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山东省济宁市2015届高考数学一轮复习 20函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的应用限时检测

时间:2016-12-21

课时限时检测(二十 )

函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模 型的应用

(时间:60 分钟 满分:80 分)命题报告 考查知识点及角度 五点法作图 已知图象求解析式 图象变换 综合应用 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 7 1,2,10 3,8 题号及难度 基础 中档 11 4 9,12 5 6 稍难

? π? ? π? 1. 要得到函数 y=sin?x- ?的图象可将函数 y=sin?x+ ?的图象上的所有点( 6? 6? ? ?
π A.向右平移 个长度单位 6 π B.向左平移 个长度单位 6 π C.向右平移 个长度单位 3 π D.向左平移 个长度单位 3

)

?? π ? π ? ? π? 【解析】 由 y=sin??x- ?+ ?=sin?x- ?知选 C. 3? 6? 6? ? ??
【答案】 C π 2.(2013·山东高考)将函数 y=sin(2x+φ )的图象沿 x 轴向左平移 个单位后,得到 8 一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( A. 3π 4 π B. 4 C.0 ) π D.- 4

【解析】 利用平移规律求得解析式,验证得出答案. π 向左平移 ? ? π? ? ? ? y=sin(2x+φ ) π ― ― → y=sin?2?x+ ?+φ ?=sin?2x+ +φ ?. 个单位 8

? ?

8?

?

?

4

?

3π 当 φ = 时,y=sin(2x+π )=-sin 2x,为奇函数; 4 π? π ? 当 φ = 时,y=sin?2x+ ?=cos 2x,为偶函数; 2? 4 ?

1

π? ? 当 φ =0 时,y=sin?2x+ ?,为非奇非偶函数; 4? ? π 当 φ =- 时,y=sin 2x,为奇函数.故选 B. 4 【答案】 B 3.(2014·浙江省台州中学模拟)已知函数 f(x)=Acos(ω x+φ )(x∈R)的图像的一部 π 分如图 3-4-8 所示,其中 A>0,ω >0,|φ |< ,为了得到函数 f(x)的图像,只要将函 2 数 g(x)=2cos -2sin (x∈R)的图像上所有的点( 2 2
2

x

2

x

)

图 3-4-8 π 1 A.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 6 2 π B.向右平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 6 π 1 C.向左平移 个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的 倍,纵坐标不变 3 2 π D.向左平移 个单位长度,再把所得 各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变 3 3 π 5π 9π 【解析】 由图可知 A=2, T= + = , 4 3 12 12 2π ∴T=π ,∴ω = =2.

T

?π ? 又 f? ?=-2, ?3?
故 2cos?

?2π +φ ?=-2. ? ? 3 ?

2π π 解得 +φ =π +2kπ ,又|φ |< , 3 2 π ∴φ = . 3 π? ? ∴f(x)=2cos?2x+ ?, 3? ?

2

又 g(x)=2cos -2sin =2cos x 2 2 π 所以为了得到 f(x)的图象,只要将函数 g(x)的图象上所有点的坐标,先向左平移 个 3 单位长度,再把各点的横坐标缩短到原来的 1/2 倍,纵坐标不变. 【答案】 C π 4.(2 014·沈阳模拟) 已知函数 f(x)=Atan(ω x+φ )(ω >0,|φ |< ),y=f(x)的 2

2

x

2

x

?π ? 部分图象如图 3-4-9,则 f? ?=( ?24?

)

图 3-4-9 A.2+ 3 C. 3 3 B. 3 D.2- 3

π? π π ?3 【解析】 由图形知,T= =2? π - ?= ,∴ω =2, 8? 2 ω ?8 π π 又 x= 是渐近线,且|φ |< , 8 2 π π π ∴2× +φ =kπ + ,k∈Z,∴φ = , 8 2 4 又 f(0)=1,从而可求 A=1, π? ? ∴f(x)=tan?2x+ ?, 4? ? π ?π ? ?π π ? 因此 f? ?=tan? + ?=tan = 3. 24 12 4 3 ? ? ? ? 【答案】 B 5. (2014·文登期中)如果若干个函数的图象经过平移后能够重合, 则称这些函数为“同 簇函数”.给出下列函数:

? π? ①f(x)=sin xcos x;②f(x)= 2sin 2x+1;③f(x)=2sin?x+ ?;④f(x)=sin x 4? ?
+ 3cos x.

