nbhkdz.com冰点文库

第10章 学案56

时间:2013-06-14


学案 56

线性回归方程

导学目标: 1.会作两个有关联变量的数据的散点图,会利用散点图认识变量间的相关 关系.2.了解最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程.

自主梳理 1.相关关系:两个变量之间的关系可能是________关系(如:函数关系),或__________ 关系.当自变量取值一定时,因变量也确定,则为确定性关系;当自变量取值一定时,因变 量带有随机性,这种变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系. 2.散点图:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组 数据的图形,这样的图形叫做散点图. 3.回归直线 (1)定义:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,我们就称这两个变 量之间具有________________,这条直线叫做回归直线. (2)最小二乘法:通过求 Q=∑ (yi-bxi-a)2 的最小值而得出回归直线的方法,即求回 =
i 1 n

归直线,使得样本数据的点到它的距离的平方和______,这一方法叫做最小二乘法. (3)线性回归方程
^

方程y =bx+a 是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1,y1),(x2,y2),?,(xn, yn)的线性回归方程,其中 a,b 是待定参数. 错误!. 自我检测 1.下列有关线性回归的说法,正确的序号是________. ①相关关系的两个变量不一定是因果关系; ②散点图能直观地反映数据的相关程度; ③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系; ④任一组数据都有线性回归方程. 2.下列关系: ①人的年龄与其拥有的财富之间的关系; ②曲线上的点与该点的坐标之间的关系; ③苹 果的产量与气候之间的关系;④森林中的同一树木,其截面直径与高度之间的关系;⑤学生 的身高与其学号之间的关系,其中有相关关系的是________(填序号). 3.(2010· 银川模拟)下表是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据: 月份 x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5
^

由散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是y = -0.7x+a,则 a=________. 4.如图所示,有 5 组(x,y)数据,去掉________组数据后,剩下的 4 组数据的线性相 关性最大.

5.(2010· 金陵中学三模)已知三点(3,10),(7,20),(11,24)的横坐标 x 与纵坐标 y 具有线性 关系,则其线性回归方程是________________.

探究点一 利用散点图判断两个变量的相关性 例 1 有一位同学家开了一个小卖部,他为了研究气温对热饮销售的影响,经过统计, 得到一个卖出热饮杯数与当天气温的对比表: 温度 0 4 7 12 -5 (℃) 热饮 156 150 132 128 130 杯数 画出散点图并判断它们是否有相关关系. 15 116 19 104 23 89 27 93 31 76 36 54

变式迁移 1 某班 5 个学生的数学和物理成绩如表: 学生 A B 学科 80 75 数学 70 66 物理 画出散点图,并判断它们是否有相关关系? C 70 68 D 65 64 E 60 62

探究点二 求线性回归方程 例 2 假设关于某设备的使用年限 x 和所支出的维修费用 y(万元)有以下统计资料: 使用年限 x 维修费用 y 2 2.2 3 3.8 4 5.5 5 6.5
^

6 7.0

若由资料知 y 对 x 呈线性相关关系.试求线性回归方程y =bx+a.

变式迁移 2 已知变量 x 与变量 y 有下列对应数据:且 y 对 x 呈线性相关关系,求 y 对 x 的线性回归方程. x 1 2 3 4 1 3 y 2 3 2 2

探究点三 利用线性回归方程对总体进行估计 例 3 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量 x(吨)与相应 的生产能耗 y(吨标准煤)的几组对照数据. x y (1)请画出上表数据的散点图; 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5
^

(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a; (3)已知该厂技改前 100 吨甲产品的生产能耗为 90 吨标准煤. 试根据(2)求出的线性回归 方程,预测生产 100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤? (参考数值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)

变式迁移 3 (2010· 盐城期末)某单位为了了解用电量 y 度与气温 x℃之间的关系,随机 统计了某 4 天的用电量与当天气温,并制作了对照表: 气温(℃) 用电量(度)
^

18 24

13 34

10 38

-1 64

由表中数据得线性回归方程y =bx+a 中 b=-2,预测当气温为-4℃时,用电量的度 数约为________.

1.相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定性关系.而相关关 系是一种非确定性关系, 即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系. 函数关系是一种 因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系. 2.线性回归方程:设 x 与 y 是具有相关关系的两个变量,且相应于 n 个观测值的 n 个
^

点大致分布在某一条直线的附近,就可以认为 y 对 x 的线性回归函数的类型为直线型:y = 1n 1n bx+a.我们称这个方程为 y 对 x 的线性回归方程.其中 x = ∑xi, y = ∑yi. ni=1 ni=1 3.线性回归方程只适用于我们所研究的样本的总体,而且一般都有时间性.样本的取 值范围一般不能超过线性回归方程的适用范围,否则没有实用价值.

