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高一数学必修—函数定义域值域复习及练习

时间:2018-01-08


高一数学必修—函数定义域值域复习及练习
一、函数定义域与值域复习
(一)、函数定义域 1、定义域是函数 y=f(x)中的自变量 x 的范围。 (1)分母不为零 (2)偶次根式的被开方数非负。 (3)对数中的真数部分大于 0。 (4)指数、对数的底数大于 0,且不等于 1 (5) x 0 中 x ? 0 2、一般函数定义域的求法 例 1、求函数 f (x ) ?
4 ? x2 的定义域。 x ?1

例 2、函数

f ( x) ?

3x 2 1? x

? lg(3x ? 1)

的定义域

例 3、求函数 y ?

( x ? 1)0 x ?x

的定义域。

例 4、求函数 y ? 4 ? x 2 2 x ? 3 ?

1 的定义域。 ( x ? 1) 0

3、抽象函数定义域的求法 (1).已知 f ( x) 的定义域,求复合函数 f [ g ?x?] 的定义域 由复合函数的定义我们可知,要构成复合函数,则内层函数的值 域必须包含于外层函数的定义域之中,因此可得其方法为:若 f ( x) 的 定义域为 x ? ?a, b ? , 求出 f [ g ( x)] 中 a ? g ( x) ? b 的解 x 的范围, 即为 f [ g ( x)] 的定义域。 例 1、 设函数 的定义域为 , 则函数 f ?x ? 1? 的定义域为_ _ ;

函数 f ?2 x? 的定义域为________;

(2).已知复合函数 f [ g ?x?] 的定义域,求 f ( x) 的定义域 方法是:若 f [ g ?x?] 的定义域为 x ? ?a, b ? ,则由 a ? x ? b 确定 g ( x) 的 范围即为 f ( x) 的定义域。 例 2、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [?3,3] ,求函数 f ?x ? 的定义域。

(3).已知复合函数 f [ g ( x)] 的定义域,求 f [h( x)] 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法,我们可以得到此类解法为: 可先由 f [ g ?x?] 定义域求得 f ?x ? 的定义域,再由 f ?x ? 的定义域求得
f [h?x?] 的定义域。

例 3、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为

,求函数 f (2 x ?1) 的定义域。

(4).已知 f ( x) 的定义域,求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的, 其定义域为 各基本函数定义域的交集,即先求出各个函数的定义域,再求交集。 例 4.若 f ( x) 的定义域为 ??3, 5? ,求 ? ( x) ? f (? x) ? f (2 x ? 5) 的定义域.

(二)、函数的值域 1、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数 的值域均应考虑其定义域. 2、常见函数的值域: 一次函数 y ? kx ? b ? k ? 0? 的值域为 R. 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? , 当 a ? 0 时的值域为 ?
? 4ac ? b 2 ? 时的值域为 ? ??, ? ., 4a ? ? ? 4ac ? b 2 ? 当a ? 0 , ?? ? , ? 4a ?

反比例函数 y ? ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . 指数函数 y ? a x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 ? y y ? 0? . 对数函数 y ? loga x ? a ? 0且a ? 1? 的值域为 R. 3、求函数值域的方法 (1)、观察法 (2) 、配方法 对于形如 y ? ax2 ? bx ? c ? a ? 0? 或 F ? x ? ? a ? ? f ? x ?? ? ? bf ? x ? ? c ? a ? 0 ? 类
2

k x

的函数的值域问题,均可用配方法求解.

(3)、换元法 形 如 y ? a x? b? (4) 、最值法 对于闭区间上的连续函数,利用函数的最大值、最小值求函数的值域 的方法。 例 1、求函数 y ? x2 ? 4x ? 7 , ( x ? ?0,5?)的值域。
cx ? ( d, a, b , 均为常数 c d ,

的 ? ac 0 ) 函 数 , 令 cx ? d ? t

(5) 、判别式法 分子、分母中含有二次项的函数类型,此函数经过变形后可以化为
A( y) x 2 ? B( y) x ? C( y) ? 0 的形式,再利用判别式加以判断。

例 2、求函数的值域 y ?

