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导数解决含参恒成立问题(多变量问题)_图文

时间:2018-07-03

一、导数解决含参恒成立问题(多变量问题) 恒成立问题是高中数学的重要题型,在高考中常常与函数、导数、不等式结合以 压轴题的身份出现,是整个高中教学的重点,也是难点。恒成立问题主要分为“含参 恒成立”和“不含参恒成立”两类,后者相对容易处理,例如:

f ( x) ? c, ?x ?[a, b]恒成立 ? f ( x)min ? c, x ?[a, b]
从而转化为最值问题的求解(其他类型同理); 而“含参恒成立”问题,例如

f ( x, k ) ? c, ?x ?[a, b]恒成立(c为常数, k为参数)
也可等价转化为 f ( x, k ) min ? c, x ?[a, b] ,但参数k的“掺和”往往使函数的最值变 得不确定,不可避免地要经分类讨论,进一步使整个解题过程显得繁琐不堪。 其实,“含参恒成立”问题也可用“参变量分离”的方法处理:将 f ( x, k ) ? c 等价变形为 g ( x) ? h(k ) ,则等价于 g ( x) min ? h(k ) 再解关于k的不等式即可。

主要分三种类型: 1.可分离变量,且分离后两侧同构:可构造新函数,利用新函数单调性处理; 2.可分离变量,但分离后两侧不同构:构造两个新函数,利用恒成立、能成立技巧处理; 3.不可分离变量:进行齐次化构造,通过换元后构造新元的新函数后处理。

例 1:已知函数 f ( x) ? ( x ? 1) 2 ? a ln x 。 (1)讨论函数的单调性; (2)若 函 数 f ( x) 在 区 间 (0,??) 内 任 取 两 个 不 等 的 实 数 x1 , x2 , 不 等 式

f ( x1 ? 1) ? f ( x2 ? 1) ? 1 恒成立,求 a 的取值范围。 x1 ? x2

1 2 练习:已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ? (a ? 1) x, a ? R 。 2 (1)当 a=1 时,求函数 f ( x) 图像在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (2)当 a<0 时,讨论函数 f ( x) 的单调性; f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? a 恒成立?若存在, (3)是否存在实数 a,对任意的 x1 , x2 ? (0,??)且x1 ? x2有 x2 ? x1
求出 a 的取值范围;若不存在,说明理由。

练习:已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x(a ? R) 。 (1)讨论函数 f ( x) 在定义域内的极值点的个数; (2)若函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极值,对 ?x ? ?0,???, f ( x) ? bx ? 2 恒成立,求实数 b 的 取值范围。 (3)当 x ? y ? e ? 1 时,求证: e
x? y

ln(x ? 1) ? 。 ln( y ? 1)

类型 2.可分离变量, 但分离后两侧不同构: 构造两个新函数, 利用恒成立、 能成立技巧处理; 例 2: 已 知 函 数

1 2 f ( x) ? x ? (1 ? x)e x (e 为 自 然 对 数 的 底 ) , 2

a g ( x) ? x ? (1 ? a ) ln x ? , a ? 1. x (1)求曲线 f ( x) 在 x=1 处的切线方程; (2)讨论函数 g ( x) 的极小值; (3)若对任意的 x1 ? ?? 1,0? ,总存在 x2 ? ?e,3?,使得 f ( x1 ) ? g ?x2 ? 成立,求实数 a 的取
值范围。

练习:已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? ln x 。 (1)求 f ( x) 的最大值;

(2)对 任 意 的 x1 , x2 ? ?0,??? , 且 x2 ? x1 是 否 存 在 实 数 m , 使 得
2 2 mx2 ? mx 1 ? x1 ln x1 ? x2 ln x2 ? 0 恒成立;若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,说明

理由。

类型 3.不可分离变量:进行齐次化构造,通过换元后构造新元的新函数后处理。

x ?1 例 3:已知函数 f ( x ) ? x (e 为自然对数的底) 。 e (1)求 f ( x) 的单调区间; 1 (2)设函数 ? ( x) ? xf ( x) ? tf ?? x ? ? x , 存在实数 x1 , x2 ? ?0,1? , 使得 2? ( x1 ) ? ? ( x2 ) 成立, e
求实数 t 的取值范围。


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