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【创新设计】高考数学第一轮复习 2-3 函数的奇偶性与周期性题组训练 理(含14年优选题,解析)新人教A版

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第3讲

函数的奇偶性与周期性

基础巩固题组

(建议用时:40 分钟) 一、选择题 1.(2013· 广东卷)定义域为 R 的四个函数 y=x3,y=2x,y=x2+1,y=2sin x 中,奇函数的 个数是 A.4 C.2 B.3 D.1 ( ).

解析 由奇函数的概念可知 y=x3,y=2sin x 是奇函数. 答案 C sin x 2.(2013· 温州二模)若函数 f(x)= 是奇函数,则 a 的值为 ?x+a?2 A.0 C.2 解析 由 f(-1)=-f(1),得 B.1 D.4 sin?-1? -sin 1 = , ?-1+a?2 ?1+a?2 ( ).

∴(-1+a)2=(1+a)2 解得 a=0. 答案 A 1 3.(2014· 哈尔滨三中模拟)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线 x= 对 3 2? 称,则 f? ?-3?= A.0 C.-1 B.1 D.2 ( ).

2? 1 ?2? 解析 由 f(x)是奇函数可知,f(0)=0,f? ?-3?=-f?3?.又 y=f(x)的图象关于 x=3对称,所 2? ? 2? 以 f(0)=f? ?3?,因此 f?-3?=0. 答案 A 4.(2014· 湛江一测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,对任意 x∈R,都有 f(x+4)=f(x),若 f(-2)=2,则 f(2 014)等于 A.2 012 C.2 013 ( B.2 D.-2 ).

解析 ∵f(x+4)=f(x),∴f(x)的周期为 4, ∴f(2 014)=f(2),又 f(x)为奇函数,∴f(2)=-f(-2)=-2,即 f(2 014)=-2. 答案 D 5.函数 f(x)是周期为 4 的偶函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式 xf(x)>0 在[-1,3]上 的解集为 A.(1,3) C.(-1,0)∪(1,3) 解析 f(x)的图象如图. B.(-1,1) D.(-1,0)∪(0,1) ( ).

当 x∈(-1,0)时,由 xf(x)>0,得 x∈(-1,0); 当 x∈(0,1)时,由 xf(x)>0,得 x∈?; 当 x∈(1,3)时,由 xf(x)>0,得 x∈(1,3). ∴x∈(-1,0)∪(1,3),故选 C. 答案 C 二、填空题 6.(2014· 温岭中学模拟)f(x)为奇函数,当 x<0 时,f(x)=log2(1-x),则 f(3)=________. 解析 f(3)=-f(-3)=-log24=-2.

答案 -2 7.(2013· 青岛二模)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且满足 f(x+2)=f(x)对任意 x∈R 5? 成立,当 x∈(-1,0)时 f(x)=2x,则 f? ?2?=________. 5? ?1? ? 1? 解析 因为 f(x+2)=f(x),故 f? ?2?=f?2?=-f?-2?=1. 答案 1 8.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),则实数 m 的 取值范围是________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴f(-x)=f(x)=f(|x|). ∴不等式 f(1-m)<f(m)?f(|1-m|)<f(|m|). 又当 x∈[0,2]时,f(x)是减函数.

|1-m|>|m|, ? ? ∴?-2≤1-m≤2, ? ?-2≤m≤2, 1? 答案 ? ?-1,2? 三、解答题

1 解得-1≤m< . 2

9.f(x)为 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=-2x2+3x+1,求 f(x)的解析式. 解 当 x<0 时, -x>0,则 f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于 f(x)是奇函数,故 f(x)=-f(-x), 所以当 x<0 时,f(x)=2x2+3x-1. 因为 f(x)为 R 上的奇函数,故 f(0)=0. -2x +3x+1,x>0, ? ? 综上可得 f(x)的解析式为 f(x)=?0,x=0, ? ?2x2+3x-1,x<0. 10.设 f(x)是定义域为 R 的周期函数,最小正周期为 2,且 f(1+x)=f(1-x),当-1≤x≤0 时,f(x)=-x. (1)判定 f(x)的奇偶性; (2)试求出函数 f(x)在区间[-1,2]上的表达式. 解 (1)∵f(1+x)=f(1-x), ∴f(-x)=f(2+x). 又 f(x+2)=f(x), ∴f(-x)=f(x), ∴f(x)是偶函数. (2)当 x∈[0,1]时,-x∈[-1,0], 则 f(x)=f(-x)=x; 进而当 1≤x≤2 时,-1≤x-2≤0, f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2. -x,x∈[-1,0?, ? ? 故 f(x)=?x,x∈[0,1?, ? ?-x+2,x∈[1,2]. 能力提升题组 (建议用时:25 分钟) 一、选择题
2

1.(2013· 昆明模拟)已知偶函数 f(x)对?x∈R 都有 f(x-2)=-f(x),且当 x∈[-1,0]时 f(x)= 2x,则 f(2 013)= A.1 1 C. 2 B.-1 1 D.- 2 ( ).

解析 由 f(x-2)=-f(x)得 f(x-4)=f(x),所以函数的周期是 4,故 f(2 013)=f(4×503+ 1 - 1)=f(1)=f(-1)=2 1= . 2 答案 C 2.(2014· 郑州模拟)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 1<x1<x2 时,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0 恒 1 - ?,b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( 成立,设 a=f? ? 2? A.b<a<c C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c ).

解析 ∵f(x+1)是偶函数,∴f(x+1)=f(-x+1), ∴y=f(x)关于 x=1 对称.又 1<x1<x2, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0, 1? ?5? 5 ?5? 知 y=f(x)在[1,+∞)是增函数,又 f? ?-2?=f?2?,且 2<2<3,∴f(2)<f?2?<f(3),即 b <a<c.故选 A. 答案 A 二、填空题 3.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且对任意的 x∈R 恒有 f(x+1)=f(x-1),已知当 x∈ 1?1-x [0,1]时,f(x)=? ?2? ,则: ①2 是函数 f(x)的周期; ②函数 f(x)在(1,2)上递减,在(2,3)上递增; ③函数 f(x)的最大值是 1,最小值是 0; 1?x-3 ④当 x∈(3,4)时,f(x)=? ?2? . 其中所有正确命题的序号是________. 解析 由已知条件:f(x+2)=f(x),则 y=f(x)是以 2 为周期的周期函数,①正确;当- 1≤x≤0 时 0≤-x≤1, 1?1+x f(x)=f(-x)=? ?2? , 函数 y=f(x)的图象如图所示:

当 3<x<4 时,-1<x-4<0, 1?x-3 f(x)=f(x-4)=? ?2? ,因此②④正确,③不正确. 答案 ①②④ 三、解答题 4.已知函数 f(x)在 R 上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 014,2 014]上根的个数,并证明你的结论. 解 (1)若 y=f(x)为偶函数,则 f(-x)=f[2-(x+2)]=f[2+(x+2)]=f(4+x)=f(x), ∴f(7)=f(3)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是偶函数. 若 y=f(x)为奇函数,则 f(0)=-f(0), ∴f(0)=0,这与 f(x)在闭区间[0,7]上只有 f(1)=f(3)=0 矛盾;因此 f(x)不是奇函数. 综上可知:函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
?f?2-x?=f?2+x?, ?f?x?=f?4-x?, ? ? (2)由? ?? ? ?f?7-x?=f?7+x? ?f?x?=f?14-x? ? ?

f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期 T=10. 由 f(3)=f(1)=0,得 f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0. 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 014]上有 404 个解, 在[-2 014,0]上有 402 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 014,2 014]上共有 806 个解.


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