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2014年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)---函数概念与表示

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2014 年高考数学一轮复习精品学案(人教版 A 版) ―― 函数概念与表示
一.【课标要求】
1.通过丰富实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此 基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数, 体会对应关系在刻画函数概念中的作用; 了解 构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域;了解映射的概念; 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法) 表示函数; 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用; 4.通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意 义;结合具体函数,了解奇偶性的含义; 5.学会运用函数图象理解和研究函数的性质

二.【命题走向】
函数是整个高中数学的重点, 其中函数思想是最重要的数学思想方法, 函数问题在历年 的高考中都占据相当大的比例。 从近几年来看,对本部分内容的考察形势稳中求变,向着更灵活的的方向发展,对于函 数的概念及表示多以下面的形式出现:通过具体问题(几何问题、实际应用题)找出变量间 的函数关系,再求出函数的定义域、值域,进而研究函数性质,寻求问题的结果。 高考对函数概念与表示考察是以选择或填空为主,以解答题形式出现的可能性相对较 小,本节知识作为工具和其他知识结合起来命题的可能性依然很大 预测 2014 年高考对本节的考察是: 1.题型是 1 个选择和一个填空; 2.热点是函数概念及函数的工具作用,以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数成 为新的热点。

三.【要点精讲】
1.函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数。记作:y=f(x),x∈A。其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。 注意:(1)“y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; (2)函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域 (1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,函数的定义域包含三种形式: ①自然型: 指函数的解析式有意义的自变量 x 的取值范围 (如: 分式函数的分母不为零, 偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数,等等); ②限制型:指命题的条件或人为对自变量 x 的限制,这是函数学习中重点,往往也是难 点,因为有时这种限制比较隐蔽,容易犯错误; ③实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量 x 的实际意义。 (2)求函数的值域是比较困难的数学问题,中学数学要求能用初等方法求一些简单函 数的值域问题 ①配方法(将函数转化为二次函数);②判别式法(将函数转化为二次方程);③不

等式法(运用不等式的各种性质);④函数法(运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、 函数图象等)。 3.两个函数的相等: 函数的定义含有三个要素,即定义域 A、值域 C 和对应法则 f。当函数的定义域及从定 义域到值域的对应法则确定之后,函数的值域也就随之确定。因此,定义域和对应法则为函 数的两个基本条件, 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时, 这两个函数才是 同一个函数。 4.区间 (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; (2)无穷区间; (3)区间的数轴表示 5.映射的概念 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:A ? B”。 函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意 两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系,这种的对应就 叫映射。 注意:(1)这两个集合有先后顺序,A 到 B 的射与 B 到 A 的映射是截然不同的.其中 f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。 (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思 6.常用的函数表示法 (1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的 解析表达式,简称解析式; (2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系; (3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系 7.分段函数 若一个函数的定义域分成了若干个子区间, 而每个子区间的解析式不同, 这种函数又称 分段函数; 8.复合函数 若 y=f(u),u=g(x),x?(a,b),u?(m,n),那么 y=f[g(x)]称为复合函数,u 称为中间变量, 它的取值范围是 g(x)的值域

四.【典例解析】
题型 1:函数概念

? x 2 ? 4 x ? 6, x ? 0 例 1.21.(2009 天津卷文)设函数 f ( x ) ? ? 则不等式 f ( x) ? f (1) 的解 ? x ? 6, x ? 0
集是( ) A. (?3,1) ? (3,??) C. (?1,1) ? (3,??) 答案 A B. (?3,1) ? (2,??) D. (??,?3) ? (1,3)

解析

由已知,函数先增后减再增

当 x ? 0 , f ( x) ? 2 f (1) ? 3 令 f ( x) ? 3, 解得 x ? 1, x ? 3 。 当 x ? 0 , x ? 6 ? 3, x ? ?3 故 f ( x) ? f (1) ? 3 ,解得 ? 3 ? x ? 1或x ? 3 【考点定位】本试题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解 (2)请设计一个同时满足下列两个条件的函数 y = f (x): ① 图 象 关 于 y 轴 对 称 ; ② 对 定 义 域 内 任 意 不 同 两 点 x1、x2 , 都 有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 f (

x1 ? x2 ) 答: 2

.

