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2011年全国高中数学联赛模拟试题二

时间:2011-05-20


山东宁阳第一中学

王峰

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2011 年全国高中数学联赛模拟试题二
一、 、填空题(本大题共 8 小题,每小题 8 分,共计 64 分) 1. (1 + i )4 + (1 ? i ) 4 = .

2.直线 y = b 与函数 y = | x 2 ? 4 x + 3 | 的图像至少有三个公共点,则实数 b 的取 值范围为 .
n

1 3.对任意正整数 n,数列 {an } 满足 ∑ ai = n ,则 ∑ a ? 1 = i=2 i i =1
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2011

4.已知 sin α + sin β =

α ?β 6 3 ,则 cos 2 = , cos α + cos β = 2 3 3
2 xy + yz 的最大值为

. .

5.实数 x, y, z 满足 x 2 + y 2 + z 2 = 1 ,则

6.在边长为 1 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别为 AA1 , CC1 上的点, 且 AE = C1 F ,则四边形 EBFD1 的面积最小值为 . 种.

7.设 1 ≤ x, y, z ≤ 6 ,则自然数 x,y,z 的乘积能被 10 整除的情形有

8.满足对每个 k = 1, 2, 3, 4 ,0 ≤ ak ≤ k 且 a1 + a2 + a3 + a4 + 2b1 + 3b2 + 4b3 + 5b4 = 19 的 8 元非负整数组 (a1 , a2 , a3 , a4 , b1 , b2 , b3 , b4 ) 的个数是______________. 二、解答题(本大题共 3 小题,第 9 题 16 分,第 20、第 21 题分别 20 分) 9、设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且对任意的 n ∈ N* , 都有 an > 0 , Sn=
n n n a13 + a23 + ? + an 3 . 证明: a2 n +1≥ a2 n + a2 n ?1 .

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10、已知抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0 )上两个动点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,O 为坐标原点,
OA ⊥ OB .

(1) 求线段 AB 中点的轨迹方程 C; (2)若在 C 上的点到直
5?p= 0 的距离为

线 x ? 2y + 2

d,求 d 的最小值.

11 、设函数 f ( x) = 3ax 2 ? 2(a + b) x + b ,其中 a > 0 ,b 为任意常数. 证明:当
0 ≤ x ≤ 1 时,有 f ( x) ≤ max( f (0), f (1) ) .

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2011 年全国高中数学联赛加试
一、 (本题满分 40 分) 如图,在锐角△ABC 的外接圆上,点 D 是弧 BC 的中点,X 在弧 BD 上,E 是弧 AX 的中点,S 在弧 AC 上,直线 SD 与 BC 相交于 R,SE 与 AX 相交于 T. 求证:若 RT∥DE,则△ABC 的内心在直线 RT 上.

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二、 (本题满分 40 分)

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求最小实数 M,使得对于一切实数 a,b,c 都成立不等式
ab(a 2 ? b 2 ) + bc(b 2 ? c 2 ) + ca (c 2 ? a 2 ) ≤ M (a 2 + b 2 + c 2 ) 2

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三、 (本题满分分) 50

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? 证明:对任意自然数n,1都能被整除。 + ?? ? 3+ 5 ? ? ? ?? ? ? ? ? x? 其中表示不超 过的最大整数。 x ? ?

?

n?

2n

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四、 (50 分)求最小的实数 m ,使得任意五个面积之和为 m 的正三角形能覆盖一 个面积为 1 的正三角形。

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