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2013版高中全程复习方略配套课件:8.9直线与圆锥曲线的位置关系(人教A版·数学理)浙江专用

时间:2013-12-01


第九节 直线与圆锥曲线的位置关系

三年7考

高考指数:★★

1.能解决直线与椭圆、抛物线的位置关系等问题.

2.理解数形结合的思想.
3.了解圆锥曲线的简单应用.

1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是高考的重点,常常与平面

向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题;
2.直线与圆锥曲线相交,求其弦长、中点、定点、定值、最值、

面积、对称、存在性问题等是高考的热点;
3.以解答题的形式出现,多属于中、高档题目,重点考查学生 分析问题、解决问题的能力.

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法 判断直线与圆锥曲线的位置关系,通常是将直线方程与圆锥 曲线方程联立,消去一个变量得到关于x(或y)的一元方 程:ax2+bx+c=0(或ay2+by+c=0). (1)当a≠0,可考虑一元二次方程的判别式Δ ,有 相交 ①Δ >0?直线与圆锥曲线______; ? 相切 ②Δ =0?直线与圆锥曲线______; ? 相离 ③Δ <0?直线与圆锥曲线______. ?

(2)当a=0,b≠0时,即得到一个一元一次方程,则直线l与圆锥曲

线E相交,且只有一个交点,
①若E为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是_______; 平行 ②若E为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是 _____________. 平行或重合

【即时应用】
(1)思考:直线与圆锥曲线有一个公共点是直线与圆锥曲线相

切的什么条件?
提示:必要不充分条件.因为当直线与圆锥曲线相切时,直线与 圆锥曲线有一个公共点;当直线与圆锥曲线有一个公共点时,直 线与圆锥曲线不一定相切,如与抛物线对称轴平行(或重合)的 直线与抛物线只有一个公共点,此时直线与抛物线相交;与双曲 线渐近线平行的直线与双曲线只有一个公共点,此时直线与双曲 线相交.

(2)直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点,则m2=______.

【解析】直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1联立,消去y得:
(1+4m2)x2+8mx+3=0. 又因为其Δ=(8m)2-12(1+4m2)=16m2-12=0, 解得:m2= 3 . 答案:
3 4 4

2.圆锥曲线的弦长

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A、B两点,
A(x1,y1),B(x2,y2),则
1 ? k 2 | x1 ? x 2 | |AB|=______________
1 ? k 2 ? ? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 =_____________________
2

1 1 ? 2 ? y1 ? y 2 | | k 1 2 1 ? 2 ? ? y1 ? y 2 ? ? 4y1 y 2 . =______________________ k

=

【即时应用】

(1)抛物线y2=4x被直线y=2x+k截得的弦长为3 5 ,则k值
为____________.
x2 (2)过椭圆 ? y 2 ? 1的左焦点且倾斜角为 π 的直线被椭圆 9 6

所截得的弦长为__________.

【解析】(1)直线方程与抛物线方程联立,消去y得: 4x2-4(1-k)x+k2=0,
k2 . 所以x1+x2=1-k,x1x2= 4

依题意得:3 5 =

1 ? 22 |x1-x2|,

即9=(x1+x2)2-4x1x2=(1-k)2-k2, 解得:k=-4.

x2 (2)设直线与椭圆 ? y 2 ? 1的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2). 9 2 由椭圆方程 x ? y 2 ? 1得: 9

a=3,b=1,所以c=2 2 , 因此,直线方程为:y= 3 (x+2 2 ),与椭圆 x ? y 2 ? 1联立, 9 3 消去y得:4x2+12 2 x+15=0,
2

则x1+x2=-3 2 ,x1x2= 15 ,
4

所以 AB ? 1 ? 1 | x ? x | 2 1
3

?

答案:(1)-4

2 3 3

? x1 ? x 2 ? ? 4x1x 2 ?
2

(2)2

2 3 18 ? 15 ? 2. 3

直线与圆锥曲线的位置关系的确定及应用

【方法点睛】
1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法

用直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数,可以研
究直线与圆锥曲线的位置关系,即用代数法研究几何问题, 这是解析几何的重要思想方法.直线与圆锥曲线有无公共点 或有几个公共点问题,实际上是研究方程组解的个数问题.

