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导数应用中的恒成立问题论文:例探导数应用中的恒成立问题

时间:2012-01-06


导数应用中的恒成立问题论文:例探导数应用中的恒成立问 题 摘要:利用导数研究函数的单调性、极值、最值以及解 决生活中的优化问题有着非常重要的作用,为我们解决函数 问题提供了有力的工具。用导数可以解决函数中的最值问 题,不等式问题,还可以在知识的网络交汇处设计问题,在 高考中占有很重要的地位。因此,在教学中,要突出导数的 应用。 关键词:导数;应用;函数;恒成立 导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽 带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野,是研究 函数性质、证明不等式、探求函数的极值、最值、求曲线的 斜率和解决一些物理问题等等的有力工具,对于应用导数解 决实践问题,关键是建立恰当的数学模型。本文拟就导数在 解决函数应用中的恒成立问题,谈一点个人的感悟和体会。 解题规律一:要使得f(x)≥c(或 f(x)≤c) (c 为常数)在某个区间[a,b]恒成立,先求出f(x)在 该区间上的最小值f(x)min(或最大值f(x)ma x)并且令f(x)min≥c(或 f(x)max ≤c)即可解决问 题, 【例 1】已知函数 f(x)=ax3+bx2-c(其中 a,b,c 均为 常数,xε r).当 x=1 时,函数 f(x)的极植为-3-c.

(1)试确定 a,b 的值; (2)若对于任意 x>0,不等式 f(x)≥-2c2 恒成立, 求 c 的取值范围. 解: (1)由 f(x)=ax3+bx2-c,得 f′(x)=3ax2+2bx, ∴■得,∴■,∴f(x)=6x3-9x2-c. (2)∵f(x)=6x3-9x2-c,∴f′(x)=18x2-18x=19x(x-1), 令 f′(x)=0,得 x=0 或 x=1.当 x1 时,f(x)单调递增; 当 00 恒成立,∴-6x3-9x2-c≥-2c2 对任意 x>0 恒成立, ∴-3-c≥-2c2∴c≤-1 或 c≥■.∴c 的取值范围是(-∞, -1]∪[■,+∞). 【例 2】已知函数 f(x)=ax3+cx+d(a≠0)是 r 上的奇函 数,当 x=1 时 f(x)取得极值-2. (1)求 f(x)的单调区间和极大值; (2)证明对任意 x1,x2ε (-1,1),不等式 |f(x1)-f(x2)|0,故 f(x)在单调区间(-∞,-1)上是增函数. 当 xε (-1, 1)时, f′(x)0, f(x)在单调区间(1, 故 +∞) 上是增函数. 所以,f(x)在 x=-1 处取得极大值,极大值为 f(-1)=2. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x(xε [-1,1])是减函数,且 f(x)在[-1,1]上的最大值为 m=f(-1)=2,最小值为 m=f(1)=-2. 所以,对任意 x1,x2ε (-1,1),恒有|f(x1)-f(x2)|1

时,g′(x)=1-a+lnx>1-a≥0,故 g(x)在(1,+∞)上为增函 数,所以,x≥1 时,g(x)≥g(1)=1-a≥0,即 f(x)≥ax-1 ②若 a>1,方程 g′(x)=0 的根为 x0=ea-1,此时,若 xε (1,x0),则 g′(x) 是(-∞,1]. 解法二:依题意得f(x)≥ax-1在[1,+∞)上 恒成立,即a≤lnx+■对于xε [1,+∞)恒成立。令 g(x)=lnx+■,则g′(x)=■-■=■(1-■). 当 x>1 时,因为 g′(x)=■(1-■)>0,故 g(x)是(1,+∞) 上的增函数,所以 g(x)的最小值是 g(x)=1,所以 a 的取值 范围是(-∞,1]. 【例 4】设函数f(x)=alnx,若不等式f(x) ≥m+x对所有的aε [0,■] ,xε (1,e2]都成立,求实 数 m 的取值范围。 解:若不等式f(x)≥m+x对所有的aε [0,■] , xε (1,e2]都成立,则alnx≥m+x对所有的a ε [0,■] ,xε (1,e2]都成立,即m≤alnxx,对所有的aε [0,■] ,xε (1,e2]都成立, 令h(a)=alnx-x,则h(a)为一次函数,m≤ h(a)min,∵xε (1,e2] ,∴lnx>0,∴ h(a)在aε [0,■]上单调递增,∴h(a)min =h(0)=-x,∴m≤-x对所有的xε (1,e2]都 综上,满足条件的 a 的取值范围

成立,∵1<x<e2,∴-e2≤-x<-1,∴m≤g(x)min=-e2 解题规律三:解决形如:f(x)≥g(x)或f(x) ≤g(x)在某个区间恒成立时,求参数a的取值范围时可 以把问题转化为f (x) min≥g (x) max (或f (x) max≤g(x)min) ,从而解决问题。 【例 5】若f(x)=■x2-6x+5lnx,设函数 g(x)=x+■,对于任意 x≠0和 x1,x2ε (1,5] , 有|λ g(x)|-5ln5≥|f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数 λ 的取 值范围。 解:∵f(x)=■x2-6x+5lnx,∴f′(x) =x-6+■=■=■ . 则x,f(x) ,f′(x)的变化情况如下: 则f(x)极大值=f(1)=-■,f(x)极小值 =f(5)=-■+5ln5. ∴|f(x1)-f(x2)|≤-■-(-■+5ln5) =12-5ln5. ∴|λ g (x) |-5ln5≥|f (x1) (x2) -f | 恒成立|λ g(x)|≥12 恒成立. ∵|g(x)|=|x+■|=|x|+■≥2,当且仅当 x=±1 时取等 号, ∴|λ g(x)|min=|2λ |≥12|λ |≥6λ ≤-6或

λ ≥6. 在高中数学学习以及历届高考试题中,我们很容易发现 导数可以解决函数中的最值问题,不等式问题,还可以在知 识的网络交汇处设计问题,在高考中占有很重要的地位。因 此,在教学中,要突出导数的应用,特别是对于恒成立问题 的探讨。


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