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浙江专用2016_2017高中数学第一章三角函数习题课三角函数的图象与性质课件新人教版_图文

时间:2019-02-12

习题课 三角函数的图象与性质
目标定位 1.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π],正
? π π? ? 切函数在? - , ? ?上的性质(如单调性、最大值和最小值、图 2 2 ? ?

象与 x 轴的交点等);2.注意体会化归思想、数形结合思想在解 决问题中的应用.

自 主 预 习
1.函数f(x)=xsin x的部分图象是( )

解析

∵f(-x)=-xsin(-x)=xsin x=f(x),

∴f(x)为偶函数,排除 B、D
? π? ? 又∵f(x)在?0, ? ?上是增函数,排除 2 ? ?

C.故选 A.

答案 A

2.函数y=sin x-|sin x|的值域是(
A.{0} C.[0,2]
解析 y=sin x-|sin

)

B.[-2,2] D.[-2,0]
? ?0,sin x≥0, x|=? ? ?2sin x,sin x<0.

∴-2≤y≤0.

答案 D

3.函数y=|cos x|的一个单调增区间是(
? π A.? ?- 4 ? ? C.? ?π ?

)
? ? ? ? ? ? ? ?

π? ? ,4? ?
? ? ? ?

?π B.? ?4 ?

3π , 4

3π , 2

?3π D.? ? 2 ?

,2π

解析

画出函数 y=|cos

?3π ? ? ? x|的图象,由图象可知? , 2 π ?是 2 ? ?

函数的一个单调增区间.

答案 D

4.为了得到函数 y=sin(2x+1)的图象,只需把函数 y=sin 2x 的图 象上所有的点( )

1 A.向左平行移动 个单位长度 2 1 B.向右平行移动 个单位长度 2 C.向左平行移动 1 个单位长度 D.向右平行移动 1 个单位长度
解析 sin 1 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度得到函数 y= 2 y=sin(2x+1)的图象.

? 1? 2?x+2?的图象,即函数 ? ?

答案 A

5.函数

? π ? f(x)=3sin?2x+ 3 ?

? ? π +φ?(φ∈(0, ?

))满足 f(|x|)=f(x),

则 φ 的值为( π A. 6
解析

) π C. 12 2π D. 3
π 2x+ 3 +φ=

π B. 3
函数

? ? π ? f(x)=3sin?2x+ +φ? ?的对称轴方程为 3 ? ?

? ? π π ? ? + k π, k ∈ Z ,又由 f (| x |) = f ( x ) 知函数 f ( x ) = 3sin 2 x + + φ ? ?为 2 3 ? ?

π 偶函数,则 y 轴为其一条对称轴,∴φ= 6 +kπ. π 又∵φ∈(0,π),∴φ= 6 . 答案 A

6.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ是常数,A>0,ω>0)的部分 图象如图所示,则f(0)=_______.

?π ? T 7π π π ? ? 解析 由图象可知, A= 2, = - = , ω = 2 , ? 3 ,0? 4 12 3 4 ? ?

π π 是函数的第二个零点,∴2× +φ=π,即 φ= , 3 3 ∴f(x)=
答案
? π? ? 2sin?2x+ ? ?.∴f(0)= 3 ? ?

6 . 2

6 2

题型一 三角函数的图象问题
【例1】 (1)与图中曲线对应的函数解析式为( )

A.y=|sin x| C.y=-sin |x|

B.y=sin |x| D.y=-|sin x|K

(2)若函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k 有且只有两个不同的交点,则k的取值范围是______.

解析

(1)图象对应的函数值有正有负, 所以排除 A, D; 又 x∈(0,

π)时,图中函数值小于 0,所以选 C.
? ?3sin x,x∈[0,π], (2)f(x)=? ? ?-sin x,x∈(π,2π],

其图象如图:

与y=k有且只有两个不同的交点,则1<k<3. 答案 (1)C (2)(1,3)

规律方法

翻折法作函数图象

(1)要得到 y=|f(x)|的图象, 只需将 y=f(x)的图象在 x 轴下方的 部分沿 x 轴翻折到上方,即“下翻上”. (2)要得到 y=f(|x|)的图象, 只需将 y=f(x)的图象在 y 轴右边的 部分沿 y 轴翻折到左边,即“右翻左”,同时保留右边的部 分.

【训练1】 例1题(2)中,若问函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0, 2π]的图象与直线y=k有四个不同的交点,则k的取值范围是 _______. 解析 由图象知,0<k<1.

答案 (0,1)

题型二 求三角函数的定义域和值域
1 【例 2】 (1)函数 y= 的定义域为_____. tan x-1 (2)求下列函数的值域: cos x+5 ①y= ;②y=sin2x-4sin x+5. 2-cos x

(1)解析

?tan x-1≠0, ? 要使函数有意义,必须有? π x≠ +kπ,k∈Z, ? 2 ?

? π ?x≠ 4 +kπ,k∈Z, 即? 故函数的定义域为 ?x≠π+kπ,k∈Z. 2 ?
? ? ? ? ? π π ? ?x?x≠ +kπ且x≠ +kπ,k∈Z?. ? ? 4 2 ? ? ?

答案

? ? ? π ?x?x≠ ? ? 4 ? ?

? π ? +kπ 且x≠ 2 +kπ ,k∈Z ? ? ?

(2)解

cos x+5 2y-5 ①由 y= ,得 cos x= . 2-cos x y+1

2y-5 4 因为-1≤cos x≤1,所以-1≤ ≤1,解得3≤y≤6. y+1
?4 ? 因此,原函数的值域为?3,6?. ? ?

