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高中数学专题训练(教师版)—推理

时间:2012-03-23


高中数学专题训练(教师版)— 高中数学专题训练(教师版)—推理
一、选择题 1.定义一种运算“*”:对于自然数 n 满足以下运算性质: (ⅰ)1]( ) A.n B.n+1 C.n-1 D.n2 答案 A 解析 由(n+1)*1=n*1+1,得 n*1=(n-1)*1+1=(n-2)*1+2=…=1] ) 2.已知 a1=3,a2=6,且 an+2=an+1-an,则 a2011=( A.3 B.-3 C.6 D.-6 答案 A 解析 ∵a1=3,a2=6,∴a3=3,a4=-3,a5=-6,a6=-3,a7=3…… ∴{an}是以 6 为周期的周期数列 又 2011=6×335+1,∴a2011=a1=3.选 A. 3.因为对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)是增函数, 1 1 而 y=log x 是对数函数,所以 y=log x 是增函数, 2 2 上面的推理错误的是( ) A.大前提 B.小前提 C.推理形式 D.以上都是 答案 A 解析 y=logax 是增函数这个大前提是错误的,从而导致结论错误.选 A (2011·南京质检)把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表. 设 4. * aij(i,j=N )是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行,从左往右数第 j 个数, ) 如 a42=8.若 aij=2009,则 i 与 j 的和为( 1 2 3 6 9 14 …

4 5 8 11 16

7 10 13 18

12 15 20

17 22

24

A.105 B.106 C.107 D.108 答案 C 解析 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列,偶数行为偶数列,2009 =2×1005-1,所以 2009 为第 1005 个奇数,又前 31 个奇数行内数的个数的和 为 961,前 32 个奇数行内数的个数的和为 1024,故 2009 在第 32 个奇数行内, 所以 i=63, 因为第 63 行的第一个数为 2×962-1=1923,2009=1923+2(m-1), 所以 m=44,即 j=44,所以 i+j=107. 1+x ,又记 f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)),k=1,2,…,则 f2009(x) 5.设 f(x)= 1-x

等于(

) B.x

1 A.-x C.

x-1 1+x D. x+1 1-x 答案 D 解析 1+x 1 1- 1-x x x-1 1+x 1 1 计算:2(x)=f( f )= =- ,3(x)=f(- )= f = , (x) f x x 1 x+1 4 1-x 1+x 1+ 1- x 1-x 1+

x-1 x+1 1+x 1+x = =x,f5(x)=f1(x)= ,归纳得 f4k+1(x)= ,k∈N*,从而 f2009(x) x-1 1-x 1-x 1- x+1 1+x = . 1-x 6.(2011·皖南八校)已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第 60 个数对是( ) A.(3,8) B.(4,7) C.(4,8) D.(5,7) 答案 D 解析 观察可知横坐标和纵坐标之和为 2 的数对有 1 个,和为 3 的数对有 2 个,和为 4 的数对有 3 个,和为 5 的数对有 4 个,依此类推和为 n+1 的数对有 n(n+1) n 个, 多个数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的, 由 2 =60?n(n n(n+1) +1)=120,n∈Z,n=10 时, =55 个数对,还差 5 个数对,且这 5 个数 2 对的横、纵坐标之和为 12,它们依次是(1,11),(2,10),(3,9),(4,8),(5,7), ∴第 60 个数对是(5,7). 7. (2011·苏北四市调研)某纺织厂的一个车间技术工人 m 名(m∈N*), 编号分 * 别为 1,2,3,…,m,有 n 台(n∈N )织布机,编号分别为 1,2,3,…,n,定义记号 aij:若第 i 名工人操作了第 j 号织布机,规定 aij=1,否则 aij=0,则等式 a41+a42 +a43+…+a4n=3 的实际意义是( ) A.第 4 名工人操作了 3 台织布机 B.第 4 名工人操作了 n 台织布机 C.第 3 名工人操作了 4 台织布机 D.第 3 名工人操作了 n 台织布机 答案 A 解析 a41+a42+a43+…+a4n=3 中的第一下标 4 的意义是第四名工人,第 二下标 1,2,…,n 表示第 1 号织布机,第 2 号织布机,……,第 n 号织布机, 根据规定可知这名工人操作了三台织布机. 二、填空题 8.已知 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+ 3 + 4) , 则 第 5 个 等 式 为 ________ , … , 推 广 到 第 n 个 等 式 为 1+

