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重庆市重庆一中2014届高三上学期期中考试 数学文试题

时间:2013-11-30


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秘密★启用前

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期半期考试

数 学 试 题 卷(文科)2013.11
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.已知命题 p : ?x0 ? R ? , log 2 x0 ? 1 ,则 ?p 是( A. ?x ? R ? , log 2 x ? 1 C. ?x0 ? R ? , log2 x0 ? 1 )

B. ?x ? R ? , log 2 x ? 1 D. ?x0 ? R ? , log2 x0 ? 1 ) D. 无穷多个 ) D.

2.集合 {i n | n ? N *} (其中 i 是虚数单位)中元素的个数是( A. 1 B. 2 C. 4

3.在 [?2,3] 上随机取一个数 x,则 ( x ? 1)(x ? 3) ? 0 的概率为( A.

2 5

B.

1 4

C.

3 5

4 5


4. 购物大姐常说“便宜没好货” ,她这句话的意思是: “不便宜”是“好货”的(

1 sin ? ? cos ? 5.已知 tan(? ? ? ) ? ,则 =( ) 2 2sin ? ? cos ? 1 1 1 A. B. C. ? 4 2 4

A. 充分条件

B. 必要条件

C. 充分必要条件

D. 既非充分也非必要条件

D. ?

1 2
)

6.如图为一个几何体的三视图,尺寸如图所示,则该几何体的体积为 (

A. 3 ?

?
6

B. 3 ?

4 ? 3

C. 3 3 ?

4 ? 3

D. 3 3 ?

?
6


7.要得到函数 y ? sin 2 x 的图象,可以把函数 y ?

2 (sin 2 x ? cos 2 x) 的图象( 2

---

A. C.

? 个单位 8 ? 向左平移 个单位 4
向左平移

? 个单位 8 ? D.向右平移 个单位 4
B.向右平移

? x ? 1, ? 8. 实数 x、 满足 ? y ? a ( a ? 1), 若目标函数 z ? x ? y 取得最大值 4, y 则实数 a 的值为( ? x ? y ? 0, ?
A. ? 2 B.2 C.1 D. ? 1 9.设数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? a4 ? 6 ,且对任意 n ? N * ,函数

)

1 ? f ( x) ? (an ? an?1 ? an?2 ) x ? an?1 ? cos x ? an?2 sin x 满足 f '( ) ? 0 若 c n ? a n ? an 2 2
则数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n 为( )(原创)

n2 ? n 1 ? n A. 2 2 2 n ?n?2 1 ? n C. 2 2

n2 ? n ? 4 1 ? n ?1 B. 2 2 2 n ?n?4 1 ? n D. 2 2

10. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 的最大值
为( A.1 ) B.2 C.3 D.4

二、填空题(每小题 5 分,共 25 分)

1 4 11.一组样本数据的茎叶图如右: 2 0 1 3 3 4 ,则这组数据的平 3 6
均数等于 .

12.若向量 a ? ( x ? 1,2),b ? (4, y) 相互垂直,则点(2,3)到点 (x,y)的距离的最小值为 . (原创)

13. 执行右边的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n=

.

14. 已 知 函 数 f ( x)(x ? R) 满 足 f (1) ? 1 , 且 f (x) 的 导 函 数

---

1 x 2 ,则 f ( x) ? ? ? 0 的解集为____________(原创) 3 3 3 2 2 x y 15.设双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,离心率为 e ,过 F2 的 a b 直线与双曲线的右支交于 A, B 两点,若 ?F1 AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形, f ' ( x) ?
则 e ? _____________
2

三、解答题(共 75 分) 16. (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 已知等差数列 ?an ? 中, a2 ? 5, a4 ? a1 ? 12 . (Ⅰ) 求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ) 当 S n 取最大值时求 n 的值.(原创)

17. (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 某市为增强市民的环境保护意识,面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中 随机抽取 100 名按年龄分组:第 1 组 ? 20,25? ,第 2 组 ? 25,30? ,第 3 组 ?30,35? ,第 4 组

?35,40? ,第 5 组 [40, 45] ,得到的频率分布直方图如图所示.
(Ⅰ)若从第 3,4,5 组中用分层抽样的方法抽取 6 名志愿者参广场的宣传活动,应从第 3, 4,5 组各抽取多少名志愿者? (Ⅱ) 在(1)的条件下,该市决定在第 3,4 组的志愿 者中随机抽取 2 名志愿者介绍宣传经验, 求第 4 组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

18. (本小题满分 13 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 7 分) 设△ABC 的三边 a,b,c 所对的角分别为 A,B,C, (Ⅰ )求 A 的值;

a?c sin B ? b ? c sin A ? sin C

---

(Ⅱ )求函数 f ( x) ? 2 sin? x ?

? ?

A? ? A? A? 2? ? cos? x ? ? ? 2 3 cos ? x ? ? ? 3 的单调递增区间. 2? ? 2? 2? ?