答案不唯一,在定义域内图象上凸的偶函数均可,如

f ( x ) ? ? x 2 , f ( x ) ? cos x( ?

?
2

?x?

?
2

), f ( x) ? ? | tan x | ( ?

?
2

?x?

?
2

) 等等.

首先由①知 f (x)为偶函数,由②知 f (x)在定义域内图象上凸,然后在基本初等 函数中去寻找符合这两点的模型函数 【总结点评】本题主要考查函数的图象与性质,问题以开放的形式出现,着重突出对考生数 学素质的要求. 点评:讨论了函数的解析式的一些常用的变换技巧(赋值、变量代换、换元等等),这 都是函数学习的常用基本功 变式题:(2009 北京文)已知函数 f ( x ) ? ? 答案

?3 x , ? ? x,

x ? 1, x ? 1,

若 f ( x) ? 2 ,则 x ?

.

log3 2

解析 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运算的考 查. 由?

?x ? 1

?x ? 1 ? x ? log 3 2 , ? 无解,故应填 log 3 2 . x ? ? x ? 2 ? x ? ?2 ?3 ? 2

例 2. (1)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

f ? f ? 5 ? ? ? __ ________;
(2)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

1 ,若 f ?1? ? ?5, 则 f ? x?

f ? f ? 5 ? ? ? __________。
解:(1)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) , 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

所以 f (5) ? f (1) ? ?5 ,则 f

? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

(2)由 f ? x ? 2 ? ?

1 1 ? f ( x) ,所以 f (5) ? f (1) ? ?5 , 得 f ? x ? 4? ? f ? x? f ? x ? 2?

则f

? f ? 5? ? ? f (?5) ? f (?1) ?

1 1 ?? 。 f (?1 ? 2) 5

点评:通过对抽象函数的限制条件,变量换元得到函数解析式,考察学生的逻辑思维能 力。 题型二:判断两个函数是否相同 例 3.试判断以下各组函数是否表示同一函数? (1)f(x)= x 2 ,g(x)= 3 x 3 ; (2)f(x)=

x ? 0, ?1 | x| ,g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;


(3)f(x)= 2 n ?1 x 2 n ?1 ,g(x)=( 2 n ?1 x )2n 1(n∈N*) ; (4)f(x)= x

x ? 1 ,g(x)= x 2 ? x ;

(5)f(x)=x2-2x-1,g(t)=t2-2t-1。
3 解: (1)由于 f(x)= x 2 =|x|,g(x)= x 3 =x,故它们的值域及对应法则都不相同,

所以它们不是同一函数; (2)由于函数 f(x)=

x ? 0, ?1 | x| 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) ,而 g(x)= ? x ?? 1 x ? 0;

的定义域为 R,所以它们不是同一函数; (3)由于当 n∈N*时,2n±1 为奇数, ∴f(x)=
2 n ?1

x 2 n ?1 =x,g(x)=( 2 n ?1 x )2n-1=x,它们的定义域、值域及对应法则都相同,

所以它们是同一函数; (4)由于函数 f(x)= x

x ? 1 的定义域为{x|x≥0},而 g(x)= x 2 ? x 的定义域为

{x|x≤-1 或 x≥0},它们的定义域不同,所以它们不是同一函数; (5)函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数 点评:对于两个函数 y=f(x)和 y=g(x) ,当且仅当它们的定义域、值域、对应法则都 相同时,y=f(x)和 y=g(x)才表示同一函数 若两个函数表示同一函数,则它们的图象完
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全相同,反之亦然。 (1)第(5)小题易错判断成它们是不同的函数,原因是对函数的概念理解不透 要知 道,在函数的定义域及对应法则 f 不变的条件下,自变量变换字母,以至变换成其他字母的 2 2 2 表达式,这对于函数本身并无影响,比如 f(x)=x +1,f(t)=t +1,f(u+1)=(u+1) +1 都可视为同一函数。 (2)对于两个函数来讲,只要函数的三要素中有一要素不相同,则这两 个函数就不可能是同一函数 题型三:函数定义域问题
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例 4.求下述函数的定义域:

2x ? x 2 ? (3 ? 2 x) 0 ; (1) f ( x) ? lg(2 x ? 1)
(2) f ( x) ? lg( x ? ka) ? lg( x ? a ).
2 2

?2 x ? x 2 ? 0 ? 1 3 3 ?2 x ? 1 ? 0 解:(1)? ? ,解得函数定义域为 ( ,1) ? (1, ) ? ( ,2] . 2 2 2 ?2 x ? 1 ? 1 ?3 ? 2 x ? 0 ?
(2)? ?

?x ? k a
2 2 ?x ? a

,(先对 a 进行分类讨论,然后对 k 进行分类讨论),

①当 a=0 (k ? R) 时,函数定义域为 (0,??) ; ②当 a ? 0 时,得 ?

?x ? k a , ? x ? ? a或 x ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ?k ? 1
?a ? 0 时,函数定义域为 (a,??) , ?? 1 ? k ? 1 ?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,?a) ? (a,??) ; ? k ? ?1

2)当 ?

3)当 ?

③当 a ? 0 时,得 ?

?x ? k a , ? x ? a或 x ? ? a

1)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka,??) , ? k ? ?1

2)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (?a,??) , ?? 1 ? k ? 1

3)当 ?

?a ? 0 时,函数定义域为 (ka, a) ? (?a,??) 。 ?k ? 1

点评:在这里只需要根据解析式有意义,列出不等式,但第(2)小题的解析式中含有 参数,要对参数的取值进行讨论,考察学生分类讨论的能力 例 5.已知函数 f ? x ? 定义域为(0,2),求下列函数的定义域: (1) f ( x ) ? 23 ;(2) y ?
2

f ( x2 ) ? 1 。 log 1 (2 ? x)
2

解:(1)由 0<x 2 <2, 得

点评:本例不给出 f(x)的解析式,即由 f(x)的定义域求函数 f[g(x)]的定义域 关键在 于理解复合函数的意义, 用好换元法; 求函数定义域的第三种类型是一些数学问题或实际问 题中产生的函数关系,求其定义域,后面还会涉及到
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变式题:已知函数 f(x)=

3x ? 1 的定义域是 R,则实数 a 的取值范围是( ax ? ax ? 3
3 2



A.a>

1 3

B.-12<a≤0

C.-12<a<0

D.a≤

1 3

?a ? 0, 解:由 a=0 或 ? 可得-12<a≤0,答案 B。 2 ?Δ ? a ? 4a ? (?3) ? 0,
题型四:函数值域问题 例 5.求下列函数的值域: (1) y ? 3x ? x ? 2 ;(2) y ?
2

? x 2 ? 6 x ? 5 ;(3) y ?
2

3x ? 1 ; x?2

(4) y ? x ? 4 1 ? x ;(5) y ? x ? 1 ? x ;(6) y ?| x ? 1| ? | x ? 4 | ; (7) y ?