3

其中是“同簇函数”的为( A.①② C.②③

) B.①④ D.③④

【解析】 三角函数 y=Asin(ω x+φ )+b 的图象在平移的过程中,振幅不变,①的函 1 ? π? 数的解析式化简为 y= sin 2x,④中的函数的解析式化简为 f(x)=2sin?x+ ?,将③中的 3? 2 ? π 函数的图象向左平移 个单位长度便可得到④中的函数图象,故选 D. 12 【答案】 D 6.(2014·洛阳模拟)为了研究钟表与三角函数的关系,

图 3-4-10 建立如图 3-4-10 所示的坐标系, 设秒针针尖位置 P(x, y). 若初始位置为 P0?

? 3 1? , ?, ? 2 2?
)

当秒针从 P0(此时 t=0)正常开始走时, 那么点 P 的纵坐标 y 与时间 t 的函数关系式为( A.y=sin?

?π t+π ? ? 6? ?30

π? ? π B .y=sin?- t- ? 6? ? 60 π? ? π D.y=sin?- t- ? 3? ? 30 3 π ,∴函数的初相是 φ = ,排除 B,D.又函数周 2 6

π? ? π C.y=sin?- t+ ? 6? ? 30 【解析】 由题意可得,sin φ =

期是 60(秒)且秒针按顺时针方向旋转,即 T=? - π ,故选 C. 30 【答案】 C 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分)

?2π ?=60,ω <0,所以|ω |=π ,即 ω = ? 30 ?ω ?

π π ?π ? 7. 函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图象的相邻两支截直线 y= 所得线段长为 , 则 f? ? 4 4 ?4? =________. π π 【解析】 依题意 = ,∴ω =4,f(x)=tan 4x, ω 4

?π ? 所以 f? ?=tan π =0. ?4?
4

【答案】 0

?π ? ?π ? 8.(2014·荆州模拟)已知 f(x)=cos(2x+φ ),其中 φ ∈[0,2π ),若 f? ?=f? ?, ?6? ?3? ?π π ? 且 f(x)在区间? , ?上有最小值,无最大值,则 φ =________. ?6 3?
【解析】 由题意知,当 x= π 时,f(x)取最小值, 4

π ∴2× +φ =π +2kπ ,k∈Z, 4 π ∴φ = +2kπ ,k∈Z, 2 又 0≤φ <2π , π ∴φ = . 2 【答案】 π 2

5π ? π ? 9.若将函数 y=sin?ω x+ ?(ω >0)的图象向右平移 个单位长度后,与函数 y= 6 ? 3 ? π? ? sin?ω x+ ?的图象重合,则 ω 的最小值为________. 4? ? 5π ? ? ? ? 5π ?? 【解析】 y=sin?ω x+ ?=sin?ω ?x+ ??, 6 ? ? ? ? 6ω ??

y=sin?ω x+ ?=sin?ω ?x+ ??, 4 4ω

? ?

π?

?

? ? ? ?

π ??

??

5π π π 由题意知,当 - = 时,ω 最小, 6ω 4ω 3 7 解得 ω = . 4 【答案】 7 4

三、解答题(本大题共 3 小题,共 35 分) 10.(10 分)已知函数 f(x) =2cos x+2 3sin x cos x-1. (1)求 f(x)的周期和单调递增区间; (2)说明 f(x)的图象可由 y=sin x 的图象经过怎样变化得到. 【解】 (1)f(x )=cos 2x+ 3sin 2x =2? π? 1 ? 3 ? ? sin 2x+ cos 2x?=2sin?2x+ 6 ?, ? ? 2 ?2 ?
2

f(x)最小正周期为 π ,
5

π π π 由 2kπ - ≤2x+ ≤2kπ + (k∈Z), 2 6 2 π π 可得 kπ - ≤x≤kπ + (k∈Z), 3 6 所以,函数 f(x)的单调递增区间为