19.(本小题满分 12 分,第(Ⅰ)问 6 分,第(Ⅱ)问 6 分) 如 右 图 , 在 底 面 为 平 行 四 边 形 的 四 棱 柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, D1D ? 底面 ABCD , AD ? 1 ,

CD ? 2 , ?DCB ? 60? .
(Ⅰ)求证:平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 ; (Ⅱ)若 D1D ? BD ,求四棱锥 D ? A1BCD1 的体积.

20. (本小题满分 12 分第(Ⅰ)问 5 分,第(Ⅱ)问 7 分) 如图是某重点中学学校运动场平面图, 运动场总面积 15000 平方米, 运动场是由一个矩形

ABCD 和分别以 AD 、 BC 为直径的两个半圆组成,塑胶跑道宽 8 米,已知塑胶跑道每平
方米造价为 150 元,其它部分造价每平方米 80 元, (Ⅰ)设半圆的半径 OA ? r (米) ,写出塑胶跑道面积 S 与 r 的函数关系式 S (r ) ; (Ⅱ)由于受运动场两侧看台限制, r 的范围为 r ? ?30, ? , 45 问当 r 为何值时, 运动场造价最低 (第 2 问 ? 取 3 近似计算) .

21. (本小题满分 12 分, 第(Ⅰ)问 4 分,第(Ⅱ)问 4 分,第(3)问 4 分) 4 2 2 已知圆 C1 : x ? y ? , 直线 l : y ? x ? m(m ? 0) 与圆 C1 相切,且交椭圆 5
C2 : x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 于 A1 , B1 两点, c 是椭圆的半焦距, c ? 3b , a2 b2

(Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)O 为坐标原点,若 OA ? OB1 , 求椭圆 C 2 的方程; 1 (Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设椭圆 C 2 的左右顶点分别为 A,B,动点 S ( x1 , y1 ) ? C2 ( y1 ? 0) ,

---

直线 AS,BS 与直线 x ?

34 分别交于 M,N 两点,求线段 MN 的长度的最小值. 15

2013 年重庆一中高 2014 级高三上期半期考试

数 学 答 案(文科)2013.11
一、 选择题: 1—5 ACDBC 二、填空题: 11. 23 三、解答题 16 解: (Ⅰ)由 a4 ? a1 ? 3d ? ?12 ? d ? ?4 ? an ? a2 ? (n ? 2)d ? 13 ? 4n ?6 分
(Ⅱ) 因为 a 2 ? a1 ? d ? a1 ? 9, S n ? na1 ?

6-10

DABCA 14. (1, ??) 15. 5 ? 2 2

12.

5

13. 4

n(n ? 1) d ? ?2n 2 ? 11n 2

对称轴为 n ?

11 ,? n ? 3 时 S n 取最大值 15. 4

????13 分 第 4 组的人数为 0.2×100=20, ????3 分 第

17 解:(Ⅰ) 第 3 组的人数为 0.3×100=30, 5 组的人数为 0.1×100=10.

因为第 3,4,5 组共有 60 名志愿者,所以利用分层抽样的方法在 60 名志愿者中抽 取 6 名志愿者,每组抽取的人数分别为:第 3 组: 5 组:
10 ×6=1. 60 30 20 ×6=3; 第 4 组: ×6=2; 第 60 60

所以应从第 3,4,5 组中分别抽取 3 人,2 人,1 人.

????6 分

(Ⅱ) 记第 3 组的 3 名志愿者为 A1,A2,A3,第 4 组的 2 名志愿者为 B1,B2,.则从 5 名

志愿者中抽取 2 名志愿者有: (A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),,(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2) 共有 10 种. 其中第 4 组的 2 名志愿者 B1,B2 至少有一名志愿者被抽中的有: (A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2),共有 7 种 ????11 分 所以第 4 组至少有一名志愿者被抽中的概率为 18 解: (Ⅰ )由题
a?c sin B b ? ? ? b 2 ? bc ? a 2 ? c 2 b ? c sin A ? sin C a ? c b2 ? c2 ? a2 1 ? ? ? ? cos A ? A ? 2bc 2 3
7 . 10

????9 分

????13 分

---

??????6 分
A? ? A? A? ? ? (Ⅱ f ( x) ? 2 sin? x ? ? cos? x ? ? ? 2 3 cos2 ? x ? ? ? 3 ) 2? ? 2? 2? ? ?

? sin(2 x ? A) ? 3 (cos(2 x ? A) ? 1) ? 3 ? sin(2 x ? A) ? 3 cos(2 x ? A) ? 2? ? 2 sin(2 x ? A ? ) ? 2 sin(2 x ? ) 3 3
由 2k? ?

?
2

? 2x ?