2x2 ? x ? 2 2 x2 ? x ? 1 1 1 ? sin x (x ? ) ; ; (8) y ? (9) y ? 。 2 2x ?1 2 x ? x ?1 2 ? cos x
2

解:(1)(配方法)? y ? 3x ? x ? 2 ? 3( x ? ) ?
2

1 6

23 23 ? , 12 12

∴ y ? 3x ? x ? 2 的值域为 [
2

23 , ??) 12

改题:求函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域。
2

解:(利用函数的单调性)函数 y ? 3x ? x ? 2 在 x ? [1,3] 上单调增,
2

∴当 x ? 1 时,原函数有最小值为 4 ;当 x ? 3 时,原函数有最大值为 26 ∴函数 y ? 3x ? x ? 2 , x ? [1,3] 的值域为 [4, 26] 。
2

(2)求复合函数的值域:
2 设 ? ? ? x ? 6 x ? 5 ( ? ? 0 ),则原函数可化为 y ?

?。

又∵ ? ? ? x ? 6 x ? 5 ? ?( x ? 3) ? 4 ? 4 ,
2 2

∴ 0 ? ? ? 4 ,故 ? ? [0, 2] , ∴y?

? x 2 ? 6 x ? 5 的值域为 [0, 2]

(3)(法一)反函数法: 3x ? 1 2x ? 1 的反函数为 y ? ,其定义域为 {x ? R | x ? 3} , y? x ?3 x?2 ∴原函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} x?2
3x ? 1 3( x ? 2) ? 7 7 , ? ? 3? x?2 x?2 x?2

(法二)分离变量法: y ? ∵
7 7 ? 0 ,∴ 3 ? ? 3, x?2 x?2

∴函数 y ?

3x ? 1 的值域为 { y ? R | y ? 3} 。 x?2

2 (4)换元法(代数换元法):设 t ? 1 ? x ? 0 ,则 x ? 1 ? t ,

∴原函数可化为 y ? 1 ? t ? 4t ? ?(t ? 2) ? 5(t ? 0) ,∴ y ? 5 ,
2 2

∴原函数值域为 (??,5] 注:总结 y ? ax ? b ? cx ? d 型值域,
2 变形: y ? ax ? b ? cx ? d 或 y ? ax ? b ? cx ? d
2 2

(5)三角换元法: ∵ 1 ? x ? 0 ? ?1 ? x ? 1 ,∴设 x ? cos ? , ? ?[0, ? ] ,
2

则 y ? cos ? ? sin ? ? ∵ ? ?[0, ? ] ,∴ ? ?

2 sin(? ? ) 4

?

?

? 2 ? 5? ,1] , ? [ , ] ,∴ sin(? ? ) ? [? 4 2 4 4 4

∴ 2 sin(? ?

?
4

) ? [?1, 2] ,

∴原函数的值域为 [?1, 2]
??2 x ? 3 ( x ? ?4) ? (6)数形结合法: y ?| x ? 1| ? | x ? 4 |? ?5 (?4 ? x ? 1) , ?2 x ? 3 ( x ? 1) ?

∴ y ? 5 ,∴函数值域为 [5, ??) 。 (7)判别式法:∵ x ? x ? 1 ? 0 恒成立,∴函数的定义域为 R 。
2

由y?

2x2 ? x ? 2 2 得: ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 2 x ? x ?1



①当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,①即 3x ? 0 ? 0 ,∴ x ? 0 ? R ②当 y ? 2 ? 0 即 y ? 2 时,∵ x ? R 时方程 ( y ? 2) x ? ( y ? 1) x ? y ? 2 ? 0 恒有实根,
2

∴△ ? ? ( y ? 1) ? 4 ? ( y ? 2) ? 0 ,
2 2

∴1 ? y ? 5 且 y ? 2 , ∴原函数的值域为 [1,5] 。
1 2 x 2 ? x ? 1 x(2 x ? 1) ? 1 1 1 1 ? ? x? ? x? ? 2 ? , (8) y ? 2x ?1 2x ?1 2x ?1 2 x?1 2 2

∵x?

1 1 ,∴ x ? ? 0 , 2 2
? 2,

1 1 1 1 ∴ x ? ? 2 ? 2 (x ? ) 2 2 x?1 2 (x ? 1) 2 2

1 1 当且仅当 x ? ? 2 时,即 x 2 x?1 2

?

