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11商院-概率统计期末试卷

时间:2014-01-15


南京大学数学课程试卷
2012/2013 学年 第 一 考试时间 2013.1.9 题号 得分 一 36 学期 考试形式 闭卷 学号 三 12 四 10 五 10 六 12 课程名称 系别 二 10

(商学院 11 级)
概率统计 (A 卷) 姓名 七 10 合计

Φ (1.0)=0.8413, ? (1.28) = 0.90, ? (1.64) = 0.95, ? (1.96) = 0.975, ? (2.33) = 0.99 , ? (2.58)=0.995, t 0.025 (16)=2.12, t 0.025 (17)=2.11, t 0.05 (16)=1.746, t 0.05 (17)=1.740 一. (6 分×6=36 分) 1.某产品有 15 件,其中有次品 2 件,现从中任取 3 件,求至少取到 1 件次品的概率.

1 2. 设随机变量 ? ~N(1, 4), ? ~E( ), 且 ? 与? 独立,求 E(5 ? -3? )和 D(5 ? -3? )的值. 3

3.设随机变量 X 和 Y 的 EX=EY=2,DX=1,DY=4, rXY =0.5, 用切比雪夫不等式计算 P( X ? Y ? 6) 至多为多少?

4.设总体 X 与 Y 相互独立,且都服从 N(0 , ? 2 ), 别是来自 X 和 Y 的样本,求统计量 T=

(X 1 , X 2 , X 3 )和 (Y 1 , Y 2 , Y 3 , Y 4 )分 的分布(如有自由度,须给出) .
2

?X
i ?1

3

2 i

? (Y
i ?1

4

i

?Y )

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5.若总体 ? ~N( ? , 0.9 2 ), 取自总体的容量为 9 的样本均值 x =5,求未知参数 ? 的 置信度为 0.95 的置信区间.

?e ? ( x ?? ) , 6.已知总体 X 的概率密度函数为 f(x, ? ) = ? ?0 ,
X 1 ,X 2 , … X n 为样本,求 ? 的极大似然估计量.

x ?? x ??

,

? 为未知参数,

二. (10 分)设事件 A 在一次试验中发生的概率为

1 . 如果做了四次伯努利独立试验,事件 A 4 均未发生,则事件 B 也不发生; 如果四次伯努利试验中事件 A 发生一次,则事件 B 发生的 2 概率为 ; 而四次试验中若事件 A 发生两次及两次以上,则事件 B 一定发生. 试求: 3 (1)P(B) ; (2)若已知事件 B 已经发生, 问四次试验中事件 A 至少发生两次及两次以上 的概率.

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?2 ? x ? y , 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 三.(12 分)设( ? , ? )~p(x, y)= ? , 其它 ? 0, p? ( x) 和 p? ( y ) ; (2) ? 与 ? 的相关系数 r?? .

试求:(1) 边际密度

四.(10 分)设某种电子元件的使用寿命(单位:小时)服从参数为 λ =0.1 的指数分布, 其使用情况是第一个损坏第二个立即使用,第二个损坏第三个立即使用等等.已知每 元件的价格为 10 元,那么在一年中至少需要多少元才能以 95%的概率保证该元件 够用(假设一年有 306 个工作日,每个工作日为 8 小时) .

五.(10 分)设 X 1 ,X 2 , … 统计量 T=

X n 为取自总体 X 的样本, E(X)= ? , D(X)= ? 2 , 试问

n 2 . ? iX i 是 ? 的无偏和一致估计量吗?(须说明理由) n(n ? 1) i ?1

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六.(12 分)设有两总体 X~N( ? 1 , ? 2 ),Y~N( ? 2 , ? 2 ), 且相互独立,X 1 , X 2 , …, X n 1 与 Y 1 , Y 2 , …,Y n 2
2 2

1 n1 ( X i ? X )2 和 是取自 X, Y 的样本,设 S = ? n 1 ? 1 i ?1
2 1

1 n2 2 (Yi ? Y ) 2 , (1)试证对任意常数 a 和 b , a+b=1, 有 T=aS 12 +bS 2 S = ? 2 均是 ? n 2 ? 1 i ?1
的无偏估计; (2)试确定常数 a 和 b, 使方差 D(T)达到最小.

七.(10 分)已知某种罐头中维生素 C(Vc)的含量 X 服从正态分布,按照规定 Vc 的平均含 量不得少于 21 毫克,现从一批罐头中取了 17 罐,算得 Vc 含量平均值 x =19,样本标准差 S=
1 17 ( xi ? x ) 2 =3.98, (1)问该批罐头 Vc 的含量是否合格? ( ? =0.05)(2)求 ? =EX 的 ? 16 i ?1

置信度为 95%的置信区间.

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