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2.2.2二次函数性质与应用(2)_图文

时间:2018-08-28


二次函数性质与应用
---单调性与最值

一、考纲要求
? (1)求二次函数的解析式; ? (2)掌握二次函数的图象和性质—— 单调性、对称轴、顶点等; ? (3)二次函数的最值讨论方法。 ? (4)二次函数图像与不等式求解

二、知识的梳理及训练
1、二次函数解析式
(1)一般式: (2)顶点式: (3)两根式:

(1)一般式: y=ax2+bx+c (a≠0)

对称轴:

x=- b 2a
2

b 4ac - b 顶点坐标: (- , ) 2a 4a

(2)顶点式: y=a(x-h)2+k (a≠0)

对称轴:

X = h

顶点坐标: ( h ,k )

(3)两根式: y=a(x-x1) (x-x2) (a≠0) 与x轴两个交点为A (x1,0)、B (x2 ,0)
x1 + x 2 对称轴: x = 2 x + x x + x 1 2 1 2 顶点坐标:( , f( )) 2 2

例.已知二次函数f(x)满足f(2)=0,f(-1)=0,且
f(x)max=9/4,求二次函数解析式。

(方法1) 2+bx+c (a ? 0) 解:设 f(x)=ax ?
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?

4a+2b+c=0 a=-1 a-b+c=0 ? b=1 c=2 4ac-b2 = 9 4a 4
? ? ? ? ? ? ? ? ?
2

?二次函数解析式为f ( x) ? ? x ? x ? 2

例.已知二次函数f(x)满足f(2)=0,f(-1)=0,且
(方法2)

f(x)max=9/4,求二次函数解析式。

解: ∵ f(2)= f(-1) 2 ?1 1 1 9 ∴ 对称轴x = ? ∴ 顶点坐标 ( , ) 2 2 2 4 12 9 故设f(x)= a(x - ) + (a ? 0) 2 4 12 9 ∵f(2)= 0 ∴ a(2 - ) + = 0 2 4 ∴ a = -1

?二次函数解析式为f ( x) ? ? x ? x ? 2
2

例.已知二次函数f(x)满足f(2)=0,f(-1)=0,且
f(x)max=9/4,求二次函数解析式。
(方法3) 解:∵ f(2)= f(-1)= 0 ∴f(x)与x轴交于(2,0)和(-1,0) 故设f(x)= a(x +1)(x - 2) (a ? 0) ∴ f(x)= a(x +1)(x - 2)= ax - ax - 2a 4a(-2a)- a2 9 ∵ = ∴ a = -1 4a 4 2 ?二次函数解析式为f ( x) ? ? x ? x ? 2
2

2、二次函数图象和性质
y=ax2+bx+c a>0
y 0 x

a<0

图 象

性 奇偶性 定义域 对称性 单调性 值域 质

X∈4ac ___是单调 ___ X∈___是单调 2 ___ b2 4ac b b为偶函数 关于直线 对称 [ , + ∞ ) x=b=0 f(x) x ∈ R x, ∈ R ]___ ( ∞ X∈___ 是单调 ___ X ∈ ___ 是单调 4a 4a 2a

练习
1.若函数y ? x 2 ? (a ? 2) x ? 3, x ? [a, b]的图象关于 直线x=1对称,则b=_______ 2.函数f(x)=x2 ? ax, 对任意的x ? R,总有f (1 ? x) ? f (1 ? x), 则实数a=_______ 3.若函数f(x)=(a-2)x ? 2 x ? 4的图象恒在x轴的下方,
2

则a的取值范围________ 4.函数y=x2 ? 2(m ? 1) x ? 3在区间(??, ?2]上是减函数, 则m的取值范围为______ 5.函数f(x)=2x2 +mx-1在区间[-1,+?)上递增, 求m的取值范围________

求二次函数在闭区间最值 一:定区间定轴

在下列区间内求函数 y=f ( x ) =x y2-4x+1 的最值。 (1)x∈[2,4] 2 O 4 x (2)x∈[-1,4] (3)x∈[-2,0]
-2 -1-3
4

恒成立问题
例2(变):已知x2+2x+a≥4在x∈ [0,2]上恒 成立,求a的值。
体会最值与恒成立的关系
y

解:令f(x)=x2+2x+a它的 对称轴为x=-1, ∴f(x)在[0,2]上单调 递增, ∴f(x)的最小值为f(0)=a, 即 a≥ 4
-1 O

2

x

二:定区间动轴
例3:若x∈

[?1,1]

,求函数

y =x2+ax+3的最值:
y

a ⑴当 ? ? ?1即a≥ 2时 2

-1

O

y的最小值为f(-1) =4-a
1 x

图像分析

三:动区间定轴
例3:若x∈

[?1,1]

,求函数

y =x2+ax+3的最小值:
y

a (2)当 ? 1 ? ? ? 0 2 即0≤ a<2时

-1

O 1

x

a y的最小值为f( ? ) 2 2 a 3? 4

题型3:轴变区间定问题

例3:若x∈

[?1,1]

,求函数

a ? ? 1 即a<-2时 (3) 当 评注:例3属于“轴动区间定”的问题,看作 y 2

y =x2+ax+3的最值:

对称轴沿x轴移动的过程中,函数最值的变化, 函数在 [-1,1] 上是减函数 即对称轴在定区间的左、右两侧及对称轴在定 y 的最小值为 f(1) 区间上变化情况 , 要注意开口方向及端点情况。 O -1 1 x =4+a y的最大值为f(-1)

=4-a

题型4:轴定区间动问题 例4.当x∈[a,a+2],求f(x) =-x2+2x+3最大值 ? 解: :①当 a≤1≤a+2,即-1≤a≤1时 评注 例4属于“轴定区间动”的问题, f(x)max =f(1)=4 看作动区间沿 x 轴移动的过程中,函数 图像分析 最值的变化,即动区间在定轴的左、右 ? ②当a+2<1,即a<-1时 两侧及包含定轴的变化,要注意开口方 ∵f(x)在 (-∞,1]是单调递增 向及端点情况。 2 ? ∴f(x)max=f(a+2)=-a -2a+3 ③当a>1时 ∵f(x)在 [1,+∞)是单调递减 ∴f(x)max=f(a)=-a2+2a+3

求二次函数在闭区间上最值的方法:
? 一看开口方向; ? 二看对称轴与在区间相对位置。 ? 若区间端点或解析式含有字母参数, 应进行分类讨论,按对称轴与区间 (或区间的中点)的位置分类。

作业
已知二次函数y=-x2+2x+3 (1)当x∈R,求f(x)的值域; (2)当x∈[-1,0],求f(x)的值域; (3)当x∈[0,3],求f(x)的值域; (4)当x∈[a,a+2],求f(x)的最大值;

三、课后巩固提高
? 1、求函数f(x)=x2-2ax+1 在[2,4]上的最大值 和最小值。 ? 2、方程x2-2ax+1=0在[-2,2]上有唯一实数解, 求a的取值范围。 ? 3、设f(x)=x2-2x-5,x∈[t,t+3]的最大值为g(x), 求g(x)的解析式 ? 4、已知是二次函数,当x=3时,f(x)max=10, 且它在x轴上截得的线段长为4,求f(x)。

5.已知 f ( x)=x 2 ? 4 x ? 4, x ? [t , t ? 1], t ? R, (1)求f ( x)的最小值g (t )的解析式; (2)求g (t )的最小值

6.已知函数f ( x)=2x ? 2ax ? 3在区间[-1,1]上有
2

最小值,记作g(a).

(1)求g(a)的解析式; (2)求g(a)的最大值


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