1? 2 时等号成立。 2

∴y?

1 2? , 2 1 , ??) 。 2

∴原函数的值域为 [ 2 ?

(9)(法一)方程法:原函数可化为: sin x ? y cos x ? 1 ? 2 y ,

∴ 1 ? y sin( x ? ? ) ? 1 ? 2 y (其中 cos ? ?
2

1 1? y
2

,sin ? ?

y 1? y2

),

∴ sin( x ? ? ) ?

1? 2 y 1? y2

? [?1,1] ,

2 ∴ |1 ? 2 y |? 1 ? y ,

∴ 3y ? 4 y ? 0 ,
2

∴0 ? y ?

4 , 3 4 3

∴原函数的值域为 [0, ] 。 点评: 上面讨论了用初等方法求函数值域的一些常见类型与方法, 在现行的中学数学要 求中,求值域要求不高,要求较高的是求函数的最大与最小值,在后面的复习中要作详尽的 讨论。 题型五:函数解析式 例 6.(1)已知 f ( x ? ) ? x ?
3

1 x

1 ,求 f ( x) ; x3

(2)已知 f ( ? 1) ? lg x ,求 f ( x) ; (3)已知 f ( x) 是一次函数,且满足 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 2 x ? 17 ,求 f ( x) ; (4)已知 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x ,求 f ( x) 。 解:(1)∵ f ( x ? ) ? x ?
3
3

2 x

1 x

1 x

1 1 1 ? ( x ? )3 ? 3( x ? ) , 3 x x x

∴ f ( x) ? x ? 3x ( x ? 2 或 x ? ?2 )。

2 2 , ? 1 ? t ( t ? 1),则 x ? x t ?1 2 2 ∴ f (t ) ? lg , f ( x) ? lg ( x ? 1) 。 t ?1 x ?1
(2)令 (3)设 f ( x) ? ax ? b(a ? 0) , 则 3 f ( x ? 1) ? 2 f ( x ? 1) ? 3ax ? 3a ? 3b ? 2ax ? 2a ? 2b ? ax ? b ? 5a ? 2x ? 17 , ∴ a ? 2,b ? 7 , ∴ f ( x) ? 2 x ? 7 。 (4) 2 f ( x) ? f ( ) ? 3x

1 x

①,

1 1 3 ,得 2 f ( ) ? f ( x) ? x x x 3 ① ?2 ? ②得 3 f ( x) ? 6 x ? , x 1 ∴ f ( x) ? 2 x ? x
把①中的 x 换成

②,

点评:第(1)题用配凑法;第(2)题用换元法;第(3)题已知一次函数,可用待定 系数法;第(4)题用方程组法。 例 7. 已知向量

? ? 1 a ? (sin x, ) , b ? (cos x, ? 1). 2
?
? ?

(1)当 a ? b 时, 求 x 的值. (2)(文科考生做) 求 f ? x ? ? a ? b · b 的最大值与最小值. (理科考生做)求 f ? x ? ? a ? b · b , 在 ? ? , 0 ? 上的最大值与最小值. ? 2 ? [解] (1)(文)

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ?

?

| x ? 1|? 1 ? ?1 ? x ? 1 ? 1 ? ?2 ? x ? 0 ? B= ? -2 , 0 ?
(理)A={x|

2 x ?1 ?1 ? 0 ? ? 0 ? ( x ? 1)( x ? 1) ? 0 x ?1 x ?1
∴A=(-1,1),定义域关于原点对称 f(x)=

2 ? 1 ? 0} x ?1

∴ -1<x<1

1? x , x ?1 1? x 1 ? x ?1 1? x 则 f(-x)=lg = lg ( , ) = ? lg x ?1 ?x ?1 x ?1
lg

∴f(x)是奇函数. (2)B={x| 1? | x ? a |? 0}

| x ? a |? 1 ? ?1 ?x ? ? ? 1 a? x 1? a ? a 1 ? ?

