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(新编资料)2013-2014学年高中数学 1.1.1《算法的概念》导学案 新人教A版必修3

时间:2013-11-01


1.1.1 《算法的概念》
【学习目标】 1.了解算法的含义,体会算法的思想。 2.能够用自然语言叙述算法。 3.掌握正确的算法应满足的要求。 【重点难点】 教学重点:算法的含义、解二元一次方程组和判断一个数为质数的算法设计。 教学难点:把自然语言转化为算法语言。 【知识链接】 1.情境导入: 算法作为一个名词,在中学教科书中并没有出现过,我们在基础教育阶段还没有接触算法概念。但 是我们却从小学就开始接触算法,熟悉许多问题的算法。如,做四则运算要先乘除后加减,从里往 外脱括弧,竖式笔算等都是算法,至于乘法口诀、珠算口诀更是算法的具体体现。我们知道解一元 二次方程的算法,求解一元一次不等式、一元二次不等式的算法,解线性方程组的算法,求两个数 的最大公因数的算法等。因此,算法其实是重要的数学对象。 2.探索研究 算法(algorithm)一词源于算术(algorism),即算术方法,是指一个由已知推求未知的运算过程。 后来,人们把它推广到一般,把进行某一工作的方法和步骤称为算法。 广义地说,算法就是做某一件事的步骤或程序。菜谱是做菜肴的算法,洗衣机的使用说明书是操作 洗衣机的算法,歌谱是一首歌曲的算法。在数学中,主要研究计算机能实现的算法,即按照某种机 械程序步骤一定可以得到结果的解决问题的程序。 比如解方程的算法、函数求值的算法、作图的算 法,等等。 【学习过程】 例 1. 任意给定一个大于 1 的整数 n,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数 做出判定。 解析:根据质数的定义判断 解:算法如下: 第一步:判断 n 是否等于 2,若 n=2,则 n 是质数;若 n>2,则执行第二步。 第二步:依次从 2 至(n-1)检验是不是 n 的因数,即整除 n 的数,若有这样的数,则 n 不是质数; 若没有这样的数,则 n 是质数。 这是判断一个大于 1 的整数 n 是否为质数的最基本算法。 点评:通过例 1 明确算法具有两个主要特点:有限性和确定性。 变式训练 1:一个人带三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可 以容纳一个人和两只动物.没 有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼就会吃掉羚羊.请设计过河的算法。 解:算法或步骤如下: S1 人带两只狼过河; S2 人自己返回; S3 人带一只羚羊过河; S4 人带两只狼返回; S5 人带两只羚羊过河; S6 人自己返回; S7 人带两只狼过河; S8 人自己返回; S9 人带一只狼过河.

1

例 2 给出求解方程组 ?

?2 x ? y ? 7 的一个算法. ?4 x ? 5 y ? 11

解析:解线性方程组的常用方法是加减消元法和代入消元法,这两种方法没有本质的差别,为了适 用于解一般的线性方程组,以便于在计算机上实现,我们用高斯消元法(即先将方程组化为一个三 角形方程组,在通过回代过程求出方程组的解)解线性方程组. 解:用消元法解这个方程组,步骤是: 第一步:方程①不动,将方程②中 x 的系数除以方程①中 x 的系数,得到乘数 m ? 第二步:方程②减去 m 乘以方程①,消去方程②中的 x 项,得到

4 ? 2; 2

?2 x ? y ? 7 ; ? ? 3 y ? ?3
第三步:将上面的方程组自下而上回代求解,得到 y ? ?1 , x ? 4 .

所以原方程组的解为 ?

?x ? 4 . ? y ? ?1

点评:通过例 2 再次明确算法特点:有限性和确定性 变式训练 2:写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。 解:算法:第一步:取 x1=-2,y1=-1,x2=2,y2=3; 第二步:计算

y ? y1 x ? x1 ; ? y2 ? y1 x2 ? x1

第三步:在第二步结果中令 x=0 得到 y 的值 m,得直线与 y 轴交点(0,m); 第四步:在第二步结果中令 y=0 得到 x 的值 n,得直线与 x 轴交点(n,0); 第五步:计算 S=

1 | m | ? | n |; 2

第六步:输出运算结果 2 例 3 用二分法设计一个求解方程 x –2=0 的近似根的算法。 算法分析:回顾二分法解方程的过程,并 假设所求近似根与准确解的差的绝对值不超过 0.005,则 不难设计出以下步骤: 2 第一步:令 f(x)=x –2。因为 f(1)<0,f(2)>0,所以设 x1=1,x2=2。 第二步:令 m=(x1+ x2)/2, 判断 f(m)是否为 0,若则,则 m 为所长;若否,则继续判断 f(x1)·f(m) 大于 0 还是小于 0。 第三步:若 f(x1)·f(m)>0,则令 x1=m;否则,令 x2=m。 第四步:判断|x1–x2|<0.00 5 是否成立?若是,则 x1、x2 之间的任意取值均为满足条件的近似根; 若否,则返回第二 点评:渗透循环的思想,为后面教学做铺垫。 变式训练 3 给出求 1+2+3+4+5 的一个算法. 解: 算法 1 按照逐一相加的程序进行. 第一步:计算 1+2,得到 3; 第二步:将第一步中的运算结果 3 与 3 相加,得到 6; 第三步:将第二步中的运算结果 6 与 4 相加,得到 10; 第四步:将第三步中的运算结果 10 与 5 相加,得到 15.