(满分:90 分) 一、填空题(每小题 6 分,共 48 分) 1.命题:①路程与时间、速度的关系是相关关系;②同一物体的加速度与作用力是函 数关系; ③产品的成本与产量之间的关系是函数关系; ④圆的周长与面积的关系是相关关系; ⑤广告费用与销售量之间的关系是相关关系. 其中正确的命题序号是________.

2.(2011· 陕西改编)设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的是 ________.(填序号) ①x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率; ②x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间; ③当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同; ④直线 l 过点( x , y ).
^

3.已知一组观测值具有线性相关关系,若对于y =bx+a,求得 b=0.51, x =61.75, y =38.14,则线性回归方程为__________________.
^

4.某地区近几年居民的年收入 x 与支出 y 之间的关系,大致符合y =0.8x+0.1(单位: 亿元).预计今年该地区居民收入为 15 亿元,则年支出估计是________亿元. 5.根据两个变量 x,y 之间的观测数据画成散点图如图,则这两个变量________线性相 关关系(填“具有”或“不具有”).

^

6. 若施化肥量 x 与水稻产量 y 的线性回归方程为y =5x+250, 当施化肥量为 80 kg 时, 预计水稻产量为________kg.
^

7. 已知线性回归方程y =4.4x+838.19, 则可估计 x 与 y 的增长速度之比约为________. 8.(2010· 青岛模拟)为了考察两个变量 x 和 y 之间的线性相关性,甲、乙两位同学各自 独立做了 10 次和 15 次试验,并且利用线性回归方法,求得回归直线分别为 l1、l2,已知两 人所得的试验数据中,变量 x 和 y 的数据的平均值都相等,且分别是 s、t,那么下列说法中 正确的是________(填上正确的序号). ①直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t); ②直线 l1 和 l2 相交,但交点不一定是(s,t); ③必有 l1∥l2; ④l1 与 l2 必定重合. 二、解答题(共 42 分) 9.(14 分)(2010· 威海模拟)某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,

为此做了四次试验,得到的数据如下: 2 零件的个数 x(个) 2.5 加工的时间 y(小时) (1)在给定的坐标系中画出表中数据的散点图; 3 3 4 4 5 4.5

^

(2)求出 y 关于 x 的线性回归方程y =bx+a,并在坐标系中画出回归直线; (3)试预测加工 10 个零件需要多少时间?
n

(注:b=

i 1

∑xiyi-n x =
i 1

y
2

∑x2-n x i =

n

,a= y -b x )

10.(14 分)(2010· 潍坊模拟)某种产品的宣传费支出 x 与销售额 y(单位:万元)之间有如 下对应数据: x y 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

(1)画出散点图; (2)求线性回归方程; (3)试预测宣传费支出为 10 万元时,销售额多大?

11.(14 分)某企业上半年产品产量与单位成本资料如下: 月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程; (2)指出产量每增加 1 000 件时,单位成本平均变动多少? (3)假定产量为 6 000 件时,单位成本为多少元?

学案 56
自主梳理 1.确定性
n i=1

线性回归方程 答案
∑ ?xi- x ??yi- y ? =
i 1 n

非确定性

3.(1) 线 性 相 关 关 系

(2) 最 小

(3)

i 1

∑ ?xi- x ?2 =

n

∑xiyi-n x
i 1

y
2

∑x2-n x i =

n

y -b x

自我检测 1.①②③ 解析 根据两个变量相关关系的概念, 可知①正确, 散点图能直观地描述呈相关关系的 两个变量的相关程度,且回归直线最能代表它们之间的相关关系,所以②、③正确.只有线 性相关的数据才有线性回归直线方程,所以④不正确. 2.①③④ 3.5.25 解析 x =2.5, y =3.5,∵线性回归方程过定点( x , y ), ∴3.5=-0.7×2.5+a.∴a=5.25. 4.D 解析 因为 A、B、C、E 四点分布在一条直线附近且贴近某一直线,D 点离得远. ^ 7 23 5.y = x+ 4 4 解析 ∵∑xiyi=434, x =7, y =18,∑x2=179, i = =
i 1 i 1 3 3

3

∴b=

i 1

∑xiyi-3 x = ∑x2-3 i i=1
3

y x
2

7 = . 4

a= y -b x 7 23 =18- ×7= , 4 4
^ 7 23 ∴线性回归方程为y = x+ . 4 4 课堂活动区 例 1 解题导引 判断变量间是否线性相关,一种常用的简便可行的方法就是作散点 图. 解 (1)以 x 轴表示温度,以 y 轴表示热饮杯数,可作散点图,如图所示.