B=[-1-a,1-a] 当 a ?2 时, -1-a?-3, 1-a?-1, 由 A=(-1,1), B=[-1-a,1-a], 有 A ? B ? ? 反之,若 A ? B ? ? ,可取-a-1=2,则 a=-3,a 小于 2. (注:反例不唯一) 所以,a ?2 是 A ? B ? ? 的充分非必要条件。

例 8. 据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3000 元,为了增加农民的 收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加工,同时吸 收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x(x>0)万人进企业工作,那么剩下 从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入为

3000a 元(a>0)。 (1) 在建立加工企业后, 要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的 农民的年总收入,试求 x 的取值范围; (2)在(I)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时),能使这 100 万农 民的人均年收入达到最大。 解:(I)由题意得(100-x)· 3000· (1+2x%)≥100×3000, 2 即 x -50x≤0,解得 0≤x≤50, 又∵x>0 ∴0<x≤50; (II)设这 100 万农民的人均年收入为 y 元, (100-x)× 3000× (1+2x%)+3000ax -60x2+3000(a+1)x+300000 则 y= = 100 100 3 =- [x-25(a+1)]2+3000+475(a+1)2 5 (0<x≤50)

(i)当 0<25(a+1)≤50,即 0<a≤1,当 x=25(a+1)时,y 最大; (ii)当 25(a+1)>50,即 a >1,函数 y 在(0,50]单调递增,∴当 x=50 时,y 取最大 值。 答:在 0<a≤1 时,安排 25(a +1)万人进入企业工作,在 a>1 时安排 50 万人进入企业工作, 才能使这 100 万人的人均年收入最大 例 9.北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一枚 这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格 销售时该店一年可销售 2000 枚, 经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基 础上每减少一元则增加销售 400 枚, 而每增加一元则减少销售 100 枚, 现设每枚纪念章的销 售价格为 x 元(x∈N*). (Ⅰ)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的 销售价格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域); (Ⅱ)当每枚纪念销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并 求出这个最大值.
* ?[2000 ? 400(20 ? x)]( x ? 7), 7 ? x ? 20, x ? N (Ⅰ)依题意 y ? ? * ?[2000 ? 100(20 ? x)]( x ? 7), 20 ? x ? 40, x ? N



?x ) ?4 0 0 ( 2 5 x ? ( y?? ?x ) ?1 0 0 ( 4 0 x ? (

* 77 )x ? 2 0 x ? N ? , , * 270) , x ? 4 0x, ? N ?

此函数的定义域为 {x | 7 ? x ? 40, x ? N *}

?400[?( x ? 16)2 ? 81], 7 ? x ? 20, x ? N * ? (Ⅱ) y ? ? 27 2 1089 , 20 ? x ? 40, x ? N * ?100[?( x ? ) ? 2 4 ?
当 7 ? x ? 20 ,则当 x ? 16 时, ymax ? 32400 (元); 当 20 ? x ? 40 ,因为 x∈N*,所以当 x=23 或 24 时, ymax ? 27200 (元);

综合上可得当 x ? 16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元. 15. 已知函数 f ( x) 的定义域为 ? 0,1? ,且同时满足: (1)对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 2 ; (2) f (1) ? 3 (3)若 x1 ? 0, x2 ? 0 且 x1 ? x2 ? 1 ,则有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 . (I)求 f (0) 的值; (II)求 f ( x) 的最大值; (III)设数列 ? an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足 S n ? ? 1 (an ? 3), n ? N . 2
*

求证: f ( a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ? ? f ( an ) ? 3 ? 2n ? 1n?1 . 2 2?3 解:(I)令 x1 ? x2 ? 0 ,由(3),则 f (0) ? 2 f (0) ? 2,? f (0) ? 2 由对任意 x ? ? 0,1? ,总有 f ( x) ? 2,? f (0) ? 2 (2 分) (II)任意 x1 , x2 ? ? 0,1? 且 x1 ? x2 ,则 0 ? x2 ? x1 ? 1,? f ( x2 ? x1 ) ? 2

