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【课堂新坐标】2017届高三理科数学(通用版)二轮复习限时集训:6.5不等式与线性规划.doc

时间:2017-04-07


专题限时集训(二十)

不等式与线性规划

[A 组 高考题、模拟题重组练] 一、基本不等式 1 1 1 2 1.(2016· 安庆二模)已知 a>0,b>0,a+b= + ,则 + 的最小值为( a b a b A.4 C.8 B B.2 2 D.16 )

1 1 [由 a+b= + ,有 ab=1, a b 1 2 × =2 2.] a b )

1 2 则 + ≥2 a b

1 2 2.(2016· 长沙一模)若实数 a,b 满足 + = ab,则 ab 的最小值为( a b A. 2 C.2 2 C B.2 D.4

1 2 [依题意知 a>0,b>0,则 + ≥2 a b

2 2 2 1 2 = ,当且仅当 = ,即 b=2a 时,“=” ab a b ab

1 2 2 2 成立,因为 + = ab,所以 ab≥ ,即 ab≥2 2,所以 ab 的最小值为 2 2,故选 C.] a b ab 3.(2016· 武汉一模)若 2x+4y=4,则 x+2y 的最大值是________. 【导学号:85952077】 2 [因为 4=2x+4y=2x+22y≥2 2x× 22y=2 2x
+2y

,所以 2x

+2y

≤4=22,即 x+2y≤2,当且

仅当 2x=22y=2,即 x=2y=1 时,x+2y 取得最大值 2.] 4.(2016· 江苏高考)在锐角三角形 ABC 中,若 sin A=2sin Bsin C,则 tan Atan Btan C 的 最小值是________. 8 [在锐角三角形 ABC 中,∵sin A=2sin Bsin C,

∴sin(B+C)=2sin Bsin C, ∴sin Bcos C+cos Bsin C=2sin Bsin C,等号两边同除以 cos Bcos C,得 tan B

+tan C=2tan Btan C. ∴tan A=tan[π-(B+C)]=-tan(B+C)= ∵A,B,C 均为锐角, ∴tan Btan C-1>0,∴tan Btan C>1. tan B+tan C 2tan Btan C = .① tan Btan C-1 tan Btan C-1

tan A 由①得 tan Btan C= . tan A-2 tan A 又由 tan Btan C>1 得 >1,∴tan A>2. tan A-2 ∴tan Atan Btan C= ? tanA-2?2+4? tanA-2?+4 tan2A = tan A-2 tan A-2 =(tan A-2)+ 取得等号. 故 tan Atan Btan C 的最小值为 8.] 二、线性规划问题 x+y≤2, ? ? 5.(2016· 山东高考)若变量 x,y 满足?2x-3y≤9, ? ?x≥0, x2+y2 的最大值是( A.4 C.10 ) B.9 D.12 4 4 +4≥2 4+4=8,当且仅当 tan A-2= ,即 tan A=4 时 tan A-2 tan A-2



C

[作出不等式组表示的平面区域,如图中阴影部分所示.x2+y2 表示平面区域内的点

?x+y=2, ? 到原点距离的平方,由? 得 A(3,-1),由图易得(x2+y2)max=|OA|2=32+(-1)2 ?2x-3y=9 ?

=10.故选 C.] x+y-3≥0, ? ? 6.(2016· 浙江高考)若平面区域?2x-y-3≤0, ? ?x-2y+3≥0 则这两条平行直线间的距离的最小值是( 3 5 A. 5 3 2 C. 2 B B. 2 D. 5 )

夹在两条斜率为 1 的平行直线之间,

[根据约束条件作出可行域如图阴影部分,当斜率为 1 的直线分别过 A 点和 B 点时

? ? ?x+y-3=0, ?2x-y-3=0, 满足条件, 联立方程组? 求得 A(1,2), 联立方程组? 求得 B(2,1), ?x-2y+3=0 ?x+y-3=0 ? ?

可求得分别过 A,B 点且斜率为 1 的两条直线方程为 x-y+1=0 和 x-y-1=0,由两平行 |1+1| 线间的距离公式得距离为 = 2,故选 B.] 2 7.(2016· 北京高考)已知 A(2,5),B(4,1).若点 P(x,y)在线段 AB 上,则 2x-y 的最大值 为( ) A.-1 C.7 C B.3 D.8

[作出线段 AB,如图所示.作直线 2x-y=0 并将其向下平移至直线过点 B(4,1)时,

2x-y 取最大值为 2× 4-1=7.]

