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2017年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)文科数学.doc

时间:2017-09-07

2017 年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷) 文科数学
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符号题目要求的.

N ? x x?2 , (1)设集合 M ? x x ? 1 ? 1 , 则M
A.(-1,1) 【答案】C B. (-1,2)

?

?

?

?

? N=
D.(1,2)

C. (0,2)

【解析】 由 | x ? 1|? 1 得 0 ? x ? 2 , 故M? N = {? 0 | x ? 2 }x ? { | ?2 }x {x 0 |? ? 2 }x ? ? x 选 C. (2)已知 i 是虚数单位,若复数满足 zi ? 1 ? i ,则 z =
2



A.-2i 【答案】A

B.2i

C.-2

D.2

【解析】由 zi ? 1 ? i 得 ( zi)2 ? (1 ? i)2 ,即 ? z 2 ? 2i ,故 z 2 ? ?2i ,选 A.

? x-2y +5 ? 0 ? ? x +3 ? 0 (3)已知 x,y 满足约束条件 则 z=x+2y 的最大值是 ?x ? 2 ?
A.-3 【答案】D B.-1 C.1 D.3

? x-2y +5 ? 0 ? ? x +3 ? 0 【解析】 由 画出可行域及直线 x ? 2 y ? 0 如图所示, 平移 x ? 2 y ? 0 发现, ?y ? 2 ?

当其经过直线 x-2y+5 ? 0 与 y ? 2 的交点 (?1, 2) 时, z ? x ? 2 y 最大为 z ? ?1 ? 2 ? 2 ? 3 , 选 D. (4)已知 cosx ? (A)-

1 4

(B)

1 4

3 ,则 cos 2 x ? 4 1 1 (C) (D) 8 8

【答案】D

2 2 2 (5) 已知命题 p: ?x ? R , x ? x ? 1 ? 0 ;命题 q:若 a ? b ,则 a<b.下列命题为真命题的是

(A)p ? q (B)p ? ? q (C) ? p ? q (D) ? p ? ? q 【答案】B
2 2 2 2 【解析】 由 x ? 0 时 x ? x ? 1 ? 0 成立知 p 是真命题, 由1 ? 2, 1 (2 ) ??

2

可知 q 是假命题,

故选 B. (6)执行右侧的程序框图,当输入的 x 值时,输入的 y 的值为 2,学|科网则空白判断框中的 条件可能为

(A)x>3 【答案】B

(B) x>4 (C)x ? 4 (D)x ? 5

【解析】输入 x 为 4,要想输出 y 为 2,则程序经过 y ? log 2 4 ? 2 ,故判断框填 x ? 4 ,选 B. (7)函数 A

y ?
2? 3

3sin2x+cos2x 最小正周期为
C? D 2?

? 2

B

【答案】C 【解析】由题意 y ? 2sin(2 x ?

?
6

) ,其周期 T ?

2? ? ? ,故选 C. 2

(8)如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各 5 名工人某日的产量数据(单位:件) 。若这两组 数据的中位数相等,学科*网且平均值也相等,则 x 和 y 的值分别为 A 3,5 B5,5 C 3,7 D 5,7

【答案】A 【解析】由题意,甲组数据为 56,62,65, 70 ? x ,74,乙组数据为 59,61,67, 60 ? y , 78.要使两组数据中位数相等,有 65 ? 60 ? y ,所以 y ? 5 ,又平均数相同,则

56 ? 62 ? 65 ? (70 ? x) ? 74 59 ? 61 ? 67 ? 65 ? 78 ? ,解得 x ? 3 .故选 A. 5 5

f x ? ? (9)设 ? ?
A2 B4 C6

? ?1? ? x , 0<x<1 f ,若 f(a)=f(a+1),则 ? ? = 2 x 1 , x ? 1 ? ? ?a ? ? ?
D8

【答案】C 【解析】 由 f (a) ? f (a+1) 得 a ? 2(a ? 1 ?1) , 解得 a ? 故选 C. (10)若函数 e
x

1 1 4 f ) 2 ( 4? 1 ) 6 ? , 则 f( ) ?( 4 a

? ,

f ? x ? ?e ? 2.71828? …是自然对数的底数? 在 f ? x ? 的定

义域上单调递增,则称函数 A B C D

f ? x ? 具有 M 性质,下列函数中具有 M 性质的是

f ? x ? = 2-x f ? x ? = x2 f ? x ? = 3-x f ? x ? = cosx

【答案】A

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分 (11)已知向量 a=(2,6) ,b= (?1, ? ) ,若 a||b,则 ? ? 。 【答案】 ?3 【解析】 ?6 ? 2? ? ? ? ?3. (12)若直线 【答案】 8 【解析】?

x y ? ? 1(a>0,b>0) 过点(1,2) ,则 2a+b 的最小值为。 a b

1 2 1 2 b 4a b 4a ? ? 1? 2a ? b ? (2a ? b)( ? ) ? 4 ? ? ? 4?2 ? ?8 a b a b a b a b
1 圆柱构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为。 4

(13)由一个长方体和两个

【答案】 2 ?