2? ? 7? ? ? 2k? ? ? k? ? ? x ? k? ? (k ? Z ) 3 2 12 12

7? ?? ? 所以函数 f (x) 的单增区间为: ?k? ? , k? ? ?(k ? Z ) 12 12? ?
(Ⅰ)证明: 19 解:

??????13 分

在 ?ABD 中,由余弦定理得:BD ? AD2 ? AB2 ? 2 AD ? AB cos ?DCB ? 3 , 所以
AD2 ? BD2 ? AB2 ,所以 ?ADB ? 90? ,即 AD ? BD ,

????3 分

又四边形 ABCD 为平行四边形,所以 BC ? BD ,又 D1D ? 底面 ABCD , BC ? 底面 ABCD ,所以 D1D ? BC , 又 D1D ? BD ? D ,所以 BC ? 平面 BDD1B1 , ?? ????????5 分

又 BC ? 平面 A1BCD1 ,所以平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1B1 . ????????6 分
(Ⅱ)法一:连结 BD1 ,∵ DD1 ? BD ? 3 ,∴ BD1 ? 6

∵ BC ? 平面 BDD1B1 ,所以 BC ? BD1 ,

???????????8 分 ????10 分
D1 B1 M D A C B C1

1 所以四边形 A1BCD1 的面积 S A1BCD1 ? 2 ? ? BC ? BD1 ? 6 , 2

6 取 BD1 的中点 M ,连结 DM ,则 DM ? BD1 ,且 DM ? , 2 A1

又平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ,平面 A1BCD1 ? 平面 BDD1 ? BD1 , 所以 DM ? 平面 A1BCD1 ,
1 所以四棱锥 D ? A1BCD1 的体积:V ? ? S A1BCD1 ? DM ? 1 . 3

??12 分

法二: 四棱锥 D ? A1BCD1 的体积V ? VD? A1BD1 ?VD?BCD1 ,?????8 分 而三棱锥 D ? A1BD1 与三棱锥 D ? BCD1 底面积和高均相等,?????10 分

---

1 所以V ? VD? A1BD1 ?VD?BCD1 ? 2VD?BCD1 ? 2VD1 ? BCD ? 2 ? ? S BCD ? DD1 ? 1 .?12 分 3

15000? ?r 2 S (r ) ? ? [r ? (r ? 8) ] ? 8 ? 2 ? 2r 20 解: (Ⅰ) 120000 15000 ? 8?r ? ? 64? (8 ? r ? ) r ?
2 2

??????????5 分 (Ⅱ)总造价 y ? 150S ? 80(15000? S )

? 120000? 70S 15000 ? 8? ) r 15000 ? 120000? 560(3r ? ? 24) r ? 120000? 560(?r ?

r ? [30, ] 45
??????????8 分

令 t ? 3r ? ∴ t ? 3r ?

15000 15000 ?0 ,则 t ? ? 3 ? r r2 15000 在区间 r ? ?30, ? 上单调递减 45 r

故当 r ? 45 时,总造价最低.

????????????12 分

21 解: (Ⅰ)直线 l : y ? x ? m 与圆 C1 : x 2 ? y 2 ?

m 4 相切,所以 ? 5 2

4 2 10 .m ? 5 5

?????4 分
(Ⅱ) 将 l : y ? x ?

2 10 代入得 5

x2 y2 4 10 2 8 C 2 : 2 ? 2 ? 1 得: (b 2 ? a 2 ) x 2 ? a x ? a 2 ? a 2b 2 ? 0 5 5 a b



设 A1 ( x1 , y1 ), B1 ( x2 , y 2 ), 则

x1 ? x2 ?

? 4 10a 2 8a 2 ? 5a 2 b 2 2 10 2 10 40b 2 ? 25a 2 b 2 , x1 x2 ? ; y1 y 2 ? ( x1 ? )(x2 ? )? 5 5 5(b 2 ? a 2 ) 5(b 2 ? a 2 ) 25(a 2 ? b 2 )


因为 OA1 ? OB1 , ? 4(a 2 ? b 2 ) ? 5a 2b 2 ? 0 由已知 c ? 3b, a 2 ? 4b 2 代人(2) b 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? b 2 ? 1, a 2 ? 4

---

所以椭圆 C 2 的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

?????8 分

(Ⅲ)显然直线 AS 的斜率存在,设为 k 且 k ? 0 则 AS : y ? k ( x ? 2)

? y ? k ( x ? 2) 34 64 k ? ) ,由 ? x 2 依题意 M ( , 得: (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 16k 2 x ? 16k 2 ? 4 ? 0 2 15 15 ? ? y ?1 ?4
16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 ? x0 ? , y 0 ? k ( x0 ? 2) 即 设 S ( x0 , y0 ) 则 x0 ? (?2) ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 S(

y0 2 ? 8k 2 4k 1 , ) ,又 B(2,0)所以 k BS ? ?? , 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k x0 ? 2 4k

BS: y ? ?

1 ( x ? 2) 4k

1 ? ? y ? ? 4k ( x ? 2) 34 1 64k 1 64k 1 16 ? ? N( , ),? k ? 0 ? MN ? ? ?2 ? ? 由? 15 15k 15 15k 15 15k 15 ? x ? 34 ? 15 ?
1 所以 k ? ? 时: MN 8
min

?

16 15

?????12 分


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