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等比数列第1课时等比数列的概念及通项公式_图文

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第四章 §4.4 等比数列 第1课时 等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例,理解等比数列的概念并学会简单应用. 2.掌握等比中项的概念并会应用. 3.掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程. 内容索引 问题导学 题型探究 达标检测 问题导学 知识点一 等比数列的概念 思考 观察下列4个数列,归纳它们的共同特点. ①1,2,4,8,16,?; 1 1 1 1 ②1,2,4,8,16,?; ③1,1,1,1,?; ④-1,1,-1,1,?. 答案 从第2项起,每项与它的前一项的比是同一个常数. 梳理 等比数列的概念和特点. (1)文字定义:如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的 比 等 于 同一 常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 公比 ,通常用字母q表示(q≠0). an+1 an (2)递推公式形式的定义: =q(n>1)(或 a =q,n∈N*). an-1 n (3)等比数列各项均 不能 为0. 知识点二 等比中项的概念 思考 在2,8之间插入一个数,使之成等比数列.这样的实数有几个? 答案 G 8 设这个数为 G,则 2 =G,G2=16,G=± 4,所以这样的数有 2 个. 梳理 等比中项与等差中项的异同,对比如下表: 对比项 定义 定义式 等差中项 等比中项 若a,A,b成等差数列,则 若a,G,b成 等比 数列, A叫做a与b的等差中项 A-a=b-A a+b A= 2 则G叫做a与b的 等比 中项 G b = a G G=± ab 公式 个数 a与b的等差中项唯一 任意两个数a与b都有等差 a与b的等比中项有 两 个, 且互为_______ 相反数 只有当 ab>0 时,a与b才有 备注 中项 等比中项 知识点三 思考 等比数列的通项公式 等差数列的通项公式是如何推导的?你能类比推导首项为 a1, 公比为q的等比数列的通项公式吗? 梳理 等比数列{an}首项为a1,公比为q,则an=a1qn-1. [思考辨析 判断正误] 1.常数列既是等差数列,又是等比数列.( × ) 2.若a,b,c成等比数列,则a,c的等比中项一定是b.( × ) 3.若an+1=qan,n∈N*,且q≠0,则{an}是等比数列.( × ) 4.任何两个数都有等比中项.( × ) 题型探究 类型一 等比数列的判定 例1 已知f(x)=logmx(m>0且m≠1),设f(a1),f(a2),?,f(an),?是首 项为4,公差为2的等差数列, 求证:数列{an}是等比数列. 证明 反思与感悟 判断一个数列是否为等比数列的方法是利用定义,即 an+1 = q ( 与 n 无关的常数 ). an 1 跟踪训练1 已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn= (an-1)(n∈N*). 3 (1)求a1,a2; 解 1 1 ∵a1=S1=3(a1-1),∴a1=-2. 1 1 又 a1+a2=S2=3(a2-1),∴a2=4. 解答 (2)证明:数列{an}是等比数列. 证明 1 1 ∵Sn=3(an-1),∴Sn+1=3(an+1-1), 1 1 1 两式相减得 an+1=3an+1-3an,即 an+1=-2an, an+1 1 1 又 a1=-2≠0,∴an≠0,∴ a =-2,n∈N*, n 1 1 ∴数列{an}是首项为-2,公比为-2的等比数列. 证明 类型二 等比数列通项公式的应用 命题角度1 等比数列基本量的计算 例2 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项. 解答 反思与感悟 已知等比数列{an}的某两项的值,求该数列的其他项或 求该数列的通项常用方程思想,通过已知可以得到关于 a1和q的两个 方程,从而解出a1和q,再求其他项或通项. 跟踪训练2 在等比数列{an}中: (1)已知a1=3,q=-2,求a6; 解 由等比数列的通项公式得,a6=3×(-2)6-1=-96. 解答 (2)已知a3=20,a6=160,求an. 解 设等比数列的公比为q, 2 ? ? a q ? 1 =20, ?q=2, 那么? 5 解得? ? ? ?a1q =160, ?a1=5. 所以an=a1qn-1=5×2n-1. 解答 命题角度2 等比数列的实际应用 例3 为了治理“沙尘暴”,西部某地区政府经过多年努力,到2014年底, 将当地沙漠绿化了 40%,从2015年开始,每年将出现这种现象:原有沙 漠面积的12%被绿化,即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲),同时原有绿 洲面积的8%又被侵蚀为沙漠,问至少经过几年的绿化,才能使该地区的 绿洲面积超过50%?(可参考数据lg 2=0.3,最后结果精确到整数) 解答 反思与感悟 际含义. 等比数列应用问题,在实际应用问题中较为常见, 解题的关键是弄清楚等比数列模型中的首项a1,项数n所对应的实 跟踪训练3 “猴子分苹果”问题:海滩上有一堆苹果,五只猴子来分, 第一只猴子把苹果分成五等份,多一个,于是它把多的一个扔到海里, 取走一份;第二只猴子把剩下的苹果也分成五等份,多了一个,它把 多的一个扔到海里,取走一份;以后的三只猴子都是如此处理.问原来 至少有多少个苹果?最后至少剩下多少个苹果? 解答 类型三 等比中项 例4 1 A.± 2 解析 a 若 1,a,3 成等差数列,1,b,4 成等比数列,则b的值为 1 B.2 C.1 D.± 1 √ 1+3 ∵1,a,3 成等差数列,∴a= 2 =2, 2 a 2 ∵1,b,4 成等比数列,∴b =1×4,b=± 2,∴b=± 1. 2=± 解析 答案 反思与感悟 (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项. (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项,且一定有2个.

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