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高中数学必修4总复习题

时间:2017-01-04

三角函数
1.设 ? 角属于第二象限,且 cos
A.第一象限 C.第三象限

8.若

?
4

?? ?

?
2

, 则(

) B. cos ? ? tan ? ? sin ? D. tan ? ? sin ? ? cos ? )

?
2

? ? cos

?
2

,则

?
2

角属于(



A. sin ? ? cos ? ? tan ? C. sin ? ? tan ? ? cos ? 9.函数 y ? 3 cos(

B.第二象限 D.第四象限

2.给出下列各函数值:① sin(?1000?) ;② cos(?2200?) ;

2 ? x ? ) 的最小正周期是( 5 6 5? 2
C. 2? D. 5?

7? sin cos? 10 ③ tan(?10) ;④ .其中符号为负的有( 17? tan 9
A.①
2

A. )

2? 5

B.

10.在函数 y ? sin x 、 y ? sin x 、 y ? sin( 2 x ? 最小正周期为 ? 的函数的个数为( A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 )

2? 2? ) 、 y ? cos( 2 x ? ) 中, 3 3

B.②

C.③ )

D.④

3. sin 120? 等于(

3 A. ? 2
4.已知 sin ? ?

3 B. 2

3 C. ? 2

1 D. 2

11.将函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,


tan ? 的值等于( 4 3 A. ? B. ? 3 4
A.第一象限的角 C.第三象限的角

4 ,并且 ? 是第二象限的角,那么 5
) C.
3 4

D.

4 3

5.若 ? 是第四象限的角,则 ? ?? 是( B.第二象限的角 D.第四象限的角
?1



? 个单位,得到的图象对应的僻析式是( 3 1 1 ? A. y ? sin x B. y ? sin( x ? ) 2 2 2 1 ? ? C. y ? sin( x ? ) D. y ? sin(2 x ? ) 2 6 6 ? 12.已知函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) 的图象关于直线 x ? 对称, 8 则 ? 可能是( ) ? ? ? 3? A. B. ? C. D. 4 4 2 4
再将所得的图象向左平移


6.若 ? 为锐角且 cos? ? cos

? ? ?2 ,则 cos? ? cos?1 ? 的值为(
C. 6 D. 4 )

13. 225? ?

rad,与225? 终边相同的角的集合是:
__ __ ___、 ___、 ___象限.

A. 2 2

B. 6

14.若角 ? 与角 ? 的终边相同,则 ? 与 ? 的关系是_________ 15. 若 ? ? (2k ? 1)? ? ? ,则 ? 与 ? 的关系是_________

7.在 (0,2? ) 内,使 sin x ? cos x 成立的 x 取值范围为( A. (

? ?

5? , ) ? (? , ) 4 2 4 , )

B. (

?
4

,? ) 5? 3? , ) 4 2

16.设 ? 分别是第二、三、四象限角,则点 P(sin ? , cos? ) 分别在第 17.与 ?2002? 终边相同的最小正角是_______________。 18.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
2

C. (

? 5?
4 4

D. (

?
4

,? ) ? (



3 19.满足 sin x ? 的 x 的集合为_________________________________。 2
20.函数 y ? f (cosx) 的定义域为 ?2k? ?

三、典型例题分析 例 1、已知函数 y ? 3sin( x ?

1 2

?
4

)

? ?

?
6

,2k? ?

2? ? (k ? Z ) , 3 ? ?

则函数 y ? f ( x) 的定义域为__________________________.

(1)用“五点法”作出该函数一个周期的图像; (2)求此函数的振幅、周期和初相; (3)求此函数的对称轴、对称中心坐标; (4)求此函数的单调增区间、最大值,以及函数取得最大值时的自变量 x 的集合.

x ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3 x ? 22.函数 y ? ? cos( ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3 x ? 23.函数 y ? cos(? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3 x ? 24.函数 y ? sin(? ? ) 的单调递增区间是___________________________. 2 3
21.函数 y ? cos( ? 25.设? ? 0 ,若函数 f ( x) ? 2sin ? x 在 [ ? 26.函数 y ? 1 ? 2cos x ? lg(sin x ? 27. 函数 y ?

? ?

, ] 上单调递增,则? 的取值范围是_______ 3 4

例 2、如图为 y ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? _

?
2

) 图象的一段,求其解析式

2 ) 的定义域为______________________________ 2

1 ? 1 ? tan x

3 ? tan x 的定义域为______________________________。

28.函数 y ? 2sin(3 x ?

?
7

) 的振幅是

,相位是

,初相是

,周期是 (左或右)平行移动

. 个单位长度.
2 例 3、求函数 f ( x) ? 2 cos x ? 3sin x ? 3

29.要得到函数 y ? sin(2 x ? 30.把函数 y ? sin(2 x ?