π 2

【解析】 V ? 2 ?1?1 ? 2 ?

π ?12 π ?1 ? 2 ? 4 2

(14)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(x+4)=f(x-2).若当 x ? [?3, 0] 时, f ( x) ? 6? x , 则 f(919)= 【答案】 6 【解析】?T ? 6 ? f (919) ? f (1) ? f (?1) ? 6 .

(15)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线
2

x2 y 2 ? ? 1(a>0,b>0) 的右支与焦点为 F 的抛 a 2 b2
.

物线 x ? 2 py( p>0) 交于 A, B 两点, 若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为 【解析】 | AF | ? | BF | =y A ?

p p p ? yB ? ? 4 ? ? y A ? yB ? p , 2 2 2
, 所 以





? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 ? a 2 y 2 ? 2 pb2 y ? a 2b 2 ? 0 ? ?a b ? x 2 ? 2 py ?

y A ? yB ?

2 pb2 2 ? p ? a ? 2b ? 渐近线方程为 y ? ? x 2 a 2

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。 (16) (本小题满分 12 分) 某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1,A2,A3 和 3 个欧洲国家 B1,B2,B3 中选择 2 个国家去旅游。 (Ⅰ) 若从这 6 个国家中任选 2 个, 学&科网求这 2 个国家都是亚洲国家的概率; (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中个任选 1 个,求这 2 个国家包括 A1 但不包括 B1 的概率。 1 2 【答案】 (1) ; (2) . 9 5

【解析】 (1) p ?
1 1 C1 C2 2 ? 1 1 C3C3 9

C32 3 1 ? ? 2 C6 15 5

(2) P ?

(17) (本小题满分 12 分)

??? ??? ? 在△ABC 中, 角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 b=3,AB ?AC ? ?6 ,S△ABC=3,求 A
和 a。
【答案】 A= 【解析】

3 ? , a= 29. 4

? AB ?AC ? ?6 ? bc cos A ? ?6 ? S ?ABC ? 3 1 bc Sin A ? 3 2 又 ? b=3 ?3c cos A= ? 6 ? ??1 3c sin A=3 ? ?2 1 1 ? tan A= ? 2 2 tan A= ? 1 ? A? ( 0, ? ) 3 A= ? 4 ? 3 ? c( ? c=2 2 ? a 2 =b 2 ? c 2 ? 2bc cos A =9 ? 8 ? 2 ? 3 ? 2 2( ? =29 a= 29
(18) (本小题满分 12 分) 由四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 截去三棱锥 C1- B1CD1 后得到的几何体如图所示,四 边形 ABCD 为正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, E 为 AD 的中点, A1E ? 平面 ABCD, (Ⅰ)证明:AO∥平面 B1CD1;

?

?

2 ) = -6 2

2 ) 2

(Ⅱ)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A1EM ? 平面 B1CD1.

【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】 ①

取B1 D1中上F , 连接A1 F , CF ? ABCD ? A1 B1C1 D1为四棱柱 ? A1 F / /OC ? A1 FCO为平行四边形 ? A1O / / CF , 又 ? CF ? 面B1CD1 ? A1O / / 面B1CD1


? E为AD中点,M 为OD中点 ? EM / / AO ? ABCD为正方形 ? AO ? BD ? EM ? BD 又 ? A1 E ? 面ABCD ?1 A1 E ? BD, A1 E ? EM ? E ? BD ? 面A1 EM 又 ? B1 D1 ? 面B1 D1C , BD / / B1 D1 ? B1 D1 ? 面A1 EM , B1 D1 ? 面B1CD1 ? 平面A1 EM ? 面B1CD1
(19) (本小题满分 12 分)

已知{an}是各项均为正数的等比数列,且 a1+ a2=6,a1a2= a3 (I) (II) 求数列{an}通项公式;
{bn}

为各项非零的等差数列, 其前 n 项和为 Sn 知 S2n+1=bnbn+1



数列{ }的前 n 项和 Tn.