__________________.(注意:按规律写出等式的形式,不要求计算结果) + 答案 1-4+9-16+25=1+2+3+4+5;1-22+32-42+…+(-1)n 1·n2 + =(-1)n 1·(1+2+3+…+n) 解析 根据前几个等式的规律可知,等式左边的各数是自然数的平方,且正 负相间,等式的右边是自然数之和且隔项符号相同,由此可推得结果. 9.(2011·湖北八校)已知扇形的圆心角为 2α(定值),半径为 R(定值),分别按 1 图 1、图 2 作扇形的内接矩形,若按图 1 作出的矩形的面积的最大值为2R2tan α, 则按图 2 作出的矩形的面积的最大值为________.

答案 解析

α R2tan2

1 将图 1 沿水平边翻折作出如图所示的图形, 内接矩形的最大面积 S=2·2R2·tan α α=R2·tan α,所以图 2 中内接矩形的面积的最大值为 R2tan2. 10.(2011·衡水潍坊)已知 4 a ,…,若 6+ t =6 15 t 的值,则 a+t=________. 答案 41 4 解析 n
2

2 2+3 =2

2 3,

3 3+8 =3

3 8,

4 4+15 =

a t ,(a,t 均为正实数),类比以上等式,可推测 a,

根据题中所列的前几项的规律可知其通项应为

n+

n = n2-1

n ,所以当 n=6 时 a=6,t=35,a+t=41. n -1 11.设 P 是边长为 a 的正三角形 ABC 内的一点,P 点到三边的距离分别为 3 h1、 2、 3, h1+h2+h3= 2 a; h h 则 类比到空间, P 是棱长为 a 的正四面体 ABCD 设 内的一点,则 P 点到四个面的距离之和 h1+h2+h3+h4=________. 答案

如图,连接 AP,BP,CP,DP,则正四面体 ABCD 可分成四个小三 1 3 6 1 3 棱锥,根据体积相等可得,正四面体的体积为 × a2× a= × a2(h1+h2 3 4 3 3 4 6 +h3+h4),所以 h1+h2+h3+h4= 3 a. 12.(2010·福建卷,文)观察下列等式: ①cos 2α=2cos2α-1; ②cos 4α=8cos4α-8cos2α+1; ③cos 6α=32cos6α-48cos4α+18cos2α-1; ④cos 8α=128cos8α-256cos6α+160cos4α-32cos2α+1; ⑤cos 10α=mcos10α-1280cos8α+1120cos6α+ncos4α+pcos2α-1. 可以推测,m-n+p=________. 答案 962 解析 观察等式可知,cos α 的最高次的系数 2,8,32,128 构成了公比为 4 的 等比数列,故 m=128×4=512;取 α=0,则 cos α=1,cos 10α=1,代入等式 ⑤,得 1=m-1280+1120+n+p-1,即 n+p=-350 (1); π 1 1 1 1 1 取 α= , cos α= , 10α=- , 则 cos 代入等式⑤, 得- =m( )10-1280×( )8 3 2 2 2 2 2 1 1 1 +1120×( )6+n×( )4+p×( )2-1,即 n+4p=-200 (2). 2 2 2 由(1),(2)可得 n=-400,p=50,∴m-n+p=926. 13.(09·浙江)设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 S4,S8-S4,S12-S8,S16 -S12 成等差数列.类比以上结论有:设等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4, T16 ________,________, 成等比数列. T12 T8 T12 答案 T T 4 8 解析 对于等比数列,通过类比,有等比数列{bn}的前 n 项积为 Tn,则 T4 T8 T12 =a1a2a3a4,T8=a1a2…a8,T12=a1a2…a12,T16=a1a2…a16,因此T =a5a6a7a8,T 4 8 T16 T8 T12 T16 T8 =a9a10a11a12,T =a13a14a15a16,而 T4,T , T ,T 的公比为 q16,因此 T4,T , 12 4 8 12 4 T12 T16 T8 ,T12成等比数列. 三、解答题 14.已知椭圆具有如下性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两个点, 点 P 是椭圆上的任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并记为 KPM、KPN 时, x2 y2 则 KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 试写出双曲线a2-b2=1(a>0, b>0) 具有的类似的性质,并加以证明. x2 y2 解析 双曲线的类似的性质为:若 M,N 是双曲线a2-b2=1 上关于原点对 称的两个点,点 P 是双曲线上的任意一点,当直线 PM、PN 的斜率都存在,并