?
3

) 的图象,只要 y ? sin 2 x 的图象向

? 个单位后,所得图象对应函数解析式为 . 6 3 1 31 . 把 函 数 y ? s i nx 的 图 象 上 所 有 的 点 的 纵 坐 标 变 为 原 来 的 倍 ( 横 坐 标 不 变 ) 所 得 图 象 的 解 析 式 3
) 的图象向右平移
为 . 32.函数 y ? sin x 的图象上所有点向左平移 后所得图象的解析式为 33 .如下图,函数 y ? 2 sin 3x( _________________________ .

?

? 2? x ? [ , ] 的最小正周期、最大值、最小值, 6 3

以及单调增期间:

? 个单位长度,再把所得图象上各点横坐标变为原来的 5 倍,则最 3
例 4、求函数 y ? 3cos4x ? sin 4x 的周期,递增区间及最大值.

?
6

?x?

5? ) 与函数 y=2 的图像围成一个封闭图形,这个封闭图形的面积是 6

A.

?

?
6

B.

? 6

C.

5? 6

D. ?

5? 6

三角恒等变换测试题
一.选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.已知 cos ? ?

9. 已知 sin ? ? cos ? ? A. ?

12 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos (? ? ) ? ( 4 13 2



8 9

B. ?

1 2

1 ,则 sin 2? ? ( ) 3 1 8 C. D. 2 9

A.

5 2 13

B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26


10. 已知 cos 2? ?

2 ,则 cos 4 ? ? sin 4 ? 的值为 3

2 5 3 2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ? , sin (? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5
A. 3. (cos

A. ?

2 3

B.

2 3

C.

4 9

D.1

2 5 5

B.

2 5 25
)(cos
1 2

C.

2 5 2 5 或 5 25

D. ?

2 5 5

?
12

? sin

?
12
?

?
12

? sin
1 2
0

?
12
D.

)?

A.

?

3 B. 2
0

C.

3 2
0

2? 3? 4? 5? cos cos cos ?( ) 11 11 11 11 11 1 1 A. B. C. 1 D. 0 5 2 24 x x 12. 函数 y ? sin ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是( ) 2 2 11 5? 5? ? A. x ? ? B. x ? C. x ? ? D. x ? ? 3 3 3 3
11. 求 cos

?

cos

二.填空题(共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 13.已知 ? , ? 为锐角, cos? ?

4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ?
0

1 10

, cos? ?

1 5

, 则? ? ?的值为



A.

3

B.

3 C. 3

?

3 3


D.

? 3

2 14.在 ?ABC 中,已知 tanA ,tanB 是方程 3x ? 7 x ? 2 ? 0 的两个实根,

2sin2? cos2? ? ?( 5. 1 ? cos2? cos2?
A.

则 tan C ? 15.若 sin



?

3 ? 4 ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5

象限. .

tan ?

B.

tan2?

C. 1 D.

1 2
) D. ?

16.

sin15? cos 75? ? cos15? sin105? ?

6.已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos 2 x ? ( A.

三.解答题(共 6 个小题,共 74 分)

2 sin x

B. ?

2 sin x

C.

2 cos x

2 cos x


17. (12 分)△ ABC 中,已知 cosA ?

3 5 , cosB ? , 求sinC 的值 . 5 13

7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5
C.

A.

10 10

B. ?

10 10

3 10 10

D. ?

3 10 10
) 18. (12 分)已知

8. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ),? ? (?? .? ) ,则 ? ? (

?
2

? ? ?? ?

3? 12 3 , cos (? ? ? ) ? , sin (? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 4 13 5

sin(? ? ) 15 4 19. (12 分)已知 α 为第二象限角,且 sinα= 的值. ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1

?

22.已知 tan x ? 2 ,

2 2 1 sin x ? cos 2 x 的值。 3 4 cos x ? sin x (2)求 的值。 cos x ? sin x
(1)求 (3)求 2 sin 2 x ? sin x cos x ? cos2 x 的值。

20. (12 分)已知 ? ? (0,

?
4

), ? ? (0, ? ), 且 tan( ? ? ? ) ?

1 1 , tan ? ? ? , 2 7

(4)求

2sin 2 x ? sin x cos x ? cos 2 x 的值。 1 ? tan x

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? .

2sin 2 x ? sin 2 x (5)求 1 ? tan x

21. (12 分)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求证 f ( x) 的小正周期和最值; (2)求这个函数的单调递增区间.

化简求值: (1)tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20? tan 40?; (2) (3) tan 20? ? tan 40? ? tan120? ; tan 20? tan 40?

1 3 ? ; sin10? cos10?