【答案】 (1) an ? 2n ;(2) = 5 ? 2 + 5 【解析】 (1)由题意得

1 2

.

?a1 ? a1q ? 6 ? 2 2 ?a1 q ? a1q ? q ? ?(舍)或 3 q=2 a1 ? 2 a1 ? a1q n ?1 ? 2n (2) 由已知s2n+1 ? bnbn ?1 ? ? bx ? 2n ? 1 bn 1 ? (2n ? 1)?( )3 an 2 1 1 1 1 Tn ? 3?( )1 ? 5( ) 2 ?? ? ? ? ?(2n ? 1)( ) n ?1 ? (2n ? 1)( ) n 2 2 2 2 1 1 1 1 1 Tn ? 3?( ) 2 ? 5( )3 ? ? ? ? ?(2n ? 1)( ) n ? (2n ? 1)( ) n ?1 2 2 2 2 2
①-②得 1 1 = 3 2 2 1 1 = 3 2 2
1

(2n ? 1)(b1 ? b2 n ?1)(2n ? 1)?2bn ?1 = 2 2 即bnbn ?1 =(2n ? 1)?bn ? 1

+2
1

1 2
1 4

2

+ ?2 1?2
2 1

1 2



? 2 + 1

1 2 1 2

+1

1 ?1

+1

+2

1?2
?1

? 2 + 1 ? 2 + 1 1 2


1 = 3 + 2 1 ? 2

1 2

+1

∴ = 5 ? 2 + 5

(20) (本小题满分 13 分) 已知函数 f(x ) ?

1 3 1 2 x ? ax ,a ? R , 3 2

(3,f(3)) (1)当 a=2 时,求曲线 y ? f x 在点 处的切线方程;
(2) 设函数 g x

? ?

? ?

? f ? x ? ? ? x ? a ? cos x ? sin x ,讨论 g ? x ? 的单调性并判

断有无极值,有极值时求出极值.

【答案】 (1)切线方程为 3x-y-9=0 .

(1)a=0无极值 (2)

(2)a<0极大值为 ?

1 3 a ? sin a,极小值-a 6 1 3 a ? sin a 6

(3)a>0极大值为-a,极大值为 ?
【解析】 (1) f '(x ) ?

x 2 ? 2x

? k ? f '(3) ? 3

又 ? f(3) ? 0 (x ? 3) 即3x-y-9=0 ? 其切线方程为 y ? 0 ? 3
(2) g(x ) ?

1 3 1 2 x ? ax ? (x ? a )cos x ? sin x 3 2

? g '(x ) ? x 2 ? ax ? (x ? a)sin x
? (x ? a)(x ? sin x )

令g '(x ) ? 0,得x1 ? 0,x 2 ? a

i) 当a ? 0时,g '(x ) ? 0恒成立
? g(x ) 在R上递增,无极值

ii ) 当a ? 0时,令g '(x ) ? 0得x ? a或x ? 0
即g(x ) 在(-?,a),(a, +?)上递增,在(a,0)递增

? g(x )极大 ? g(a ) ? ?

1 3 a ? sin a 6

g(x )极小 ? g(0) ? ?a
iii ) 当a ? 0时,g(0) 在(-?,0),(a,+?)上递增(0,a)递减

? g(x )极大 =g(0)=-a

g(x )极小 ? g(a ) ? ?

1 3 a ? sin a 6

综上所述(1)a=0无极值

(2)a<0极大值为 ?

1 3 a ? sin a,极小值-a 6 1 3 a ? sin a 6

(3)a>0极大值为-a,极大值为 ?
(21) (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C:

x2 y 2 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)的离心率为 ,椭圆 C 截直 2 a b 2

线 y=1 所得线段的长度为 2 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)动直线 l:y=kx+m(m≠0)交椭圆 C 于 A, B 两点, 交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点, 圆 N 的半径为|NO|. 设 D 为 AB 的中点,DE,DF 与圆 N 分别相切于点 E,F,求 ? EDF 的最小 值.

=

1
1 1 + 4 ( 2 2 + 1 )2 2 2

2



2 2

当且仅当 2 2 =

1 2 2

时,即 = ±
4

2 2 2

∴∠FDN 的最小值为 ,∠EDF 的最小值为 综上,∠EDF 的最小值为2 .



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