2.直线与圆锥曲线相交的两个问题及求解方法 (1)与弦的中点有关的问题,常利用“点差法”求解; (2)与抛物线焦点弦长有关的问题,要注意应用抛物线的定义. 【提醒】在研究方程组是否有实数解或实数解的个数问题时, 要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.

x 2 y2 【例1】(1)已知直线y=kx-1与椭圆 ? ? 1 相切, 4 a

则k、a之间的关系式为_____________.
x 2 y2 (2)(2012·丽水模拟)双曲线 ? ? 1 的右顶点为A,右 9 16

焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交 于点B,则△AFB的面积为(
32 15 32 (C) 5

)

(A)

64 15 (D) 64 5

(B)

(3)已知抛物线的方程为y2=4x,直线l过定点P(-2,1),斜率为k, k为何值时,直线l与抛物线y2=4x只有一个公共点;有两个公 共点;没有公共点?

【解题指南】(1)直线与椭圆相切,实际上是直线方程与椭圆 方程组成的方程组有唯一解,即判别式等于零; (2)先求出直线FB的方程,然后与双曲线方程联立求出点B的 纵坐标,利用面积公式求解. (3)直线与抛物线公共点的个数问题,即为直线方程与抛物线 方程组成的方程组解的个数问题,可将两方程联立求解.

x 2 y2 【规范解答】(1)直线y=kx-1与椭圆 ? ? 1 联立, 4 a

消去y得:(a+4k2)x2-8kx+4-4a=0, 其判别式Δ=(-8k)2-4(a+4k2)(4-4a) =16a(a+4k2-1)=0,又因为a≠0, 所以a+4k2-1=0. 答案:a+4k2-1=0

(2)选A.双曲线右顶点为A(3,0),右焦点为F(5,0),双 曲线一条渐近线的斜率是 4 ,直线FB的方程是y= 4 (x-5),与
3 15 32 , 15 故△AFB的面积为 1 〓|AF|·|yB|= 1 〓2〓 32 = 32 . 2 15 15 2 3

双曲线方程联立解得点B的纵坐标为- 32 ,同理,存在另一种情
况B的纵坐标为

(3)由题意,得直线l的方程为y-1=k(x+2),
由? y ? 1 ? k(x ? 2), 得ky2-4y+4(2k+1)=0(*) ? (ⅰ)当k=0时,由方程(*)得y=1,方程组有一个解,此时,直线与 抛物线只有一个公共点. (ⅱ)当k≠0时,方程(*)的判别式为Δ=-16(2k2+k-1). ①由Δ=0,即2k2+k-1=0, 解得k=-1或k= 1 ,
2 ∴当k=-1或k= 1 时,方程组有一个解, 2

y 2 ? 4x ?

此时,直线与抛物线只有一个公共点.

②由Δ>0,得2k2+k-1<0,

解得-1<k< 1 ,
2 ∴当-1<k< 1 且k≠0时,方程组有两个解, 2

此时,直线与抛物线有两个公共点. ③由Δ<0,得2k2+k-1>0, 解得k<-1或k> 1 ,
2 ∴当k<-1或k> 1 时,方程组无解, 2

此时直线与抛物线没有公共点.

综上,当k=-1或k=0或k= 时,直线与抛物线只有一个公共点; 当-1<k< 1 且k≠0时,直线与抛物线有两个公共点;
2

1 2

当k<-1或k>

1 时,直线与抛物线没有公共点. 2

【反思·感悟】1.直线与圆锥曲线公共点有零个、一个、两个 和直线与圆锥曲线的相离、相切、相交不是等价关系; 2.在直线与圆锥曲线所组成的方程组消元后,要注意所得方程 的二次项系数是否含有参数.若含参数,需按二次项系数是否为 零进行讨论,只有二次项的系数不为零时,方程才是一元二次

方程,后面才可以利用判别式的符号来判断方程解的个数,进
而说明直线与圆锥曲线的位置关系.

圆锥曲线中的存在性问题 【方法点睛】 存在性问题的解题步骤 (1)先假设存在,引入参变量,根据题目条件列出关于参数的方程

或不等式(组).
(2)解此方程或不等式(组),若有解即存在,若无解则不存在.

