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高考数学 复习点拨 浅析高考题中求离心率的策略

时间:2016-04-24

浅析高考题中求离心率的策略
求圆锥曲线的离心率近几年来在高考中都有题目出现 .为此,本文结合高考题,介绍 求圆锥曲线的离心率的几种常用方法, 以达到更好地理解和掌握解此类题的技巧和规律, 提 高分析问题和解决问题的能力. c 一、根据条件先求出 a,c,利用 e= 求解 a 例 1 若椭圆经过原点,且焦点为 F1 (1,0),F2 (3,0),则其离心率为( A. 3 4 B. 2 3 1 C. 2 ) D. 1 4

解析:由 F1 、F2 的坐标知 2c=3﹣1,∴c=1,又∵椭圆过原点,∴a﹣c=1, a+c=3,∴a=2, c=1, c 1 所以离心率 e= = .故选 C. a 2 例 2 如果双曲线的实半轴长为2,焦距为6,那么双曲线的离心率为( A. 3 2 B. 6 2 C. 3 2 D2 )

c 3 解析:由题设 a=2,2c=6,则 c=3,e= = ,因此选 C a 2 二、根据圆锥曲线的统一定义求解 例3 x y 设椭圆 2+ 2 =1 (a>b>0)的右焦点为 F1 ,右准线为l1 ,若过 F1 且垂直于x轴的弦的 a b
2 2

长等于点F1 到l1 的距离,则椭圆的离心率是 . 解析:如图1所示,AB是过F1 且垂直于x轴的弦, ∵AD⊥l1 于D,∴|AD|为F1 到准线l1 的距离, 1 |AB| |AF1 | 2 1 1 1 根据椭圆的第二定义,e= = = , 即 e= .故填 . |AD| |AD| 2 2 2 三、构建关于 a,c 的齐次等式求解 x y 例 4 设双曲线 2﹣ 2 =1(0<a<b)的半焦距为 c,直线 L 过(a,0),(0,b)两点.已知原点到直 a b 线的距离为 A.2 3 c,则双曲线的离心率为( 4 B. 3 ) C. 2 D. 2 3 3
2 2

图1

解析:由已知,直线 L 的方程为 bx+ay -ab=0. 由点到直线的距离公式,得
2 2 2

ab a +b
2 2



3 c,又 c2 =a2 +b2 , ∴4ab= 3c2 , 4

两边平方,得 16a (c ﹣a )=3c4 .两边同除以 a4 ,并整理,得 3e4 -16e2 +16=0. 4 c2 a2 +b2 b2 2 2 2 2 解得 e =4 或 e = .又 0<a<b ,∴e = 2= 2 =1+ 2 >2,∴e =4,∴e=2.故选 A. a a a 3

例 5 双曲线虚轴的一个端点为 M,两个焦点为 F1 ,F2 ,∠F1 MF2 =120?,则双曲线的 离心率为( ) (A) 3 6 6 3 (C) (D ) 2 3 3 解析:如图 2 所示,不妨设 M(0,b),F1 (-c,0), F2 (c,0),则 (B )
2 2

|MF1 |=|MF2 |= c +b .又|F1 F2 |=2c, |MF1 |2 +|MF2 |2 ﹣|F1 F2 |2 在△F1 MF2 中, 由余弦定理,得 cos∠F1 MF2 = , 2|MF1 |·|MF2 | 即 (c +b )+(c +b )﹣4c 2 c +b · c +b
2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 b ﹣c 1 )=cos120?=﹣ ,∴ 2 2=﹣ , 2 b +c 2

2

2

图2

﹣ a2 1 3 6 2 2 2 2 2 2 ∵b =c ﹣a ,∴ 2 =﹣ ,∴3a =2c ,∴e = ,∴e= .故选 B. 2c ﹣a2 2 2 2 x2 y2 例 6 双曲线 2﹣ 2 =1 的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线的离心率为( a b A.2 B. 3 C. 2 D. 3 2

)

c 解析:由条件易知,双曲线为等轴双曲线,∴a=b,∴c= 2a,∴e= = 2.故选 C. a 四、根据曲线方程列出含参数的关系式,求 e 的取值范围 ? 2 2 例 7 设θ∈(0, ),则二次曲线 x cotθ﹣y tanθ=1 的离心率的取值范围为( 4 1 A.(0, ) 2 ∞) 1 2 B.( , ) 2 2 C.( 2 , 2) 2 )

D.( 2 ,+

? 2 2 2 2 2 2 2 解析:由 x cotθ﹣y tanθ=1,θ∈(0, ),得 a =tanθ,b = cotθ,∴c =a +b =tan 4 θ+ cotθ, c tanθ+ cotθ ? ∴e = 2= =1+ cot2 θ,∵θ∈(0, ),∴cot2 θ>1,∴e2 >2,∴e> 2.故选 D. a tanθ 4
2 2

五、构建关于 e 的不等式,求 e 的取值范围 → 例 8 如图,已知梯形ABCD 中,|AB|=2 |CD|,点E 分有向线段 AC所成的比为λ, 2 3 双曲线过C、D、E三点,且以A、B为焦点.当 ≤λ≤ 时,求双曲线离心率e的取值范围. 3 4 解析:以 AB 的垂直平分线为 y 轴,直线 AB 为 x 轴,建立如图 3 所示的直 角坐标系 xOy,则 CD⊥y 轴. 因为双曲线经过点 C、D,且以 A、B 为焦点,由双曲线的对称性知 C、D c 1 关于 y 轴对称.依题意,记 A(﹣c,0),C( ,h),E(x0 ,y0 ),其中 c= |AB |为 2 2 双曲线的半焦距,h 是梯形的高. 图3

c -c+λ· 2 (λ-2)c λh 由定比分点坐标公式得 x0 = = ,y0 = . 1+λ 2(1+λ) 1+λ x y c 设双曲线的方程为 2 ﹣ 2=1,则离心率 e= . a b a 由点 C、E 在双曲线上,所以,将点 C 的坐标代入双曲线方程得 c2 λ﹣2 2 λ 2 h2 将点 E 的坐标代入双曲线方程得 2 ( ) -( ) 2 =1 4a 1+λ 1+λ b c 再将 e= ①、 ②得 a e2 h 2 h2 e 2 ﹣ 2 =1, ∴ 2= ﹣1 4 b b 4 c2 h2 2﹣ 2 =1 4a b ②. ④. ①,
2 2

e2 λ﹣2 2 1 2h2 ③, ( ) -( ) 2 =1 4 1+λ 1+λ b

将③式代入④式,整理得

e2 3 (4-4λ)=1+2λ,∴λ=1- 2 . 4 e +2

2 3 2 3 3 由题设 ≤λ≤ 得, ≤1- 2 ≤ .解得 7≤e≤ 10. 3 4 3 e +2 4 所以双曲线的离心率的取值范围为[ 7, 10] .

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