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高中数学《1-1-1变化率与导数》课件2新人教A版选修_图文

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1.1 变化率与导数 一.创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现 象,在数学中引入了函数,随着对函数的研究,产 生了微积分,微积分的创立以自然科学中四类问题 的处理直接相关: 一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物 体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、 变化快慢、最大(小)值等问题最一般、最有效的 工具。 导数研究的问题即变化率问题:研究某个变量相 对于另一个变量变化的快慢程度. 身高 2.26 2.12 姚明身高变化曲线图(部分) ● ● ● 1.61 ● ● ● 0.8 ● ● ● ● ● ● ● ● 4 7 10 13 16 19 22 年龄 问题1 气球膨胀率 在吹气球的过程中, 可发现,随着气球内空气 容量的增加, 气球的半径增加得越来越慢. 从数 学的角度, 如何描述这种现象呢? 我们知道, 气球的体积V ?单位 : L ?与半径 r (单 4 3 位 : dm)之间的函数关系是V ?r ? ? ? r , 3 如果把半径r表示为体积V的函数, 那么 3 V r ?V ? ? 3 . 4? 当空气容积V从0增加到1 L时, 气球半径增加了 r ?1? ? r ?0 ? ? 0.62?cm ?, r ?1? ? r ?0 ? 气球的平均膨胀率为 ? 0.62?dm / L ?. 1?0 类似地,当空气容量从1 L增加到2 L时, 气球半径 增加了r ?2? ? r ?1? ? 0.16?dm ?, r ?2? ? r ?1? 气球的平均膨胀率为 ? 0.16?dm / L ?. 2 ?1 可以看出, 随着气球体积逐渐变大, 它的平均膨 胀率逐渐变小了. 思考 当空气的容量从 V1增加到V2时, 气球的平 ?r r ?V2 ? ? r ?V1 ? 均膨胀率是多少 ? ? ?V V2 ? V1 问题 2 高台跳水 人们发现 , 在高台跳水运动中 , 运动员相对于水 面的高度 h ?单位 : m ? 与起跳后的时间t ?单位 : s ? 2 ? ? 存在函数关系 h t ? ?4.9t ? 6.5t ? 10. 如果我们用运动员某段 时间内的平均速度 v描 述其运动状态 , 那么 在0 ? t ? 0.5这段时间里 , h?0.5 ? ? h?0 ? v? ? 4.05 ?m / s ? ; 0. 5 ? 0 在1 ? t ? 2这段时间里 , h?2? ? h?1? v? ? ?8.2 ?m / s ?. 2?1 播放 暂停 停止 65 探究 计算运动员在0 ? t ? 这段时间 49 里的平均速度, 并思考下面的问题 : ?1? 运动员在这段时间里是静止的吗 ? ? 2 ? 你认为用平均速 度描述 运动员运 动 状态有什么问题吗 ? h ? t2 ? ? h ? t1 ? ?h v? ? ?t t2 ? t1 探究过程:如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10 65 的图像,结合图形可知, h( ) ? h(0) , 49 所以, h 65 h( ) ? h(0) 49 v? ? 0( s / m) 65 ?0 49 65 0?t? 49 O t ? 65 65 98 49 t 虽然运动员在 这段时间里的平均 速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然 运动,并非静止,可以说明用平均速度不 能精确描述运动员的运动状态. 如果上述两个问题中的 函数关系用 f ? x ?表示, f ? x2 ? ? f ? x1 ? 那么问题中变化率可用 式子 表 x2 ? x1 示, 我们把这个式子称为函 数 f ? x ?从 x1到 x2的 ? . 习惯上 平均变化率 ?averagerate of change 用?x表示 x2 ? x1 , 即 ?x ? x2 ? x1 , ?x是一个整体符号 ,而不是?与x相乘. ?x代替x2 ; 类似地, ?y ? f ? x2 ? ? f ? x1 ? . ?y 于是, 平均变化率可表示为 . ?x 可把?x 看作是相对于 x1 的一个 增量 , 可用 x1 ? y y ? f ?x ? f ?x 2 ? f ?x 1 ? 思考 观察函数 f ? x ? 的图象?图1.1.1?, 平均 ?y f ?x2 ? ? f ?x1 ? ? ?x x2 ? x1 表示什么? 直线AB的斜率 B A f ?x2 ? ? f ?x1 ? x 2 ? x1 变化率 O x1 x2 x 图1.1 ? 1 例 (1) 计算函数 f (x) = 2 x +1在区间[ –3 , –1] 上的平均变化率 ; (2) 求函数f (x) = x2 +1的平均变化率。 (1)解: △y=f (-1)- f (-3)=4 △x=-1- (-3)=2 (2)解: △y=f (x+△x)- f (x) =2△x · x+(△x )2 ?y 4 ? ? ?2 ?x 2 ?y 2?x ? x ? (?x) ? ? ?x ?x ? 2 x ? ?x 2 练习 1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近 一点B(-1+Δx,-2+Δy),则Δy/Δx=( A.3 B . 3Δx-(Δx)2 2 )D D . 3-Δx C . 3-(Δx)2 2.质点运动规律s=t +3,则在时间(3,3+?t)中 相应的平均速度为( A ) 9 A. 6+?t B. 6+?t+ C.3+?t ?t 3.求y=x2在x=x0附近的平均变化率. D.9+?t 小结: ? y f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? 1.函数的平均变化率 ?x x2 ? x1 ? 2.求函数的平均变化率的步骤: (1)求函数

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