??? ? 【例2】已知:向量 OA =(

3 ,0),O为坐标原点,

???? ???? ???? ???? ? 动点M满足: ? ? OA ? OM ? OA ? 4. OM

(1)求动点M的轨迹C的方程;

(2)已知直线l1、l2都过点B(0,1),且l1⊥l2,l1、l2与轨迹C分别
交于点D、E,试探究是否存在这样的直线使得△BDE是等腰直角

三角形.若存在,指出这样的直线共有几组(无需求出直线的方
程);若不存在,请说明理由.

【解题指南】(1)由椭圆的定义可知,点M的轨迹为椭圆,只需 再确定a、c即可.(2)可先假设存在,由题意知两条直线的斜率

存在且不为零,可分别设为k、- 1 ,由等腰直角三角形满足
k

的条件求出其值,或经计算得知其值不存在,从而得出结论.

【规范解答】(1)方法一:设A′(- 3 ,0),则
???? ???? ???? ???? ???? ???? ? ? ? ???? ???? ? OM ? OA ? OM ? OA ? OM ? OA? ? | OM ? OA | ????? ???? ? ? A?M ? AM ? 4>2 3 ,∴动点M的轨迹为以A、A′为焦点,

长轴长为4的椭圆.

由c= 3 ,2a=4,得a=2, b= a 2 ? c2 =1.
x2 ∴动点M的轨迹C的方程为 ? y 2 ? 1. 4

方法二:设点M(x,y),则
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? =(x+ 3,y), ? OA =(x- 3,y), OM ? OA OM ???? ??? ? ? ???? ??? ? ? ∵| OM ? OA |+|OM ? OA|=4,



?x ? 3?

2

?y ?
2

?x ? 3?

2

? y 2 ? 4>2 3.

∴点M的轨迹C是以( 3 ,0)、(- 3 ,0)为焦点,
长轴长为4的椭圆. ∴a=2,c= 3 ,∴b= a 2 ? c2 =1,
x2 ∴动点M的轨迹C的方程为 ? y 2 ? 1. 4

x2 (2)轨迹C是椭圆 ? y 2 ? 1. ,点B(0,1)是它的上顶点, 4

设满足条件的直线l1、l2存在,由题意知两直线斜率存在且 不为零,不妨设直线l1的方程为 y=kx+1(k>0) 则直线l2的方程为y=- x+1
1 k

① ②

将①代入椭圆方程并整理得:(1+4k2)x2+8kx=0,
?8k .将②代入椭圆方程并整理得: 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 ?8 2)x2-8kx=0,可得x = 8k ?1 . (4+k ,则yE= 2 E 2 4?k 4?k

可得xD= ?8k

,则yD=

由△BDE是等腰直角三角形得 |BD|=|BE|
?8k 2 ?8k 2 2 8k 2 ?8 2 ? ( ) ?( ) ? ( ) ?( ) 2 2 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 4?k 4?k 64k 2 64k 4 64k 2 64 ? ? ? ? 2 2 2 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1? k2 4 ? k2 k 2 ?1 ? k 2 ? 1? k2 k2 1 ? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 2 2 ?1 ? 4k ? ? 4 ? k ? ?1 ? 4k ? ? 4 ? k ? k 1 ? ? 1 ? 4k 2 4 ? k 2 ? k 3 ? 4k ? 1 ? 4k 2 ? k 3 ? 1 ? 4k 2 ? 4k

?

? ?

? ?

? ?

?

? ? k ? 1? ? k 2 ? k ? 1? ? 4k ? k ? 1? ③

∴k=1或k2-3k+1=0 ④ ∵方程④的判别式Δ=5>0,即方程④有两个不相等的实根, 且不为1. ∴方程③有三个互不相等的实根.即满足条件的直线l1、l2存在, 共有3组.

【反思·感悟】1.本题第(1)问是利用定义法求轨迹方程,
???? ??? ? ? ???? ??? ? ? 解决本题的关键是对 OM ? OA + OM ? OA =4 的转化与理解.

