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2016届安徽省合肥市第一中学高三段三考试数学(理)试题

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合肥一中 2015-2016 学年第一学期高三年级段三考试 数学(理科)试卷
分值 150 分 时长 120 分 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.) 1 1.已知函数 f ? x ? ? 的定义域为 M , g ? x ? ? ln ? 2 ? x ? 的定义域为 N ,则 M 4 ? x2 A. ?x ?2 ? x ? 2? B.

?? N ? ? (
R



?x x ? 2?

C. ?

D.

?x x ? 2?

2.在 ?ABC 中,下列命题错误 的是( ) .. A. ?A ? ?B 的充要条件是 sin A ? sin B B. ?A ? ?B 的充要条件是 cos A ? cos B C. ?A ? ?B 的充要条件是 tan A ? tan B cos A cos B D. ?A ? ?B 的充要条件是 ? sin A sin B 3.已知数列 ?an ? 是等比数列, a3 , a7 是方程 x2 ? 5x ? 4 ? 0 的两根,则 a5 ? ( A. 2 B. ?2 C. ?2 D. 4 ) )

4. 设 D 为 ?ABC 所在平面内的一点,且满足 BC ? 2CD ,则( A. AD ?
1 3 AB ? AC 2 2 1 3 B. AD ? ? AB ? AC 2 2

3 1 C. AD ? ? AB ? AC 2 2

D. AD ?

3 1 AB ? AC 2 2

5.函数 f ? x ? ? sin x ? ln x2 ? 1 的部分图象可能是(

?

?

y

y

) y

y
x
O

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

?? ? 6.已知 f ? x ? ? sin ? x ? cos? x ?? ? 0? ,若 y ? f ? x ? ? ? ? 0 ? ? ? ? 是周期为 ? 的偶函数,则 ? 的值是 2? ?
( A. )

? 8

B.

? 6

C.

? 4

D.

? 3
1

7.已知函数 f ? x ? ? lg x ,若方程 f ? x ? ? k 有两个不等的实根 ? , ? ,则 A. ?1, ?? ? B. ?1, ?? ? C.

?

?

1

?

的取值范围是(



? 2, ?? ?

D. ? 2, ?? ?

? x ? y ? ?3 ? x ? 2 y ? 12 ? 8.若变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是( ?2 x ? y ? 12 ? ? x ? 0, y ? 0



A.12

B.26

C.28
tan ?? ? ? ? tan ?? ? ? ?

D.33
?(

9. 已知 sin 2? ? 3sin 2 ? ,则
3 4
3


1 2 1 2

A.2 10. 设

B.

C.

3 2

D. ,

f ? x ? ? ? x ? 1? ? x ? 2

?an ?

是 公 差 为

的 等 差 数 列 , 且

f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? f ? a3 ? ? f ? a4 ? ? f ? a5 ? ? f ? a6 ? ? 18 ,则 a1 ? (
A. ?
1 4



B. ?

7 4

C. ?

5 4

D. ?

3 4

* 11. 已 知 数 列 ?an ? 满 足 2an?1 ? an ? 3 n ? N , 且 a1 ? 4 , 其 前 n 项 和 为 Sn , 则 满 足 不 等 式

?

?

Sn ? n ? 2 ?

1 的最小整数 n 是( 30

) D.8

A.5

B.6

C.7

12. 设 f ? x ? ? ln ? ax ?? 0 ? a ? 1? , 过点 P ? a,0 ? 且平行于 y 轴的直线与曲线 C : y ? f ? x ? 的交点为 Q , 曲 线 C 在点 Q 处的切线交 x 轴于点 R ,则 ?PQR 的面积的最大值是( A.1 B.
4 e2



C.

1 2

D.

8 e2

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若函数 f ? x ? ? x ex ? ae? x 是偶函数,则 a ? ________. 14.已知向量 a, b 的夹角为 15.设数列 ?an ? 满足 an ?1
5? ,且 a ? 2 , b ? 3 , c ? 2a ? 3b ,则 c ? ________. 6 4a ? 1 ? n ,则首项 a1 ? ________时,此数列只有 10 项. an ? 2

?

?

16.定义函数 f ? x ? ?? x? ? x ?? ,其中 ? x ? 表示不小于 x 的最小整数,如 ? 1.3 ?? 2 , ? ?2.1 ?? ?2 , 当 x ? ? 0, n? n ? N* 时 , 函 数 f ? x ? 的 值 域 为 An , 记 集 合 An 中 的 元 素 的 个 数 为 a n , 则
1 1 ? ? a1 a2 ? ? ________. a2 0 1 5 1

?

?