2x2 ? x ? 2 。 x2 ? x ? 1

(6) 、反函数法 分子、分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函 数类型,对于存在反函数且易于求得其反函数的函数,可以利用“原 函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质,先 求出其反函数,进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值 域。

例 3、求函数 y ?

2x 的值域。 x ?1

(7) 、数形结合法 对于一些能够准确画出函数图像的函数来说,可以先画出其函数图 像,然后利用函数图像求其值域 例 4、求函数 y ? x ?1 ? x ? 3 的值域。

二、函数定义域与值域的练习与巩固 (一)、基础题 1、 (2006?陕西)函数 f(x)= A、 ?0,1? 2.函数 y= A、R B、 ?0,1? (x∈R)的值域是( D、 ?0,1? )
? D? , 2? ? ?5 ? 2



C、 ?0,1?

(x∈[2,6])的值域是( B、 ?? ?,0? ? ?0,???
1? x 1? x

? C、 ? , 2? ? ?2 ? 3

3.已知函数 f ( x) ? lg

的定义域为 A,函数 g ( x) ? lg(1? x ) ? lg(1? x ) 的定 ( ) ? D.B≠A

义域为 B,则下述关于 A、B 的关系中,不正确的为 A.A?B B.A∪B=B C.A∩B=B

4. 函数 y ?

x?2 的定义域 x2 ? 4

. . _;

5. 函数 y=x2﹣2x 的定义域为{0, 1, 2, 3}, 那么其值域为 6、设函数 7 函数 的定义域为 ,则函数 的定义域为_ _

的定义域为________; ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域 。
1 4 1 4

8、若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 是
1 x

;函数 f ( ? 2) 的定义域为

9、若函数 y ? f ( x) 的定义域为[?1,1],求函数 y ? f ( x ? ) ? f ( x ? ) 的 定义域。

10、 设函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) , 求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义 域。

(二)提高题 1. 若函数 y=f(x)的定义域是[0,2],则函数 g(x)= ( ) A. [0,1] B. [0,1)
f ?2x? 的定义域是 x ?1

C. [0,1)∪(1,4]

D. (0,1)

x ? ? ? ?1? 2. 若集合 S ? ? y | y ? ? ? ? 1, x ? R? ? , T ? ? y | y ? log2 ( x ?1), x ? ?1? ,则 S ? T ? ? ?2? ? ?

等于 A.{0} B. { y | y ? 0} C.S D.T

3.函数 y=

2 的定义域是(-∞,1)∪[2,5),则其值域是( x-1

)

1 A.(-∞,0)∪( ,2] B.(-∞,2] 2 1 C.(-∞, )∪[2,+∞) D.(0,+∞) 2 4. 函数 y=log3(9-x2)的定义域为 A, 值域为 B, 则 A∩B=________. 5.设 f ( x) ?
ax ? b ( a >0)的值域为[-1,4],则 a ,b 的值为_________ x2 ?1

6.已知函数 f ( x2 ? 2 x ? 2) 的定义域为 ?0, 3? ,求函数 f ( x) 的定义域.

7、设函数 f ( x) 的定义域为 (0,1) ,求函数 F ( x) ? f ( x ? a) ? f ( x ? a) 的定义 域。

8、已知函数

的定义域为 [?1, 1] ,且函数 F ( x) ? f ( x ? m) ? f ( x ? m) 的

定义域存在,求实数 m 的取值范围。

9、求定义域在区间 [?1,1] 上的函数 y ?

a ? bx (a ? b ? 0) 的值域。 a ? bx

10、求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) ⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ?[1, 2]

⑶y?

3x ? 1 x ?1

⑷y?

3x ? 1 ( x ? 5) x ?1

2 x ?6 ⑸ y? x ?2

5 x 2+9x ? 4 ⑹ y? x2 ?1

⑺ y ? x ? 3 ? x ?1

(8) y ? ? x2 ? 4x ? 5

(9) y ? 4 ? ? x2 ? 4x ? 5


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