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2011届高考数学(理)解答题训练(四)

时间:2011-05-04


解答题训练(四)
三、解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 18. (本小题满分 14 分) 已 知 ?ABC 中 的 内 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 定 义 向 量 m = 2 sin B, ? 3 ,

ur

(

)

r ? B ? ur r n = ? cos 2 B, 2 cos 2 ? 1? 且 m / / n . 2 ? ?
(Ⅰ)求函数 f ( x ) = sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B 的单调递增区间; (Ⅱ)如果 b = 2 ,求 ?ABC 的面积的最大值.

19. (本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 满足: an + an +1 = 2an + 2 ,且 a1 = 1, a2 = 2 , n ∈ N .
*

(Ⅰ)设 bn = an +1 ? an ,证明:数列 {bn } 是等比数列; (Ⅱ)求 {an } 的通项公式.

20. (本小题满分 14 分) 已知 ?ABC 与 ?DBC 都是边长为

2 3 3

的等边三角形,且平面 ABC ⊥ 平面 DBC ,过
P

点 A 作 PA ⊥ 平面 ABC ,且 AP = 2 . (Ⅰ)求直线 PD 与平面 ABC 所成角的大小; (Ⅱ)平面 PDC 与底面 ABC 所成的二面角的余弦值.
D

B

C

A

21. (本小题满分 15 分) 如图, 已知圆 G : x 2 + y 2 ? 2 x ?

2 y = 0 经过椭圆

x2 y2 + = 1( a > b > 0) 的右焦点 F 及 a2 b2

上顶点 B.过椭圆外一点 M ( m, 0 )( m > a ) 倾斜 角为 π 的直线 l 交椭圆于 C、D 两点. (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外 部,求 m 的取值范围.

5 6

y

B

D C

o

F

M

x

22. (本小题满分 15 分) 已知函数 f ( x) = x3 + x , g ( x) = ln( x + 1) +

ax 2 + ax ? 1 5 ,其中 a ≥ ? . x +1 16

(Ⅰ)对任意实数 a, b, c ,满足 a + b, b + c, c + a 都是非负数,判断 f ( a ) + f (b) + f (c ) 的 正负号,并证明你的结论; (Ⅱ)若对任意的 x1 ∈ [1,3] ,存在 x2 ∈ [1,3] ,使得 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立,求 a 的取值范围; (Ⅲ)是否存在实数 a ,对任意的 x1 , x2 ∈ [1,3] 都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立?若存在,求出 a 的取 值范围;若不存在,请说明理由.

解答题训练(四 解答题训练(四)参答 训练(
18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)Q m // n ∴ 2 sin B ( 2 cos

r

r

2

B ? 1) = ? 3 cos 2 B 2

∴ sin 2 B = ? 3 cos 2 B



tan 2 B = ? 3 ∴ 2B = 2π 3 ∴B =

又Q B 为锐角 ∴ 2 B ∈ (0, π )

π
3

π? ? f ( x ) = sin 2 x cos B ? cos 2 x sin B = sin ? 2 x ? ? 3? ?
令 2 kπ ?

π
2

≤ 2x ?

π
3

≤ 2 kπ + ? ?

π
2

∴函数的单调递增区间是 ? kπ ?

π
12

, kπ +

5π ? . 12 ? ?

7分

a2 + c2 ? b2 得 a 2 + c 2 ? ac ? 4 = 0 (Ⅱ)Q B = , b = 2,由余弦定理 cos B = 3 2ac
又Q a + c ≥ 2ac 代入上式得: ac ≤ 4 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立. )
2 2

π

S ?ABC =

1 3 ac sin B = ac ≤ 3 (当且仅当 a = c = 2 时等号成立. 14 分 ) 2 4

19. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) an + an +1 = 2an + 2 ,即 2an + 2 ? 2an +1 = an ? an +1 ? an + 2 ? an +1 = ?

1 ( an+1 ? an ) 2

1 bn , b1 = a2 ? a1 = 1 , 2 1 故数列 {bn } 是首项为 1,公比为 ? 的等比数列. 2
即 bn +1 = ?

7分

? 1? (Ⅱ)根据(Ⅰ)知, bn = ? ? ? ? 2? ? 1? 即 an ? an ?1 = ? ? ? ? 2?
n?2

n ?1

; an ?1 ? an ? 2

? 1? = ?? ? ? 2?

n ?3

? 1? ? 1? …; a3 ? a2 = ? ? ? ; a2 ? a1 = ? ? ? ? 2? ? 2?