(2)从图中可以看出,各点散布在从左上角到右下角的区域里,因此,气温与热饮销售 杯数之间是负相关关系,即气温越高,卖出去的热饮杯数越少. 从散点图可以看出,这些点大致分布在一条直线附近,所以两变量之间具有相关关系. 变式迁移 1 解 以 x 轴表示数学成绩,y 轴表示物理成绩,可得相应的散点图如下图 所示:

由散点图可见,两者之间具有相关关系. 例 2 解题导引 求线性回归方程,关键在于正确求出系数 a,b,由于计算量较大, 所以计算时要仔细谨慎,分层进行,避免因计算产生失误,特别注意,只有在散点图大体呈 线性时,求出的线性回归方程才有意义. 解 制表如下: i xi yi xiyi x2 i 1 2 2.2 4.4 4
5 i 1

2 3 3.8 11.4 9

3 4 5.5 22.0 16
5 i 1

4 5 6.5 32.5 25

5 6 7.0 42.0 36

合计 20 25 112.3 90

x =4; y =5; ∑x2i=90;∑xiyi=112.3 = =

112.3-5×4×5 12.3 于是有 b= = =1.23; 10 90-5×42 a= y -b x =5-1.23×4=0.08.

^

∴线性回归方程为y =1.23x+0.08. 1+2+3+4 5 变式迁移 2 解 x = = , 4 2 1 3 + +2+3 2 2 7 n y= = ,∑x2=12+22+32+42=30, 4 4 i=1 i n 1 3 43 ∑xiyi=1× +2× +3×2+4×3= , 2 2 2 i=1 n 43 5 7 -4× × ∑xiyi-n x y 2 2 4 i=1 ∴b= n = =0.8, 25 ∑x2-n x 2 30-4× i i=1 4 7 5 a= y -b x = -0.8× =-0.25, 4 2
^

∴y =0.8x-0.25. 例 3 解题导引 利用线性回归方程可以进行预测,线性回归方程将部分观测值所反 映的规律进行延伸, 是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制, 依据自变量的取 值估计和预报因变量值的基础和依据,有广泛的应用. 解 (1)散点图:

3+4+5+6 2.5+3+4+4.5 (2) x = =4.5, y = =3.5, 4 4
4 i 1 4 i=1

∑xiyi=3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5. = ∑x2=32+42+52+62=86, i
4 i 1

∴b=

∑xiyi-4 x =
i=1

y
2

∑x2-4 x i

4



66.5-4×4.5×3.5 =0.7, 86-4×4.52
^

a= y -b x =3.5-0.7×4.5=0.35. ∴所求的回归方程为y =0.7x+0.35. (3)现在生产 100 吨甲产品用煤
^

y =0.7×100+0.35=70.35, ∴降低 90-70.35=19.65(吨标准煤). 变式迁移 3 68 解析 x =10, y =40, 回归方程过点( x , y ), ∴40=-2×10+a.∴a=60.

^

∴y =-2x+60.
^

令 x=-4,y =(-2)×(-4)+60=68. 课后练习区 1.②⑤ 2.④ 解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值, 它的绝对值越接 近 1,两个变量的线性相关程度越强,所以①②错误.③中 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样 本点的个数可以不相同,所以③错误.根据线性回归方程一定经过样本中心点可知④正确.
^

3.y =0.51x+6.65 解析 a= y -b x =38.14-0.51×61.75≈6.65.
^

∴y =0.51x+6.65. 4.12.1
^

解析 ∵y =0.8x+0.1,
^

∴当 x=15 时,y =0.8×15+0.1=12.1. 5.不具有 6.650
^

解析 将 x=80 代入y =5x+250 中,即可得水稻的产量约为 650 kg. 5 7. 22 1 10 5 解析 x 与 y 的增长速度之比即为回归方程的斜率的倒数 = = . 4.4 44 22 8.①
^

解析 线性回归方程为y =bx+a.而 a= y -b x , 即 a=t-bs,t=bs+a. ∴(s,t)在回归直线上. ∴直线 l1 和 l2 一定有公共点(s,t). 9.解

(1)散点图如图所示.(4 分)
4

(2)由表中数据得∑xiyi=52.5, =
i 1

x =3.5, y =3.5,∑x2=54, i =
^ i 1

4

∴b =0.7.(7 分)
^ ^ ^

∴a = y -b x =1.05. ∴y =0.7x+1.05.回归直线如图中所示.(10 分) (3)将 x=10 代入线性回归方程, 得 y=0.7×10+1.05=8.05(小时), ∴预测加工 10 个零件需要 8.05 小时.(14 分) 10.解 (1)根据表中所列数据可得散点图如图所示:

