面向量的坐标运 算类似,两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、 纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算;空间两个向 量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和. 1.已知a=(1,0,-1),b=(1,-2,2),c=(-2,3,-1), 那么向量a-b+2c等于 A.(0,1,2) C.(-4,8,-5) ( B.(4,-5,5) D.(2,-5,4) ) 解析:a-b+2c=(1-1-2×2,0+2+6,-1-2-2)= (-4,8,-5). 答案:C 2.已知 A,B,C 三点的坐标分别为(2,-1,2),(4,5,-1), 1 (-2,2,3),求 P 点坐标,使(1) OP = ( AB - AC ); 2 1 (2) AP = ( AB - AC ). 2 解: AB =(2,6,-3),=(-4,3,1). ? ? ? ? 3 3 1 (1) OP = (6,3,-4)=?3,2,-2?,则 P 点坐标为?3,2,-2?; 2 ?

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