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2016北师大版数学选修2-2课件2.5简单复合函数的求导法则_图文

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§2.5 简单复合函数的求导法则 学习目标 思维脉络 1.能说出复合函数的概 念,记住复合函数的求导法则. 2.会运用复合函数求导法则 求一些复合函数的导数. 3.能把一个复合函数分成两 个或几个简单函数的和、差、 积、商的形式. 4.要明确复合函数 y=f[g(x)]的 导数和函数 y=f(u),u=g(x)的 导数间的关系为 yx'=yu'ux',其 中选择中间量是应用公式解 题的关键. 一般地,对于两个函数 y=f(u)和 u=φ(x)=ax+b,给定 x 的一个值,就得到了 u 的值,进而确定了 y 的值,这样 y 可以表示成 x 的函数,我们称这个函数为函 数 y=f(u)和 u=φ(x)的复合函数,记作 y=f(φ(x)).其中 u=φ(x)为中间变量. 复合函数 y=f(φ(x))的导数为 yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x). 做一做 求函数 y=(3x-1)4 的导数. 解:∵y=(3x-1)4 由函数 y=u4 和 u=3x-1 复合而成, ∴yx'=yu'· ux'=(u4)'· (3x-1)'=4u3· 3=12u3=12(3x-1)3.即 y'=12(3x-1)3. 探究一 探究二 探究三 探究一复合函数的复合关系 判断复合函数的复合关系的一般方法是:从外向里分析,最外层的主体函数 结构是基本函数形式,各层的中间变量结构也是基本函数关系.这样一层一 层分析,最里层应是关于自变量 x 的基本函数(中学阶段仅限于 φ(x)=ax+b). 典例提升 1 指出下列函数的复合关系: (1)y=(2x+3)2;(2)y=ln(2x-3); (3)y=23x-2;(4)y= 4 + 3. 思路分析:根据基本函数与(ax+b)复合的原则拆分. 解:(1)y=(2x+3)2 是由 y=u2 和 u=2x+3 复合而成. (2)y=ln(2x-3)是由 y=ln u 和 u=2x-3 复合而成. (3)y=23x-2 是由 y=2u 和 u=3x-2 复合而成. (4)y= 4 + 3是由 1 y= 2和 u=4x+3 复合而成. 探究一 探究二 探究三 探究二求复合函数的导数 对于复合函数的求导,要注意分析问题的具体特征,灵活恰当地选择中间变 量.易犯错误的地方是混淆变量,或忘记中间变量对自变量求导.复合函数的 求导法则通常称为链条法则,因为它像链条一样,必须一环一环套下去,而不 能丢掉其中的一环. 典例提升 2 求下列函数的导数: (1)y=(2x+1)n(x∈N+); (2)y=sin(4x+3); (3)y=xcos 2x. 解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1· (2x+1)' n-1 =2n(2x+1) . (2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)· (4x+3)'=4cos(4x+3). (3)y'=(xcos 2x)'=x'· cos 2x+(cos 2x)'· x =cos 2x-2xsin 2x. 探究一 探究二 探究三 点评 选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪 些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清中间的复合关系.要善于把一 部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需 要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,其中还应特别注意中间变量的关系, 求导后,要把中间变量转换成自变量的函数. 探究一 探究二 探究三 变式训练 曲线 y=e -5x +2 在点(0,3)处的切线方程为 . 解析:因为 y=e-5x+2,所以 y'=-5e-5x,因此,曲线在点(0,3)处的切线的斜率 为 k=-5e-5×0=-5,故所求切线方程为 y-3=-5(x-0),即 5x+y-3=0. 答案:5x+y-3=0 探究一 探究二 探究三 探究三易错辨析 易错点:因不能正确判断复合函数或复合函数的复合关系而致误 典例提升 3 求函数 y= (ex+e-x)的导数. 错解:y'= + e- ) '= (ex+e-x)' 1 2 1 = (ex+e-x). 2 1 2 1 2 1 (e 2 = [(ex)'+(e-x)'] 错因分析:y=e-x 的导数求导错误,y=e-x 由 y=eu 与 u=-x 复合而成,因此, 其导数应按复合函数求导法则进行. 探究一 探究二 探究三 正解:令 y=eu,u=-x,则 yx'=yu'· ux', 所以(e-x)'=(eu)'(-x)' =e-x×(-1)=-e-x, 1 所以 y'= (e + e- ) ' 1 2 1 = (ex-e-x). 2 2 = [(ex)'+(e-x)'] 1 2 3 4 5 1.函数 y=cos (1+x2)的导数是( ) A.2xsin (1+x2) B.-sin (1+x2) C.-2xsin (1+x2) D.xsin (1+x2) 解析:y'=-sin (1+x2)· (1+x2)'=-2xsin (1+x2). 答案:C 1 2 3 4 5 2.函数 y=e2x-4 上 x=2 处的切线方程为( ) A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0 解析:y'=(e2x-4)'=e2x-4· (2x-4)'=2e2x-4, ∴k=2e2×2-4=2. 把 x=2 代入 y=e2x-4,得 y=1,∴切点为(2,1). ∴函数 y=e2x-4 上 x=2 处的切线方程为 y-1=2(x-2),∴2x-y-3=0. 答案:A 1 2 3 4 5 3.函数 y=ln(2x+3)的导数为 . 解析:函数 y=ln(2x+3)可看作函数 y=ln u 和 u=2x+3 的复合函数,于是 yx'=yu'· ux'=(ln u)'· (2x+3)'= ×2=

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