2x-y+1≥0, ? ? 8.(2016· 全国丙卷)设 x,y 满足约束条件?x-2y-1≤0, ? ?x≤1, ________. -10

则 z=2x+3y-5 的最小值为

[画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示. 由题意可知, 当直线 y=-

2 5 z x+ + 过点 A(-1,-1)时,z 取得最小值,即 zmin=2× (-1)+3× (-1)-5=-10.] 3 3 3

9.(2016· 全国乙卷)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产 一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg,乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2 100 元,生产一件产品 B 的利 润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下, 生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为________元. 216 000 [设生产 A 产品 x 件,B 产品 y 件,则

? ?x+0.3y≤90, x+3y≤600, ?5 x≥0,x∈N , ? ?y≥0,y∈N .
* *

1.5x+0.5y≤150,

目标函数 z=2 100x+900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点,图中阴影四边形的顶点坐标分别 为(60,100),(0,200),(0,0),(90,0). 当直线 z=2 100x+900y 经过点(60,100)时,z 取得最大值,zmax=2 100× 60+900× 100= 216 000(元).] x-1≥0, ? ? 10.(2015· 全国卷Ⅰ)若 x,y 满足约束条件?x-y≤0, ? ?x+y-4≤0, 3 y 则 的最大值为________. x

y [画出可行域如图阴影所示,∵ 表示过点(x,y)与原点(0,0)的直线的斜率, x

y ∴点(x,y)在点 A 处时 最大. x
? ? ?x=1, ?x=1, 由? 得? ?x+y-4=0, ?y=3. ? ?

∴A(1,3). y ∴ 的最大值为 3.] x

[B 组 “12+4”模拟题提速练] 一、选择题 1.(2016· 邯郸二模)已知 a<b<0,则下列不等式成立的是( ) 【导学号:85952078】 A.a2<b2 C.a<1-b C a B. <1 b 1 1 D. < a b

[因为 a<b<0,所以 a2>b2,

a 1 1 >1, > ,a+b<1. b a b 因此 A,B,D 不正确,C 正确.]
? 1 ? x<-1或x> ?,则 f(ex) 2.(2016· 长春一模)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为?x? 3 ? ? ?

>0 的解集为(

)

A.{x|x<-1 或 x>-ln 3} B.{x|-1<x<-ln 3} C.{x|x>-ln 3} D.{x|x<-ln 3} D
? 1 ? -1<x< ?, [f(x)>0 的解集为?x? 3 ? ? ?

1 则由 f(ex)>0 得-1<ex< , 3 解得 x<-ln 3,即 f(ex)>0 的解集为{x|x<-ln 3}.] 3.(2016· 武汉联考)已知 g(x)是 R 上的奇函数,当 x<0 时,g(x)=-ln(1-x),函数 f(x)
?x3,x≤0, ? =? 若 f(2-x2)>f(x),则实数 x 的取值范围是( ?g?x?,x>0, ?

)

A.(-∞,1)∪(2,+∞) B.(-∞,-2)∪(1,+∞) C.(1,2) D.(-2,1) D [设 x>0, 则-x<0, 所以 g(-x)=-ln(1+x), 因为 g(x)是 R 上的奇函数,所以 g(x)

3 ? ?x ,x≤0, =-g(-x)=ln(1+x),所以 f(x)=? 易知 f(x)是 R 上的单调递增函数, ?ln? 1 +x?,x>0, ?

所以原不等式等价于 2-x2>x,解得-2<x<1.故选 D.] 4.(2016· 重庆一模)若 log4(3a+4b)=log2 ab,则 a+b 的最小值是( )

A.6+2 3 C.6+4 3 D 得 b>3.

B.7+2 3 D.7+4 3

4b [由 log4(3a+4b)=log2 ab,得 3a+4b=ab,且 a>0,b>0,∴a= ,由 a>0, b-3

4?b-3?+12 4b 12 ∴a+b=b+ =b+ =(b-3)+ +7≥2 12+7=4 3+7,即 a+b b-3 b-3 b-3 的最小值为 7+4 3.]
2 2 ?y -x ≤0, ? 5.(2016· 德阳模拟)已知 P(x,y)为区域? 内的任意一点,当该区域的面积为 ?0≤x≤a ?