2.第(2)问探索存在性问题,此类问题一般是先假设存在,

依据题设条件及假设结论进行逻辑推理、论证,若得出矛盾,
则说明不存在;否则就存在.

圆锥曲线中的最值问题
【方法点睛】

圆锥曲线中常见最值问题及解题方法
(1)圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类:①涉及距离、 面积的最值以及与之相关的一些问题;②求直线或圆锥曲线中 几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些 问题.

(2)求最值常见的解法有两种:①几何法,若题目的条件和结 论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决, ②代数法,若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则 可先建立起目标函数,再求这个函数的最值. 【提醒】求最值问题时,一定要注意特殊情况的讨论.如直线斜 率不存在的情况,二次三项式最高次项的系数的讨论等.

【例3】(2011·新课标全国卷)在平面直角坐标系xOy中, 已知点A(0,-1),B点在直线y=-3上,M点满足
???? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? MB ? OA MA?AB ? MB?BA ,M点的轨迹为曲线C. ,

(1)求C的方程; (2)P为C上的动点,l为C在P点处的切线,求O点到l的距离的最小 值.

【解题指南】(1)可设点M的坐标为(x,y),依已知等式即可得出 曲线C的方程.(2)可先设点P的坐标,求出切线,然后利用点到

直线的距离公式求出距离的解析式,求其最值即可.

【规范解答】(1)设M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1),
???? ? ???? 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y), ??? ? AB =(x,-2).

????? ???? ??? ? ???? ??? ???? ??? ? ? ? 再由 MA ?AB ? MB?BA ,可知: ? MB)?AB ? 0 , (MA

即(-x,-4-2y)·(x,-2)=0.
所以曲线C的方程为y=
1 2 x -2. 4

(2)设P(x0,y0)为曲线C:y= 1 x2-2上一点,
4

因为y′= 1 x,所以l的斜率为 1 x0,
2 2

因此直线l的方程为y-y0= 1 x0(x-x0),
2
2 即x0x-2y+2y0- x 0 =0.
2 2y 0 ? x 0 2 0

则O点到l的距离 d ?

x ?4 1 2 又y0= x 0 -2, 4 1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 所以 d ? ? ( x0 ? 4 ? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4

.

当且仅当x0=0时取等号,所以O点到l的距离的最小值为2.

【反思· 感悟】1.本题第(1)问是求轨迹方程,采用的是直接 法求轨迹方程,依据题设中的等式求解即可;

2.第(2)问是求点到直线的距离的最值,解决此类问题一般是
依据题设条件得出函数解析式,利用函数的单调性或求导数或

利用基本不等式求得最值.

【满分指导】直线与圆锥曲线综合问题的规范解答 【典例】(14分)(2011·湖南高考)已知平面内一动点P到点F(1, 0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1. (1)求动点P的轨迹C的方程; (2)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2,设l1与轨
??? ??? ? ? 迹C相交于点A,B,l2与轨迹C相交于点D,E,求 AD?EB 的最小值.

【解题指南】(1)依题设可知,利用直接法求轨迹方程;
??? ??? ? ? (2)先设直线l1的斜率为k,依题设条件可求出 AD?EB

关于k的解析式,利用基本不等式求最值.

【规范解答】(1)设动点P的坐标为(x,y), 由题意得 ? x ? 1?2 ? y 2 ? x ? 1. ???????????2分

化简得y2=2x+2|x|,
当x≥0时,y2=4x; ???????????????4分

当x<0时,y=0.
所以动点P的轨迹C的方程为 y2=4x(x≥0)和y=0(x<0). ????????????6分

(2)由题意知,直线l1的斜率存在且不为0,设为k,则l1的方 程为y=k(x-1). 由?
? y ? k(x ? 1) 得k , 2x2-(2k2+4)x+k2=0?????????8分 2 ? y ? 4x

设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,
于是x1+x2=2+ 42 ,x1x2=1.
k

因为l1⊥l2,所以l2的斜率为 ? 1 .
k

设D(x3,y3),E(x4,y4), 则同理可得x3+x4=2+4k2,x3x4=1. ??????????10分

??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? AD?EB ? (AF ? FD)?(EF ? FB) ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? AF?EF ? AF?FB ? FD?EF ? FD?FB ??? ??? ??? ??? ? ? ? AF?FB ? FD?EF ??? ??? ? ??? ??? ? ??????????????12分 ?| AF |? FB | ? | FD |? EF | | |