? f ( x2 ) ? f ( x2 ? x1 ? x1 ) ? f ( x2 ? x1 ) ? f ( x1 ) ? 2 ? f ( x1 )

? f max ( x) ? f (1) ? 3
(III)? Sn ? ? (an ? 3)(n ? N ) ? Sn ?1 ? ? (an ?1 ? 3)(n ? 2)
1 2 *

(6 分)
1 2

? an ? 1 an ?1 (n ? 2),? a1 ? 1 ? 0 ? an ? 3n1?1 3
? f (an ) ? f (
1 ? f ( 3n ) ? 1 ) ? f ( 1 ? 1 ? 1 ) ? f ( 2 )? f ( 1 )?2?3f ( 1 )?4 3n 3n 3n 3n 3n 3n 3n?1 1 f ( 1 ) ? 4 ,即 f (a ) ? 1 f (a ) ? 4 。 n ?1 n 3 3 3 3 3n?1
1 3n?1

(8 分)

? f (an ) ? 1 f (an ?1 ) ? 4 ? 312 f (an ?2 ) ? 342 ? 4 ? ? ? 3 3 3
1 故 f (an ) ? 2 ? n?1 3

f (a1 ) ? 3n4?1 ? 3n4?2 ? ? ? 342 ? 4 ? 2 ? 3n1?1 3

? f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (an ) ? 2n ? 1?31 即原式成立。 3

1?( 1 )n

(14 分)

点评:本题贴近生活。要求考生读懂题目,迅速准确建立数学模型,把实际问题转化为 数学问题并加以解决。该题典型代表高考的方向 题型 7:课标创新题 例 10.(1)设 f ( x) ? x ? ax ? bx ? cx ? d ,其中 a、b、c、d 是常数。
4 3 2

如果 f (1) ? 10, f (2) ? 20, f (3) ? 30, 求 f (10) ? f (?6)的值 ; (2)若不等式 2 x ? 1 ? m( x ? 1) 对满足 ? 2 ? m ? 2 的所有 m 都成立,求 x 的取值范
2

围。 解:(1)构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 10 x, 则 g (1) ? g (2) ? g (3) ? 0, 故:

f (10) ? f (?6) ? (10 ? 1)(10 ? 2)(10 ? 3)(10 ? m) ? 100 ? (?6 ? 1)( ?6 ? 2)( ?6 ? 3)( ?6 ? r ) ? 60 ? 8104 .
(2)原不等式可化为 ( x ? 1)m ? (2 x ? 1) ? 0.
2

构造函数 f (m) ? ( x ? 1)m ? (2 x ? 1)( ?2 ? m ? 2) ,其图象是一条线段。
2

根据题意,只须:
2 ? ? f (?2) ? ?2( x ? 1) ? (2 x ? 1) ? 0, ? ? f (2) ? 2( x 2 ? 1) ? ( 2 x ? 1) ? 0, ?

?2 x 2 ? 2 x ? 3 ? 0, ? ? 2 ? 即 ? 2 x ? 2 x ? 1 ? 0.

?1? 7 1? 3 ?x? 2 2 。 解得
点评:上面两个题目通过重新构造函数解决了实际问题,体现了函数的工具作用

例 11. (2009 四川卷文) V 是已知平面 M 上所有向量的集合, 设 对于映射 f : V ? V , a ?V , 记 a 的象为 f (a ) 。若映射 f : V ? V 满足:对所有 a、b ?V 及任意实数 ? , ? 都有

f (? a ? ? b) ? ? f ( a) ? ? f ( b),则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题:
①设 f 是平面 M 上的线性变换, a、b ?V ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ②若 e 是平面 M 上的单位向量,对 a ?V , 设f (a) ? a ? e ,则 f 是平面 M 上的线性变 换; ③对 a ?V , 设f (a) ? ?a ,则 f 是平面 M 上的线性变换; ④设 f 是平面 M 上的线性变换, a ?V ,则对任意实数 k 均有 f (ka) ? kf (a) 。 其中的真命题是 答案 ①③④ 解析 (写出所有真命题的编号)