三、解答题(解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤.) 17.(本小题满分 12 分) 数列 ?an ? 满足: a1 ? a2 ? 2 , an? 2 ? 2an?1 ? an ? 2 . (Ⅰ)设 bn ? an ?1 ? an ,证明 ?bn ? 是等差数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项公式.

18.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 三个角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c ,且 a , b, c 成等比数列. (Ⅰ)求角 B 的取值范围; (Ⅱ)设 f ? x ? ? 3sin x ? 4cos x ,求 f ? B ? 的最大值及 f ? B ? 取得最大值时 tan B 的值.

19.(本小题满分 12 分) 已知 f ? x ? ? x ln x , g ? x ? ? x3 ? ax2 . (Ⅰ)讨论函数 g ? x ? 的极值点的个数; (Ⅱ)若不等式 2 f ? x ? ? g ? ? x ? 在 x ? ? 0, ?? ? 上恒成立,求实数 a 的取值范围.

20.(本小题满分 12 分)
2 2 * 设 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,且 a1 ? 1 , an ? 0 , Sn . ? n2an ? Sn ?1 n ? 2, n ? N

?

?

(Ⅰ)证明 an?2 ? an ? 2 n ? N* ; (Ⅱ)若 an ? log 3 bn ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Tn .

?

?

21.(本小题满分 12 分) 设 f ? x ? ? ? a ? x ? ex ? 1 . (Ⅰ)当 x ? 0 时, f ? x ? ? 0 ,求实数 a 的最大值; (Ⅱ)设 g ? x ? ?

ex ? 1 1 , x1 ? 1 , exn?1 ? g ? xn ? ? n ? N* ? ,证明 xn ? xn?1 ? n ? n ? N* ? . 2 x

请考生在 22-24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用 2B 铅笔在答题 卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图, AB 是 O 的直径,弦 BD, CA 的延长线相交于点 E , EF 垂直 BA 的延长线于点 F ,求证: (Ⅰ) ?DEA ? ?DFA; (Ⅱ) AB 2 ? BE ? BD ? AE ? AC .

E

D F
A
O

?

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

B

C ? x ?1? t 在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数),以该直角坐标系的原点 O 为极 ?y ? 2 ? t

点, x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下,圆 C2 的方程为 ? ? ?2cos? ? 2 3sin ? . (Ⅰ)求直线 C1 的普通方程和圆 C2 的圆心的极坐标; (Ⅱ)设直线 C1 和圆 C2 的交点为 A, B ,求弦 AB 的长. 24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? m ? x ? 2 ? m ? R ? ,且 f ? x ? 2? ? 0 的解集为 ? ?1,1? . (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)若 a , b, c 为正实数,且
1 1 1 ? ? ? m ,求证 a ? 2b ? 3c ? 9 . a 2b 3c

合肥一中 2015-2016 学年第一学期高三年级段三考试 数学(理科)试卷参考答案
一、选择题
题号 答案 1 D 2 C 3 A 4 B 5 B 6 A 7 C 8 C 9 D 10 A 11 B 12 D

二、填空题 13. ?1 ;14. 7 ;15. 三、解答题 17.(1) bn?1 ? bn ? 2, b1 ? a2 ? a1 ? 0 ,所以数列 {bn } 是以为 0 首项,2 为公差的等差数列. (2)由(1)可知 bn ? 2(n ? 1) ,累加可得 an ? n ? 3n ? 4 18.(1)由条件可知 b ? ac 所以 cos B ?
2

7 2015 ;16. . 10 1008

2

? a 2 ? c 2 ? b2 a 2 ? c 2 ? ac 1 ? ? ,所以 0 ? B ? . 3 2ac 2ac 2
4 3 , cos ? ? 5 5

(2) f ( x) ? 5sin( x ? ? ) ,其中 sin ? ? 所以 f ( B) ? 5sin( B ? ? ) , 可知当 B ? ? ?

?
3

?? ?

?
2



0? B?

?
3

?

?

5 ? B ?? ? ? 3 6

?
2

时, f ( B)max ? 5 .此时 tan B ?
2

cos ? 3 ? sin ? 4

19.(1) g ?( x ) ? 3 x ?当 ?

? 2ax ? 1 ? 0 的判别式 ? ? 4a2 ? 12 .

3 ? a ? 3 时, ? ? 4a2 ? 12 ? 0 , g?( x) ? 0 ,
g ( x) 在 R 单调递增,无极值,无极值点.

所以 y ?

?当 a ? ?

3 或 a ? 3 时, ? ? 0
2

所以 g ?( x ) ? 3 x
x1 ?