6 3a 解析

记为 KPM、KPN 时,KPM 与 KPN 之积是与点 P 位置无关的定值. 下面给出证明: m2 n2 设点 M 的坐标为(m,n),则点 N 的坐标为(-m,-n),且 a2 -b2=1. y-n y+n 又设点 P 的坐标为(x,y),由 KPM= ,KPN= 得 x-m x+m y-n y+n y2-n2 KPM·KPN= · = ,① x-m x+m x2-m2 b2 b2 b2 将 y2= 2x2-b2,n2= 2m2-b2 代入①式,得 KPM·KPN= 2(定值). a a a a - 15.已知函数 f(x)= 2 (ax-a x),其中 a>0,且 a≠1. a -1 (1)判断函数 f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并加以证明; (2)判断 f(2)-2 与 f(1)-1,f(3)-3 与 f(2)-2 的大小关系,由此归纳出一个 更一般的结论,并加以证明; alna 解析 (1)由已知得 f′(x)= 2 (ax+a-x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上是增函 a -1 数. (2)f(2)-2>f(1)-1,f(3)-3>f(2)-2. 一般的结论为:f(n+1)-(n+1)>f(n)-n(n∈N*). 证明过程如下: a2n+1+1 事实上,上述不等式等价于 f(n+1)-f(n)>1? n+1 n >1?(an + 1 -1)(an - a +a n +1 n 1)>0,在 a>0 且 a≠1 的条件下,(a -1)(a -1)>0 显然成立,故 f(n+1)-(n+ 1)>f(n)-n(n∈N*)成立.

1.观察下列的图形中小正方形的个数,则第 6 个图中有________个小正方 形.

答案 28 解析 设第 n 个图中小正方形个数为 an, 则 a1=3,a2=a1+3=6,a3=a2+4=10,a4=a3+5=15,a5=a4+6=21, a6=a5+7=28. 5 5 1 2.给出下列不等式:23 +53>22·5+2·52,24 +54>23·5+2·53,2 2 +5 2 >22·5 2 + 1 22·52,….请将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广,使上述不 等式成为推广不等式的特例,则推广的不等式为________. 答案 am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0) 5 5 1 解析 由“23+53>22·5+2·52”,“24+54>23·5+2·53”,“22+52>22·52+

1 2 ·52”, 可得推广形式的最基本的印象: 应具有“ 2 + · ”的形式.



>

·

再分析底数间的关系, 可得较细致的印象: 应具有“a□+b□>a□·b□+a□·b□” 的形式. + + 再分析指数间的关系, 可得准确的推广形式: m n+bm n>ambn+anbm(a, a b>0, a≠b,m,n>0). 3.半径为 r 的圆的面积 S(r)=πr2,周长 C(r)=2πr,若将 r 看做(0,+∞) 上的变量,则(πr2)′=2πr.① ①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数. 对于半径 R 的球,若将 R 看做(0,+∞)上的变量,请你写出类似于①的式 子 : _____________________________________________________________________ ___; ② 式 可 用 语 言 叙 述 为 _____________________________________________________________________ ___. 4 答案 ①(3πR3)′=4πR2 ②球的体积函数的导数等于球的表面积函数 4.(2010·浙江)在如下数表中,已知每行、每列中的数都成等差数列, 第1列 第2列 第3列 … 1 2 3 第1行 … 2 4 6 第2行 … 3 6 9 第3行 … … … … … … 那么位于表中的第 n 行第 n+1 列的数是________. 答案 n2+n 解析 第 n 行的第一个数是 n,第 n 行的数构成以 n 为公差的等差数列,则其第 n+1 项为 n+n·n=n2+n.


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