?kπ -π ,kπ +π ?(k∈Z). ? 3 6? ? ?
1 π (2)将 y=sin x 的图象纵坐标不变, 横坐标缩短为原来的 倍, 将所得图象向左平移 个 2 12 单位,再将所得的图象横坐标不变,纵坐标伸长为原来的 2 倍得到 f(x)的图象. π ? ? 11. (12 分)(2014·南通模拟)设 x∈R, 函数 f(x)=cos(ω x+φ )?ω >0,- <φ <0? 2 ? ? 3 ?π ? 的最小正周期为 π ,且 f? ?= . ?4? 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π ]上的图象; (3)若 f(x)> 2 ,求 x 的取值范围. 2

2π 【解】 (1)∵函数 f(x)的最小正周期 T= =π , ω ∴ω =2, 3 π ?π ? ? π ? ?π ? ∵f? ?=cos?2× +φ ?=cos? +φ ?=-sin φ = ,且- <φ <0,∴φ =- 4 2 2 ?4? ? ? ?2 ? π . 3 π? ? (2)由(1)知 f(x)=cos?2x- ?,列表如下: 3? ? π 2x- 3 - π 3 0 π 2 π 3 π 2 5 π 3

6

x f(x)
图象如图:

0 1 2

π 6 1

5 π 12 0

2 π 3 -1

11 π 12 0

π 1 2

(3)∵f(x)>

π? 2 2 ? ,即 cos?2x- ?> , 3? 2 2 ?

π π π ∴2kπ - <2x- <2kπ + ,k∈Z, 4 3 4 π 7 则 2kπ + <2x<2kπ + π ,k∈Z, 12 12 π 7 即 kπ + <x<kπ + π ,k∈Z. 24 24
? ? ? π 7 ∴x 的取值范围是?x?kπ + <x<kπ + π ,k∈Z? 24 24 ? ? ?

.

12.(13 分)已知函数 f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ )(0<φ <π ,ω >0)为偶 π 函数,且函数 y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为 . 2

?π ? (1)求 f? ?的值; ?8?
π (2)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长 6 到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y=g(x)的图象,求 g(x)的单调递减区间. 【解】 (1)f(x)= 3sin(ω x+φ )-cos(ω x+φ ) =2? 1 ? 3 ? sin?ω x+φ ?- cos?ω x+φ ?? 2 2 ? ?

π? ? =2sin?ω x+φ - ?. 6? ? π? ? ∵y=2sin?ω x+φ - ?是偶函数, 6? ? π π ∴φ - =kπ + ,k∈Z. 6 2
7

π π 又 0<φ <π ,∴φ - = . 6 2 π? ? ∴f(x)=2sin?ω x+ ?=2cos ω x. 2? ? 2π π 由题意得 =2· ,所以 ω =2.故 f(x)=2cos 2x. ω 2 π ?π ? 因此 f? ?=2cos = 2. 4 ?8? (2)将 f(x)的图象向右平移 π ? π? 个单位后,得到 f?x- ?的图象,再将所得图象上各点的 6? 6 ?

?x π ? 横坐标伸长到原来的 4 倍,纵坐标不变,得到 f? - ?的图象. ?4 6 ? ?x π ? ? ?x π ?? 所以 g(x)=f? - ?=2cos?2? - ?? 4 6 ? ? ? ?4 6 ?? ?x π ? =2cos? - ?. ?2 3 ?
x π 当 2kπ ≤ - ≤2kπ + π (k∈Z), 2 3
2π 8π 即 4kπ + ≤x≤4kπ + (k∈Z)时,g(x)单调递减. 3 3 2π 8π ? ? 因此 g(x)的递减区间为?4kπ + ,4kπ + ?(k∈Z). 3 3 ? ?

8


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