0

? 1? 1? ? ? ? n?2 n ?3 ? 1? ? 1? ? 1? ? 2? 把上面 n ? 1 个式子相加得: an ? a1 = ? ? ? + ? ? ? + L + ? ? ? + 1 = 1 ? 2? ? 2? ? 2? 1+ 2

n ?1

5 2? 1? 即 an = ? ? ? ? 3 3? 2?
20. (本小题满分 14 分)

n ?1

14 分

解: (Ⅰ)方法 1∵ D 在平面 ABC 的射影是 O , P 在平面 ABC 的射影是 A , ∴ DP 在平面 ABC 的射影是 OA , 即直线 PD 与平面 ABC 所成角就是直线 PD 与直 线 OA 所 成 的 角 , 过 D 作 DM / / OA 交 PA 于 M , 易 知 DO / / PA , ∴

DM = OA = 1, DO = MA = 1 ? PM = 1
∴ cos ∠PDM = 即 ∠PDM = 45 方法 2 建坐标系计算得 ( Ⅱ ) 方 法 1 延 长 AO 与 PD 的 延 长 线 交 于 点 M , 连 接

DM 2 = PD 2
0

7分

M O

MC ,过 O 向 MC 作 OH ⊥ MC 于 M ,连接 DH ,
则 ∠OHD 为所求二面角的平面角 ∵ DO = 1 , AO = 1 , MO = 1 ,

3 1× MO OC 3 =1 = ∴ HO = MC 2 2 3 3 1 2 1 1+ 4

M H O

cos ∠OHD =

OH = DH

=

5 5

14 分

3 S ?AOC 5 方法 2 面积法 cos θ = = 6 = ; S ?PDC 5 15 6
21. (本小题满分 15 分)
2 2 解: (Ⅰ)∵圆 G: x + y ? 2 x ?

方法 3 建立空间直角坐标系计算得

2 y = 0 经过点 F、B

∴F(2,0) ,B(0, 2 ) , 故椭圆的方程为

∴c = 2 ,b = 4分

2

∴a = 6
2

x2 y2 + =1 6 2

(II)设直线 l 的方程为 y = ?

3 ( x ? m)(m > 6 ) 3

? x2 y2 =1 ? + ?6 2 2 2 由? 消去 y 得 2 x ? 2mx + ( m ? 6) = 0 ? y = ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
由△= 4m 2 ? 8( m 2 ? 6) > 0 ,解得 ? 2 3 < m < 2 3 . 又m >

6, 6 <m<2 3
则 x1 + x 2 = m , x1 x 2 =

7分

设 C ( x1 , y1 ) , D ( x 2 , y 2 ) ,

m2 ? 6 , 2

3 3 1 m m2 ( x1 ? m)] ? [? ( x 2 ? m)] = x1 x 2 ? ( x1 + x 2 ) + . ∴ y1 y 2 = [ ? 3 3 3 3 3
∵ FC = ( x1 ? 2, y1 ) , FD = ( x 2 ? 2, y 2 ) , ∴ FC ? FD = ( x1 ? 2)( x 2 ? 2) + y1 y 2 = =

m2 4 ( m + 6) x1 x 2 ? ( x1 x 2 ) + +4 3 3 3

2m(m ? 3) 3

12 分

∵点 F 在圆 G 的外部, ∴ FC ? FD > 0 ,即

uuu uuu r r

2m(m ? 3) > 0 ,解得 m < 0 或 m > 3 3
15 分

又 6 < m < 2 3 ,∴ 3 < m < 2 3 22. (本小题满分 15 分)

解: (Ⅰ)容易证明函数 f ( x ) = x + x 是递增的奇函数,
3

而 a + b ≥ 0, b + c ≥ 0, c + a ≥ 0 ,则 a ≥ ?b, b ≥ ?c, c ≥ ? a ∴ f ( a ) ≥ f (?b), f (b) ≥ f ( ?c ), f (c ) ≥ f ( ?a )

即 f ( a ) ≥ ? f (b), f (b) ≥ ? f (c ), f (c ) ≥ ? f ( a ) 即 f ( a ) + f (b) ≥ 0, f (b) + f (c ) ≥ 0, f (c ) + f ( a ) ≥ 0 三式相加的 f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) ≥ 0 ∴ f ( a ) + f ( b ) + f ( c ) 非负. (Ⅱ) g ′( x) = 5分

1 1 2 1 1 1 +( ) +a=( + )2 + a ? x +1 x +1 x +1 2 4 1 1 1 5 3 5 而 ∈ [ , ] ∴ g '( x) ∈ [a + , a + ] .又 a ≥ ? ∴ g ′( x) ≥ 0 恒成立. x +1 4 2 16 4 16
对任意的 x1 ∈ [1,3] ,存在 x2 ∈ [1,3] ,使得 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立” 等价于 f ( x) min ≥ g ( x) min

Q f ( x) = x3 + x 在 [1,3] 上是单调递增函数
而 g ( x) 在 [1,3] 上单调递增函数 由 f ( x) min ≥ g ( x) min 得 ?

∴ f ( x) min = f (1) = 2 .
1 . 2

∴ g ( x) min = g (1) = a + ln 2 ?
10 分

5 5 ≤ a ≤ ? ln 2 . 16 2

(Ⅲ)“对任意的 x1 , x2 ∈ [1,3] 都有 f ( x1 ) ≥ g ( x2 ) 成立”等价于 f ( x)min ≥ g ( x) max . 而 f ( x) min = f (1) = 2 ,

g ( x)max = g (3) = 3a + 2ln 2 ?

1 4

f ( x) min ≥ g ( x) max

5 ? ? a ≥ ? 16 5 2 3 ? ?? ? ? ≤ a ≤ ? ln 2 + 2 3 16 3 4 ? a ≤ ? ln 2 + ? 3 4 ? 5 2 3 ≤ a ≤ ? ln 2 + . 16 3 4
15 分

∴ 满足条件的 a 存在,取值范围为 ?


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