(4 分) (2)计算得: x =
5 5 i 1 i 1 5

25 250 =5, y = =50, 5 5

∑x2=145,∑xiyi=1 380. i = =
i=1

于是可得 b=

∑xiyi-5 x
i 1

y
2

∑x2-5 x i =

5

1 380-5×5×50 = =6.5, 145-5×52

(7 分)

a= y -b x =50-6.5×5=17.5,
^

因此,所求线性回归方程是y =6.5x+17.5. (10 分) (3)由上面求得的线性回归方程可知,当宣传费支出为 10 万元时,
^

y =6.5×10+17.5=82.5(万元), 即这种产品的销售大约为 82.5 万元.
6 6 i 1

(14 分)

11.解
6

i 1 6 2 ∑xi =79,∑xiyi=1 481, i=1 i=1 6

(1)n=6,∑xi=21,∑yi=426, x =3.5, y =71, = =

b=

i=1

∑xiyi-6 x
i 1

y =
2

∑x2-6 x i =

6

1 481-6×3.5×71 ≈-1.82. 79-6×3.52

(5 分)

a= y -b x =71+1.82×3.5=77.37.
^

∴线性回归方程为y =a+bx=77.37-1.82x. (8 分) (2)因为单位成本平均变动 b=-1.82<0,且产量 x 的计量单位是千件,所以根据回归系 数 b 的意义有: 产量每增加一个单位即 1 000 件时,单位成本平均减少 1.82 元. (12 分) (3)当产量为 6 000 件时,即 x=6,代入线性回归方程:
^

y =77.37-1.82×6=66.45(元). ∴当产量为 6 000 件时,单位成本为 66.45 元. (14 分)


赞助商链接

实用类文本阅读 学案56

· 吐温的七十五岁高龄病死在写作岗位上,与 杰克· 伦敦四十岁壮年吸毒自杀...第十二章 学案56 芳香烃 20页 免费 ©2018 Baidu |由 百度云 提供计算服务...

人教版六年级上册数学导学案(56页)

人教版六年级上册数学导学案(56页)_六年级数学_数学_小学教育_教育专区。人教...1 ×5 10 一、 自学 5 ×1 8 3 ×2 7 自学教科书第 10 ...

...高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案56 随机抽样_...

2016届《步步高》高考数学大一轮总复习(人教新课标文科)配套学案56 随机抽样 - 第十章 概率与统计、统计案例 学案 56 随机抽样 导学目标: 1.理解随机抽样的必要...

第一单元第一课《五十六个民族是一家》新授课学案(答案卷)

第一单元第一课《五十六个民族是一家》新授课学案(答案卷)_五年级其它课程_其它课程_小学教育_教育专区。五六年级民族常识第一单元第一课《五十六个民族是一家...

学案56实现人生的价值_20120501092814140

学案56 实现人生的价值 本课考点:人生价值及其实现:哲学意义上的价值;人的价值的内涵与评价;价值观的 导向作用;作出正确的价值判断和价值选择,必须遵循社会发展规律...

学案56酶的研究与应用

学案56 考纲要求 酶的研究与应用 1.酶在洗涤等方面的应用。2.制备和应用固相...10 20 30 40 50 60 70 80 温度/℃ 8 13 15 25 15 12 11 10 果汁量...

2013年高考数学(理)一轮复习导学案56

2013年高考数学(理)一轮复习导学案56 - 第十章 概率与统计、统计案例 学案 56 随机抽样 导学目标: 1.理解随机抽样的必要性和重要性.2.会用简单随机抽样方法...

学案56 寻觅社会的真谛

学案56 寻觅社会的真谛 - 第十六单元 学案 56 认识社会与价值选择 寻觅社会的真谛 本课考点:社会存在决定社会意识、社会意识的相对独立性;物质资料的生产方式是人...

...第6部分专题15学案56分层训练强化闯关

2017卓越学案高考总复习·历史(人民版)第6部分专题15学案56分层训练强化闯关_政史地_高中教育_教育专区。基础达标训练 夯基础,抓核心,以练促学 1.“欧洲各国辛...

《金版新学案》高考总复习数学(人教B版,理科)课时作业56

《金版新学案》高考总复习数学(人教B版,理科)课时作业56_高考_高中教育_教育专区。课时作业(五十六) 合情推理与演绎推理 A 级 1.已知△ABC 中,∠A=30° ,...