(4)sin 40?(tan10? ? 3); (5) tan 70cos10( 3 tan 20 ? 1) (6)sin 50?(1 ? 3 tan10?) (7) cos

?
12

12 ? 5? (8) cos cos 12 12 (9) cos 20cos 40cos80 (10)sin

sin

?

?
8

sin

3? 8

求证:

(1)(sin 2? ? sin 2? ) 2 ? 1 ? 4sin 4? ? 1 2 (2) tan ? ?? 2 tan ? tan ? 2 1 ? sin 2? (3) ? cos ? ? sin ? cos ? ? sin ? 1 ? 2sin ? cos ? 1 ? tan ? (4) ? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan ? (5)1 ? cos 2? ? 2sin 2 ? ? 2 1 ? cos 2? (6) ? tan 2 ? 1 ? cos 2? (7)3 ? cos 4? ? 4cos 2? ? 8sin 4 ? (8)sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? (9) cos3? ? 4cos3 ? ? 3cos ? (10)2(1 ? sin ? )(1 ? cos ? ) ? (1 ? sin ? ? cos ? ) 2

诱导公式
1.把任意角的三角函数问题转化成 0° 到 360° 的三角函数值。 (1) sin 1110° =__________ (2) tan(-135° ) = ____________ (1) cos210° =_____________ (2) sin 263°42′=_____________ 2.把任意角三角函数转化成 0 到 π 的三角函数值 (1) cos(- 3π )=___________ 5 13 (2) tan π= _____________ 8 (4)sin( ? (4) cos (?a) ?
2

tan(360? ? a) sin(?a)

19 (3) sin π=______________ 7 3.求下列三角函数值 π (1)sin(- )=___________ 4 23 (3)tan(- π) =__________ 6 例 3 化简 (1)

?
7

)=

已知 cos ? =

cos(?a ? ? )sin(2 ? ? a) 1 ? , ? ? a ? 0 ,求 3 2 cos(-a)tan a

(2) cos(-60° )=____________ (4) sin(10 π)=____________ 3

cos(180? ? ? )sin(360 ? ?? ) sin(?180? ? ? ) cos(?180? ? ? )
sin(? ? a )cos(2 ? ? a ) tan( ?a ?
已知 a 为第三象限角, f ( a ) =

sin( ?? ? a )

3? ) tan( ?a ? ? ) 2

(1)化简 f ( a ) (2)sin( ? +180° )cos(- ? )sin(- ? -180° ) (2) 若 cos( a ?

3? 1 ) ? ,求 f ( a ) 2 5

cos(a ? ) 2 sin(a ? 2? ) cos(2? ? a) 5 ? (3) sin( ??) 2

?

A. 7

B. 10

C. 13

D. 4

9.已知向量 a , b 满足 a ? 1, b ? 4, 且 a ? b ? 2 , 则 a 与 b 的夹角为

?

?

?

?

? ?

?

?

(数学 4 必修)第二章
1.下列说法中错误的是 A.零向量没有方向 C.零向量的长度为零 1.下列命题中正确的是( )

平面向量
( )

A.

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

? 2
) D. ( 4,2) 或 (?4,?2)

10.若平面向量 b 与向量 a ? (2,1) 平行,且 | b |? 2 5 ,则 b ? ( A. ( 4,2) B. (?4,?2) C. (6,?3)

B.零向量与任何向量平行 D.零向量的方向是任意的

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? A. OA ? OB ? AB B. AB ? BA ? 0 ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? C. 0 ? AB ? 0 D. AB ? BC ? CD ? AD ???? ???? 2.设点 A(2, 0) , B (4, 2) ,若点 P 在直线 AB 上,且 AB ? 2 AP ,
则点 P 的坐标为( A. (3,1) C. (3,1) 或 (1, ?1) 3.下列命题正确的是( A.单位向量都相等 ) B. (1, ?1) D.无数多个 ) )

11.设 a ? ( ,sin ? ) , b ? (cos ? , ) ,且 a // b ,则锐角 ? 为( A. 30 0 B. 600 C. 750 D. 450

?

3 2

?

1 3

?

?



12. 在四边形 ABCD 中,若 AB ? ? CD ,则此四边形是( A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形

??? ?

? 1 ??? 2



? ? ? ? ? ? ? ? ? 13.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a ,则向量 a 与 b 的夹角为
? ? ?
? ? ? ?



14.已知向量 a ? (1, 2) , b ? ( ?2,3) , c ? (4,1) ,若用 a 和 b 表示 c ,则 c =____。 15.若 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 0 ,若 (3a ? 5b) ? (ma ? b) ,则 m 的值为 16.若菱形 ABCD 的边长为 2 ,则 AB ? CB ? CD ? __________。 17.若 a = (2,3) , b = (?4,7) ,则 a 在 b 上的投影为________________。 ) D. a ? 2b ? 0
? ? ? ?