①:令 ? ? ? ? 1 ,则 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) 故①是真命题

同理,④:令 ? ? k , ? ? 0 ,则 f (ka) ? kf (a) 故④是真命题 ③:∵ f (a) ? ?a ,则有 f (b) ? ?b

f (?a ? ?b) ? ?(?a ? ?b) ? ? ? (?a) ? ? ? (?b) ? ?f (a) ? ?f (b) 是线性变换,故③是
真命题 ②:由 f (a) ? a ? e ,则有 f (b) ? b ? e

f (?a ? ?b) ? (?a ? ?b) ? e ? ? ? (a ? e) ? ? ? (b ? e) ? e ? ?f (a) ? ?f (b) ? e

∵ e 是单位向量, e ≠0,故②是假命题 【备考提示】本小题主要考查函数,对应及高等数学线性变换的相关知识,试题立意新 颖,突出创新能力和数学阅读能力,具有选拔性质

五.【思维总结】
“函数” 是数学中最重要的概念之一, 学习函数的概念首先要掌握函数三要素的基本内 容与方法。由给定函数解析式求其定义域这类问题的代表,实际上是求使给定式有意义的 x 的取值范围 它依赖于对各种式的认识与解不等式技能的熟练。 1.求函数解析式的题型有: (1)已知函数类型,求函数的解析式:待定系数法;
新疆 源头学子小屋 特级教师 王新敞
wxckt@126.com http://www.xjktyg.com/wxc/

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(2)已知 f ( x) 求 f [ g ( x)] 或已知 f [ g ( x)] 求 f ( x) :换元法、配凑法; (3)已知函数图像,求函数解析式; (4) f ( x) 满足某个等式,这个等式除 f ( x) 外还有其他未知量,需构造另个等式:解方 程组法; (5)应用题求函数解析式常用方法有待定系数法等。 2.求函数定义域一般有三类问题: (1)给出函数解析式的:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合; (2)实际问题:函数的定义域的求解除要考虑解析式有意义外,还应考虑使实际问题有 意义; (3) 已知 f ( x) 的定义域求 f [ g ( x)] 的定义域或已知 f [ g ( x)] 的定义域求 f ( x) 的定义域: ①掌握基本初等函数(尤其是分式函数、无理函数、对数函数、三角函数)的定义域; ②若已知 f ( x) 的定义域 ? a , b ? ,其复合函数 f ? g ( x ) ? 的定义域应由 a ? g ( x) ? b 解出。 3.求函数值域的各种方法 函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的。 其类型依解析式的特点分可分三类: (1)求常见函数值域;(2)求由常见函数复合而成的函数的值域;(3)求由常见函数作某些“运 算”而得函数的值域。 ①直接法:利用常见函数的值域来求 一次函数 y=ax+b(a ? 0)的定义域为 R,值域为 R; 反比例函数 y ?

k (k ? 0) 的定义域为{x|x ? 0},值域为{y|y ? 0}; x

二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R,
2 当 a>0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }; 4a 2 当 a<0 时,值域为{ y | y ? (4ac ? b ) }。 4a

②配方法:转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值;常转化为型如:

f ( x) ? ax 2 ? bx ? c, x ? (m, n) 的形式;
③分式转化法(或改为“分离常数法”) ④换元法:通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想; ⑤三角有界法:转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域; ⑥基本不等式法: 转化成型如:y ? x ?

k 利用平均值不等式公式来求值域; (k ? 0) , x

⑦单调性法:函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合:根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域


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