=(x1+1)(x2+1)+(x3+1)(x4+1) =x1x2+(x1+x2)+1+x3x4+(x3+x4)+1
4 )+1+1+(2+4k 2)+1 2 k 1 =8+4(k2+ 2 )≥8+4〓2 k 2 ? 12 =16 ?????????13分 k k ??? ??? ? ? 2 1 故当且仅当 k ? 2 即k=〒1时, ?EB 取最小值,即16???14分 AD k

=1+(2+

【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结,我们可以 得到以下失分警示和备考建议:

解答本题时有以下两点容易造成失分:

失 (1)在第(1)问求轨迹方程时,点P到y轴的距离易写 分 成x,从而结果出错; 警 ??? ??? ? ? ??? ??? ??? ??? ? ? 示 (2) ?EB不会转化为 (AF ? FD)EF ? FB), 从而思路受阻, AD ( ? 解题不完整,造成失分.

解决直线与椭圆的综合问题时,要注意以下几点: 备 (1)注意点到两坐标轴的距离,两点与坐标轴平行时的 考 距离; 建 议 (2)涉及平面向量运算时,一定要注意平面几何性质的 运用,如垂直、中点等.

x 2 y2 1.(2011·浙江高考)已知椭圆C1: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0) a b 2 与双曲线C2:x2- y =1有公共的焦点,C2的一条渐近线与 4

以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB 三等分,则(
13 2 (C)b2= 1 2

) (B)a2=13 (D)b2=2

(A)a2=

【解析】选C.方法一:由双曲线x2-

y2 =1知渐近线方程为 4

y=〒2x,又∵椭圆与双曲线有公共焦点,

∴椭圆方程可化为b2x2+(b2+5)y2=(b2+5)b2,
联立直线y=〒2x与椭圆方程消y得,x 2

?b ?

2

? 5? b2
2

5b ? 20



又∵C1将线段AB三等分,
? 1 ? 22 ? 2 2a , 2 5b ? 20 3 解之得b2= 1 ,a2=b2+5= 11 . 2 2 ?

?b

2

? 5? b2

方法二:由双曲线x2-

x 2 y 2 (a>b>0)的交点分别 线y=2x与椭圆C1: 2 ? 2 ? 1 a b

y 2 =1知渐近线方程为y=〒2x,设渐近 4

为C(x1,2x1),D(x2,2x2),则
a 2 a2 2 | OC | ? x ? 4x ? ( ) , 即x1 ? , 3 45 2 2 又由C(x1,2x1)在C1: x ? y ? 1 上, a 2 b2 1 4a 2 所以有 ? ?1 ① 2 45 45b 2 2 y2 又由椭圆C1: x ? y ? 1 (a>b>0)与双曲线C2:x2=1 2 2 4 a b
2 2 1 2 1

有公共的焦点可得a2-b2=5



由①②解得b2=

1 11 ,a2= ,故选C. 2 2

2.(2012·温州模拟)直线y=x-3与抛物线y2=4x交于A,B两点,

过A,B两点向抛物线的准线作垂线,垂足分别为P,Q,则梯形
APQB的面积为( )

(A)48

(B)56

(C)64

(D)72

? y 2 ? 4x 【解析】选A.联立方程组 ? 消元得x2-10x+9=0, ?y ? x ? 3 解得 ? x ? 1 和 ? x ? 9,所以|AP|=10,|BQ|=2, ? ? y ? ?2 ? y ? 6 ?

|PQ|=8,故梯形APQB的面积为48.

x 2 y2 3.(2012·台州模拟)设双曲线 ? 2 ? 1(a>0,b>0)的 2 a b 半焦距为c.已知原点到直线l:bx+ay=ab的距离等于 1 c+1, 4

则c的最小值为___________. 【解析】由题意可知
1 ? c ? 1, 得 a 2 ? b2 4 ab

1 c2+c=ab≤ a 2 ? b 2 1 2 解得c≥4,即c的最小值为4. ? c, 4 2 2

答案:4


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