4 时,z=2x-y 的最大值是( A.6 C.2
2 2

)

B.0 D.2 2

A

? ?y -x ≤0, [由? 作出可行域如图, ? ?0≤x≤a

易求得 A(a,-a),B(a,a), 1 由题意知 S△OAB= · 2a· a=4,得 a=2. 2 ∴A(2,-2), 当 y=2x-z 过 A 点时,z 最大,zmax=2× 2-(-2)=6.故选 A.] y≤0, ? ? 6.(2016· 大庆模拟)若 x,y 满足约束条件?x-2y-1≥0, ? ?x-4y-3≤0, ( ) A.[3,+∞) C.(-∞,9] D B.[-8,3] D.[-8,9]

则 z=3x+5y 的取值范围是

3 1 1 [作出可行域,如图所示的阴影部分,由 z=3x+5y,得 y=- x+ z, z 表示直线 y 5 5 5

3 1 =- x+ z 在 y 轴上的截距,截距越大,z 越大, 5 5

由图可知,当 z=3x+5y 经过点 A 时 z 最小;当 z=3x+5y 经过点 B 时 z 最大,由
? ? ?x-4y=3, ?x-4y=3, ? 可得 B(3,0), 此时 zmax=9, 由? 可得 A(-1, -1), 此时 zmin=-8, ?y=0 ?x-2y=1 ? ?

所以 z=3x+5y 的取值范围是[-8,9].] x-y+1≤0, ? ? 7.(2016· 贵阳模拟)若变量 x,y 满足约束条件?y≤1, ? ?x>-1, ( ) 3 2 A. 2 9 C. 2 D B. 5 D.5 [作出不等式组对应的平面区域如图,

则(x-2)2+y2 的最小值为

设 z=(x-2)2+y2, 则 z 的几何意义为区域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方, 由图知 C, D 间的距离最小,此时 z 最小.
? ? ?y=1, ?x=0, 由? 得? 即 C(0,1), ?x-y+1=0, ?y=1, ? ?

此时 zmin=(x-2)2+y2=4+1=5,故选 D.] x≥1, ? ?y≥-1, 8.(2016· 石家庄模拟)已知 x,y 满足约束条件? 4x+y≤9, ? ?x+y≤3, >0)的最大值为 1,则 m 的值是( ) 【导学号:85952079】

若目标函数 z=y-mx(m

20 A.- 9 C.2 B

B.1 D.5

[作出可行域,如图所示的阴影部分.

? ? ?x=1, ?x=1, ∵m>0, ∴当 z=y-mx 经过点 A 时, z 取最大值, 由? 解得? 即 A(1,2), ?x+y=3, ? ? ?y=2,

∴2-m=1,解得 m=1.故选 B.] x≤0, ? ? 9.(2016· 江西师大附中模拟)若关于 x,y 的不等式组?x+y≥0, ? ?kx-y+1≥0 等腰直角三角形,则其表示的区域面积为( 1 A.1 或 4 1 C.1 或 2 D 1 1 B. 或 2 8 1 1 D. 或 2 4 )

表示的平面区域是

[可行域由三条直线 x=0,x+y=0,kx-y+1=0 所围成,因为 x=0 与 x+y=0 的

π π π 夹角为 , 所以 x=0 与 kx-y+1=0 的夹角为 或 x+y=0 与 kx-y+1=0 的夹角为 .当 x=0 4 4 4 π 2 1 与 kx-y+1=0 的夹角为 时,可知 k=1,此时等腰三角形的直角边长为 ,面积为 ;当 x 4 2 4 π 1 +y=0 与 kx-y+1=0 的夹角为 时,k=0,此时等腰三角形的直角边长为 1,面积为 ,所 4 2 以选 D.] z 10.(2016· 泰安模拟)设正实数 x,y,z 满足 x2-3xy+4y2-z=0,则当 取得最小值时, xy x+2y-z 的最大值是( A.0 C.2 ) 9 B. 8 9 D. 4

C 立.