? 2ax ? 1 ? 0 有两个不等的实根 x1, x2 ,则

?a ? a 2 ? 3 ?a ? a 2 ? 3 ? x2 ? 3 3

列表:

根据表格可知此时函数 g ?x ? 有两个极值点,极大值点 x1 ,极小值点 x2 .
2 (2)即: 2 x ln x ? 3x ? 2ax ? 1 对 x ? ?0,??? 上恒成立

3 1 x ? 对 x ? ?0,??? 上恒成立 2 2x 3x 1 设 h?x ? ? ln x ? , ? 2 2x ?x ? 1??3x ? 1? 1 3 1 ' ?? 则 h ?x ? ? ? ? 2 x 2 2x 2x 2 1 ' 令 h ?x ? ? 0 ,得 x ? 1, x ? ? (舍) 3
可得 a ? ln x ?
' ' 当 0 ? x ? 1 时, h ?x ? ? 0 ;当 x ? 1时, h ?x ? ? 0

? 当 x ? 1时, h ? x ? 取得最大值, h ? x ? max =-2,? a ? ?2 .

? a 的取值范围是 ?? 2,??? .
20.(1).当 n ≥ 2 时,由已知得 S n
2 2 2 ? Sn ?1 ? n an

因为 an ? Sn ? Sn?1 ? 0 ,所以 S n 于是 S n ?1 ?

? S n?1 ? n 2 .

…………………………①

S n ? ( n ? 1) 2 .

…………………………………………………②

由②-①得: an?1 ? an 于是 an?2

? 2n ? 1.……………………………………………③

? an?1 ? 2n ? 3 .……………………………………………………④ ? an ? 2(n ? 2) .………………………………………⑤

由④-③得: an?2 由①有 S 2 由③有 a2

? S1 ? 4 ,所以 a2 ? 2 .

? a3 ? 5 ,所以 a3 ? 3 ,

? a3 ? a1 ? 1
所以: an ? 2

? an ? 2(n ? N * )

(2)由(1)可知:数列 {a2k ?1} 和 {a2 k } 分别是以 1, 2 为首项,2 为公差的等差数列. 所以 a2k

? 2 ? (k ? 1) ? 2 ? 2k , a2k ?1 ? 1 ? (k ? 1) ? 2 ? 2k ? 1

?an ? n(n ? N * ) ,?bn ? 3n , an ? bn ? n ? 3n
由错位相减法可得到: Tn ? 21.(1)

(2n ? 1) ? 3n?1 ? 3 4

f ?( x) ? (a ? x ? 1)e x ,令 f ?( x) ? 0 f ' ( x ) ? 0 在 x > 0 时恒成立,

得: x ? a ? 1 当 a ? 1 ? 0 时, 所以 y ?

f ( x) 在上 (0, ??) 单调递减;
即当 x > 0 时, f ( x) < 0 成立

? f ( x) ? f (0) ? a ? 1 ? 0
当 a ? 1 ? 0 时, y ?

f ( x) 在 (0, a ? 1) 上单调递减增,在 (a ? 1, ??) 单调递减;

??x0 ? a ? 1 ? 0, f ( x0 ) ? f (0) ? a ? 1 ? 0
与 x > 0 时, f ( x) < 0 矛盾,以实数 a 的最大值为1 .

23.(Ⅰ)由 C1 的参数方程消去参数 t 得普通方程为 x ? y ? 1 ? 0 圆 C 2 的直角坐标方程 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 4 ,所以圆心的直角坐标为 (?1, 3) , 因此圆心的一个极 坐标为 (2,

2? ) .(答案不唯一,只要符合要求就给分) 3

(Ⅱ)由(Ⅰ)知圆心 (?1, 3) 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离 d ?

?1 ? 3 ? 1 2

?

6, 2

所以 AB ? 2 4 ?

6 ? 10 . 4

24.解:(1) ∵ f(x+2)=m-|x|≥0,∴ |x|≤m, ∴ m≥0,-m≤x≤m, ∴ f(x+2)≥0 的解集是[-1,1],故 m=1. 1 1 1 (2)由(1)知 + + =1,a、b、c∈R+,由柯西不等式得 a 2b 3c 1 1 1? 1 1 1 2 a+2b+3c=(a+2b+3c)? ? a+2b+3c?≥( a· a+ 2b· 2b+ 3c· 3c) =9. 另解:

1 1 1 a 2b a 3c 3c 2b ( ? ? )(a ? 2b ? 3c) ? 3 ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 9 a 2b 3c 2b a 3c a 2b 3c
当且仅当 " a ? 2b ? 3c " 时,取等号.


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