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人教A版高中数学选修2-2课件1.7.1定积分在几何中的应用课件_图文

时间:

高中数学课件
灿若寒星整理制作

第一章导数及其应用 1.7.1定积分在几何中的应用

一、复习引入 1、定积分的几何意义:

? 当

f(x)?0

时,积分

b
f

(x)dx

a

在几何上表示由 y=f (x)、

x?a、x?b与x轴所围成的曲边梯形的面积。

y

y

y?f(x)

Oa

bx

b

c

b

?a f (x)dx ??a f (x)dx??c

f

b
(x)dx。?a f

(x)dx

??-ac Sf (x)dx??cb

f(

Oa

bx

y?f(x)

当f(x)?0时,由y?f(x)、x?a、x?b与x轴所围成

的曲边梯形位于x轴的下方,

2.微积分基本定理: 如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,且 F?(x)=f(x),那么:
b
?a f (x)dx ? F (b) - F (a)

二、新课讲解
1.几种典型的平面图形面积的计算:

类型1:求由一条曲线y=f(x)和直线

x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S

y y ? f (x)

y y ? f (x)

oa

bx

oa c b x

(1)

(2)

(3)

b
(1) S ? ?a f (x)dx

b
(2) S ? -?a f (x)dx

c

b

c

b

(3) S ?| ?a f (x)dx | ??c f (x)dx ? -?a f (x)dx ? ?c f (x)dx

类型2:由两条曲线y=f(x)和y=g(x),直线 x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积S

y ? f (x)

y
y ? f (x)

y ? g(x)

oa

bx

(1)

y ? g(x) (2)

b

b

b

(1) S ? ?a f (x)dx - ?a g(x)dx ? ?a [ f (x) - g(x)]dx

b

b

b

(2) S ? ?a f (x)dx? | ?a g(x)dx |? ?a [ f (x) - g(x)]dx

例题讲解
例 1. 计算由两条抛物线 y2 ? x和 y ? x2
围成图形的面积.
分析:首先画出草图.从图中可以看出,所求 图形的面积可以转化为两个曲边梯形面积的 差,进而可以用定积分求面积s.为了确定出 被积函数和积分的上、下限,我们需要求 出两条曲线的交点的横坐标.

解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:

解方程组

?? y ? ?? y

? ?

x x2

?

?x

? ?

y

? ?

00或???xy

?1 ?1

y y? x B y2 ? x

即两曲线的交点为(0,0),(1,1)

C y ? x2

S = S曲边梯形OABC - S曲边梯形OABD

o y ?xx2 D

A

? ? ? 1 xdx - 1 x2dx

0

0

O

? S =

1
(
0

x - x2)dx

23 ? ( x2
3

-

x3 3

)

|10

?

1. 3

2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限) (3) 写出平面图形的定积分表达式; (4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

例2.计算由曲线直y ?线y=2xx-4以及x轴围成图形
的面积.
解:作出y=x-4,的图y ?象2如x 图所
示:
解方程组:?? y ? 2x 得:直线y=?xy-4?与x -交y4?点为2x(8,4) 直线y=x-4与x轴的交点为(4,0)

因此,所求图形的面积为一 个曲边梯形与一三角形面积 之差:

? ? S ? 8 2xdx - 8 (x - 4)dx ? 40 本题还有其他解法吗?

0

4

3

另解1:将所求平面图形的面

积分割成左右两个部分。

4

8

8

? ? ? S ? S1 ? S2 ? 0

2xdx ?[ 4

2xdx - (x - 4)dx] 4

22

4
3

22

8
3

1

8 40

?

x2 ?

x 2 - (x - 4) ?

3

03

42

43

另解2:将所求平面图形的面积

看成位于y轴右边的一个梯形与

一个曲边梯形的面积之差,因此

取y为积分变量,

还需要把函数y=x-4变形为

x=y+4,函数变y ?形为2x

x ? y2 2

4

4 y2

40

S ? ?0 ( y ? 4)dy - ?0

dy ? 2

3

y ? 2x
S S2
1
y? x-4

A
思考:将曲线沿x轴旋转,

与直线相交于一点,求曲 线与直线围成的面积。

S2 S1 S1

解法1:

B

2

8

? ? S ? 2S1 ? S2 ? 2 0

2xdx ? ( 2x - x ? 4)dx 2

2

8

? ?0 2 2xdx ? ?2 ( 2x - x ? 4)dx

?

42 3

3
x2

|02

?(2 2 3

3
x2

-

1 2

x2

?

4x) |82 ?

16 3

?

64 3

-

26 3

? 18

思考:将取y为积分变量,

把函数y=x-4变形为x=y+4,

A

函数变x形? y为2 2

y ? 2x

解法2:

4

y2

? S ? [( y ? 4) - ]dy

-2

2

B

? y2

4 ? 4y 4 - y3

4
? 18

2 -2

-2 6 -2

课堂小结
1.思想方法: 数形结合及转化. 2.求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤:
(1)作出示意图;(弄清相对位置关系) (2)求交点坐标,确定图形范围(积分的上限,下限) (3)写出平面图形的定积分表达式;
(4)运用微积分基本定理计算定积分,求出面积。

课堂练习
练习1.求抛物线y=x2-1,直线x=2,y=0所围 成的图形的面积。
解:如图:由x2-1=0得到抛物线

与x轴的交点坐标是(-1,0),

y

(1,0).所求面积如图阴影所示:

所以:

? ? S ? 2 (x2 -1)dx - 1 (x2 -1)dx

1

-1

? ( x3 - x) 2 - ( x3 - x) 1 ? 8

3

13

-1 3

练习2.求抛物线y=x2+2与直线y=3x和x=0所 围成的图形的面积。

解:

y

? ? S ? 1(x2 ? 2 - 3x)dx ? 2 (3x - x2 - 2)dx

0

1

?

(

x3

?

2x

-

3x2

)

1

?

3x3 (

-

x3

-

2x)

2

3

20 2 3

1

? 5 ? 1 ?1

x

66


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