2 2 z x -3xy+4y x 4y [ = = -3+ ≥2 xy xy y x

x 4y x 4y · -3=1,当且仅当 = ,即 x=2y 时等号成 y x y x

此时 z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3· 2y· y+4y2=2y2. ∴x+2y-z=2y+2y-2y2=-2(y-1)2+2, ∴当 y=1,x=2,z=2 时,x+2y-z 取最大值,最大值为 2,故选 C.] y≥x, ? ? 11.(2016· 武汉二模)设 m>1,x,y 满足约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1, 最大值为 2,则 m 的取值为( A.2 C.3 )

且目标函数 z=x+my 的

B.1+ 2 D.2+ 2

y≥x, ? ? B [因为 m>1,由约束条件?y≤mx, ? ?x+y≤1

作出可行域如图,

1 m 直线 y=mx 与直线 x+y=1 交于 B?m+1,m+1?,目标函数 z=x+my 对应的直线与直

?

?

1 m 线 y=mx 垂直,且在 B?m+1,m+1?处取得最大值, ? ? 1+m2 由题意可知 =2, m+1 又因为 m>1,解得 m=1+ 2.] x≥2, ? ? 12.(2016· 宿州一模)已知 x,y 满足?y≥2, ? ?x+y≤8 +b 的最小值为( A.4+2 3 C.9 ) B.4-2 3 D.8 x y 时,z= + (a≥b>0)的最大值为 2,则 a a b

x≥2, ? ? A [由约束条件?y≥2, 作出可行域如图, ? ?x+y≤8

? ?x=2, 联立? 解得 A(2,6), ?x+y=8, ?

x y b 化目标函数 z= + 为 y=- x+bz, a b a b 由图可知,当直线 y=- x+bz 过点 A 时, a 2 6 直线在 y 轴上的截距最大,z 有最大值为 + =2, a b 1 3 即 + =1. a b 1 3? b 3a 所以 a+b=(a+b)? ?a+b?=4+a+ b ≥4+2 b 3a · =4+2 3. a b

1 3 ? ?a+b=1, 当且仅当? 即 a= 3+1,b=3+ 3时取等号.] ? ?b= 3a, 二、填空题 x-y+1≥0, ? ? 13.(2016· 全国甲卷)若 x,y 满足约束条件?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0, ________. x-y+1≥0, ? ? -5 [不等式组?x+y-3≥0, ? ?x-3≤0

则 z=x-2y 的最小值为

表示的可行域如图阴影部分所示.

1 1 由 z=x-2y 得 y= x- z. 2 2

1 平移直线 y= x,易知经过点 A(3,4)时,z 有最小值,最小值为 z=3-2× 4=-5.] 2 x2-y2 14.(2016· 青岛模拟)定义运算“?”:x?y= (x,y∈R,xy≠0),当 x>0,y>0 时,x xy ?y+(2y)?x 的最小值为________. 【导学号:85952080】 2 x -y 4y -x x +2y2 2 2xy [当 x>0,y>0 时,x?y+(2y)?x= + = ≥ = 2.所以所求 xy 2yx 2xy 2xy
2 2 2 2 2

的最小值为 2.] x-y≤0, ? ? 15.(2016· 张掖一模)设不等式组?x+y≤4, 表示的平面区域为 M,若直线 l:y=k(x ? ?x≥1 +2)上存在区域 M 内的点,则 k 的取值范围是________.

?1,1? [作出不等式组对应的平面区域,如图所示. ?3 ?

直线 y=k(x+2)过定点 D(-2,0), 由图象可知当直线 l 经过点 A 时,直线斜率最大, 当经过点 B 时,直线斜率最小,
?x=1, ?x=1, ? ? 由? 解得? ? ? ?x+y=4, ?y=3,

3 3 即 A(1,3),此时 k= = =1, 1+2 3
? ? ?x=1, ?x=1, 由? 解得? ?x-y=0, ?y=1, ? ?

1 1 即 B(1,1),此时 k= = , 1+2 3 1 ? 故 k 的取值范围是? ?3,1?.] b c 16.(2016· 廊坊一模)已知正数 a,b,c 满足 b+c≥a,则 + 的最小值为________. c a+b 2- 1 [因为正数 a,b,c 满足 b+c≥a, 2

b 1 b c b c c 1 2b+c c 1 1 所以 + ≥ + =? + ?+ - = + - ≥ 2- . c a+b c 2b+c ?c 2? 2b+c 2 2c 2 2 2b+c 2b+c c 当且仅当 = 时取等号.] 2c 2b+c


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