2

算法 2 运用公式 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 第一步:取 n =5; 第二步:计算

n(n ? 1) 直接计算. 2

n(n ? 1) ; 2

第三步:输出运算结果. 算法 3 用循环方法求和. 第一步:使 S ? 1 , ; 第二步:使 I ? 2 ; 第三步:使 S ? S ? I ; 第四步:使 I ? I ? 1 ; 第五步:如果 I ? 5 ,则返回第三步,否则输出 S . 点评:一个问题的算法可能不唯一. 【学习反思】 1.算法的概念:对一类问题的机械的、统一的求解方法.算法是由基本运算及规定的运算顺序所构 成的完整的解题步骤,或者是按照要求设计好的有限的计算序列,并且这样的步骤或序列能解决一 类问题. 2.算法的重要特征: (1)有限性:一个算法在执行有限步后必须结束; (2)确定性:算法的每一个步骤和次序必须是确定的; (3)输入:一个算法有 0 个或多个输入,以刻划运算对象的初始条件.所谓 0 个输入是指算法本 身定出了初始条件. (4)输出:一个算法有 1 个或多个输出,以反映对输入数据加工后的结果.没有输出的 算法是毫无意义的. 5.课后作业

1 1 1 的一个算法 ? ??? 2 3 100 解:第一步:使 S ? 1 , ; 第二步:使 I ? 2 ; 1 第三步:使 n ? ; I 第四步:使 S ? S ? n ; 第五步:使 I ? I ? 1 ; 第六步:如果 I ? 100 ,则返回第三步,否则输出 S .
写出求 1 ?

3

导学案 【学法指导】 一、预习目标:了解算法的含义,体会算法的思想。 二、预习内容: 1.算法的概念及其特点 2.判断一个数为质数的算法设计 三、提出疑惑:如何快速准确的写出一个问题的算法? 【学习目标】 1.了解算法的含义,体会算法的思想; 2.能够用自然语言叙述算法; 3.知道算法应满足的要求。 【重点难点】 算法的含义、判断一个数为质数的算法设计。 学习难点:把自然语言转化为算法语言。 【学习过程】 (一) 、自主学习: 1.算法的概念 2.算法的重要特征: (二) 、例题分析: 例 1. 任意给定一个大于 1 的整数 n,试设计一个程序或步骤对 n 是否为质数做出判定

变式训练 1:一个人带三只狼和三只羚羊过河,只有一条船,同船可以容纳一个人和两只动物.没 有人在的时候,如果狼的数量不少于羚羊的数量,狼 就会吃掉羚羊.请设计过河的算法。

例 2 给出求解方程组 ?

?2 x ? y ? 7 的一个算法. ?4 x ? 5 y ? 11

变式训练 2:写出求过两点 M(-2,-1)、N(2,3)的直线与坐标轴围成面积的一个算法。

例 3 用二分法设计一个求解方程 x –2=0 的近似根的算法。
4

2

变式训练 3 给出求 1+2+3+4+5 的一个算法

【学习反思】 (1)算法 的概念 (2)算法的重要特征 (四)【基础达标】 、 :

1 1 1 的一个算法 ? ??? 2 3 100 解:第一步:使 S ? 1 , ; 第二步:使 I ? 2 ; 1 第三步:使 n ? ; I 第四步:使 S ? S ? n ; 第五步:使 I ? I ? 1 ; 第六步:如果 I ? 100 ,则返回 第三步,否则输出 S .
写出求 1 ? 【基础达标】 1. 下列关于算法的说法中,正确的是( ) A. 算法就是某个问题的解题过程 B. 算法执行后可以不产生确定的结果 C. 解决某类问题的算法不是惟一的 D. 算法可以无限地操作下去不停止 2.有一堆形状大小相同的珠子,其中只有一粒质量比其他的轻,某同学利用科学的算法,两次利用 天平找出这粒最轻的珠子,则这堆珠子最多有多少粒( ) A. 4 B.5 C.7 D.9 3 下列各式中的 S 值不可以用算法求解的是( ) A.S=1+2+3+4 B.S=1+2+3+4+…. C.S= 1 ?

1 1 1 ? ??? 2 3 100

D.S=1+2+3+4+…+100 4.已知一个学生的语文成绩为 89, 数学成绩为 96, 外语成绩为 99。 求它的总分和平均分的一个算 法 为: 第一步:取 A=89,B=99; 第二步: 第三步: 第四步:输出计算结果。 5.写出解方程 2x+3=0 的算法。 第一步: 第二步: 第三步:
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6. 给出一个判断点 P (x 0 , y 0 ) 是否在直线 y=x-1 上的一个算法。

【参考答案】

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