?

?

?

?

? ?

B.若 a 与 b 是共线向量, b 与 c 是共线向量,则 a 与 c 是共线向量(



? ? D.若 a 0 与 b0 是单位向量,则 a0 ? b0 ? 1 ???? ??? ? ??? ? ??? ? 4.化简 AC ? BD ? CD ? AB 得( ) ??? ? ? A. AB B. DA C. BC D. 0
5.若三点 A(2,3), B(3, a), C (4, b) 共线,则有( A. a ? 3, b ? ?5 B. a ? b ? 1 ? 0

C. | a ? b | ?| a ? b | ,则 a ? b ? 0

? ?

??? ? ??? ? ??? ?

C. 2a ? b ? 3

1 AB =_________ 3 ? ? ? ? 0 19.若 a ? 3 , b ? 2 ,且 a 与 b 的夹角为 60 ,则 a ? b ?
18.若 OA = (2,8) , OB = (?7,2) ,则



? ? ? ? ? ? 6.向量 a ? (2,3) , b ? (?1, 2) ,若 ma ? b 与 a ? 2b 平行,则 m 等于
1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7.若 a, b 是非零向量且满足 (a ? 2b) ? a , (b ? 2a) ? b ,则 a 与 b 的夹角是(
A. ? 2 B. 2 C.

20.把平面上一切单位向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是___________。 21.已知向量 a ? (cos ? ,sin ? ) ,向量 b ? ( 3, ?1) ,则 2a ? b 的最大值是 22.若 A(1, 2), B(2,3), C (?2,5) ,试判断则△ABC 的形状_________. ) 23.若 a ? (2, ?2) ,则与 a 垂直的单位向量的坐标为__________。 24.若向量 | a |? 1,| b |? 2,| a ? b |? 2, 则 | a ? b |?

?

?

?

?



1 2

D. ?

?

?

? ? 2? 5? A. B. C. D. 6 3 3 6 ? ? ? ? 0 8.已知 a, b 均为单位向量,它们的夹角为 60 ,那么 a ? 3b ? (

?

?

? ? ?

? ?
?





b ? 5 ,则向量 b ? ___ 25.平面向量 a, b 中,已知 a ? (4, ?3) , b ? 1 ,且 a?

? ?

___。 。

26. 设 P P 的延长线上,使 P (4,?3), P2 (?2,6), 且 P 在 P P ? 2 PP2 ,则点 P 的坐标是 1 2 1 1

27.化简: (1) QP ? PS ? MQ ? NM ? SN

(2)

3? 1 ? 3a ? 2b ? 6a ? 4a ? 2b ? ? 2? 2 ?

?

?

?

?

31.已知 a ? (cos ?,sin ?) , b ? (cos ? ,sin ? ) ,其中 0 ? ? ? ? ? ? . (1)求证: a ? b 与 a ? b 互相垂直

?

?

?

?

?

?

(2)若 ka ? b 与 a ? k b 的长度相等,求 ? ? ? 的值( k 为非零的常数). 27. 已知 e1 、 e2 是夹角为 60°的两个单位向量, a ? 3e1 ? 2e2 , b ? 2e1 ? 3e2 (1)求 a ? b ;

?

?

?

?

??

?? ?

?

? ?

?? ?

?

? ?

?? ?

? ?

(2)求 a ? b 与 a ? b 的夹角. 32.试证明:平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和. 33. 在正方形 ABCD 中,E,F 分别是 AB,BC 的中点,求证:AF⊥DF。

? ?

? ?

? ? ? ? ? ? ? ? ? 29.已知向量 a与b 的夹角为 60 , | b |? 4,(a ? 2b).(a ? 3b) ? ?72 ,求向量 a 的模。

???? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 34.如图所示,在△ABC 中,D,F 分别是 BC,AC 的中点, AE = AD , AB =a, AC =b. 3
(1)用 a,b 表示向量 AD , AE , AF , BE , BF ; (2)求证:B,E,F 三点共线.

??? ?

??? ?

????

??? ?

??? ?

30.已知 a ? (1, 2) , b ? (?3,2) ,当 k 为何值时, (1) ka ? b 与 a ? 3b 垂直?

?

?

?

?

?

(2) ka ? b 与 a ? 3 b 平行?平行时它们是同向还是反向?

?

?

35.一条河宽 40 米,水流速度是 4 米/秒,一艘船以 8 米/秒的速度渡河, (1)若保证船的行驶轨迹与河流垂直,则船到对岸所需时间是多少? (2)船到对岸所需时间最短是多少?此时船的行驶方向如何?


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