②y=sin2x-4sin x+5=(sin x-2)2+1. 因为-1≤sin x≤1,所以 2≤y≤10. 因此,原函数的值域为[2,10].

规律方法

(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等

式,常借助三角函数线或三角函数图象来求解. (2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目: ①形如 y=asin x+bcos x+k 的三角函数化为 y=Asin(ωx+φ)+k 的形式,再求最值(值域); ②形如 y=asin2x+bsin x+k 的三角函数,可先设 sin x=t,化为 关于 t 的二次函数求值域(最值); ③形如 y=asin xcos x+b(sin x±cos x)+c 的三角函数,可先设 t =sin x±cos x,化为关于 t 的二次函数求值域(最值).

【训练 2】 (1)函数 y= sin x-cos x的定义域是_______. (2)函数 A.-1
? π ? f(x)=sin?2x- 4 ? ? ? π ? ? ?在区间?0, 2 ? ? ? ? ?上的最小值为( ?

)

2 B.- 2

2 C. 2

D.0

解析 (1)要使函数有意义,必须有sin x-cos x≥0,即 sin x≥cos x,同一坐标系中作出y=sin x,y=cos x,x∈[0,

2π]的图象如图所示.

结合图象及正、余弦函数的周期是 2π知,
? ? ? ? π 5π 函数的定义域为?x|2kπ+ ≤x≤2kπ+ ,k∈Z?. ? ? 4 4 ? ?

? π π 3π π? ? ? (2)∵x∈?0, ?,∴- 4 ≤2x- 4 ≤ 4 ,令 2? ? ? π? ? sin?2x- ? ?=sin 4 ? ?

π y=2x- 4 ,则

? π 3π ? ? π? ? ? ? ? y 在 y∈?- , 上的最小值为 sin - ? ? ?= 4 4 4 ? ? ? ?

2 -2.
答案
? ? ? (1)?x? ?2kπ ? ? ? ? ? π 5 + ≤x≤2kπ +4π ,k∈Z ? ? 4 ?

(2)B

题型三

三角函数的单调性与周期性
? π ? f(x)=sin?ω x+ 4 ? ? ?π ? ? ?在? 2 ? ?

【例 3】 (1)已知 ω>0,函数

,π

? ? ?上单 ?

调递减,则 ω 的取值范围是(
?1 5? A.?2,4? ? ? ? 1? C.?0,2? ? ?

)

?1 3? B.?2,4? ? ?

D.??0,2??

?

?

(2)求函数 f(x)=lg(sin x)的单调减区间.

π ωπ π π π (1)解析 由 2 <x<π得 2 + 4 <ωx+ 4 <ωπ+ 4 , ?ωπ π π ? 2 +4≥2, ?π 3 ? ? 又∵y=sin x 在? 上递减,∴? , π ?2 ? 2 ? ? ?ωπ+π≤3π, 4 2 ? 1 5 解得 ≤ω≤ . 2 4
答案 A

(2)解

∵y=lg x 在(0,+∞)上是增函数,

∴要求 f(x)=lg(sin x)的单调递减区间, 只须求使 sin x>0 的递减区间即可, π ∴ 2 +2kπ <x<π +2kπ ,k∈Z,
?π ∴所求减区间为? ?2 ?

+2kπ ,π +2kπ

? ? ?,k∈Z. ?

规律方法

(1)求形如 y=Asin(ωx+φ)或 y=Acos(ωx+φ)(其中

ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解不 等式求解.但如果 ω<0, 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正 数,防止把单调性弄错. (2)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简, 并注意复合函数单调性规律“同增异减”. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时,通常要画出 图象,结合图象判定.

【训练3】 写出下列函数的单调区间及周期:
? π ? (1)y=sin?-2x+ 3 ? ? ? ?;(2)y=|tan ?

x|.
? ? 故它的单调增区间是 ?, ?



? π ? (1)y=sin?-2x+ 3 ?

? ? π ? ? ?=-sin?2x- 3 ? ?

? π ? y=sin?2x- 3 ?

? ? ?的减区间, ? ? π ? y=sin?2x- 3 ? ? ? ?的增区间. ?

它的减区间是

π π π 由 2kπ - 2 ≤2x- 3 ≤2kπ + 2 ,k∈Z, π 5π 得 kπ -12≤x≤kπ + 12 ,k∈Z.

π π 3π 由 2kπ + ≤2x- ≤2kπ + ,k∈Z. 2 3 2 5π 11π 得 kπ + 12 ≤x≤kπ + 12 ,k∈Z.
? 故所给函数的减区间为? ?kπ ? ? 增区间为? ?kπ ?

π 5π ? ? -12,kπ + 12 ?,k∈Z; ?

5π 11π ? ? + 12 ,kπ + 12 ?,k∈Z. ?

2π 最小正周期 T= 2 =π .

(2)观察图象可知,y=|tan k∈Z,
? 减区间是? ?kπ ?

? x|的增区间是? ?kπ ?

π? ? ,kπ + 2 ?, ?

? π ? - 2 ,kπ ?,k∈Z. ?

最小正周期 T=π .

题型四

三角函数的奇偶性和对称性问题
? π ? f(x)=2sin?x+ 3 ? ? ? 函数 ?(x∈R), ? ? π ? y=f(x+φ)?|φ|≤ 2 ? ? ? ? ?

【例 4】 (1)已知

的图象关于直线 x=0 对称,则 φ 的值为________. (2)如果函数
?4π y=3cos(2x+φ)的图象关于点? ? 3 ? ? ? ,0?中心对称, ?

那么|φ|的最小值为( π A. 6 π B. 4

) π C. 3 π D. 2

解析

? ? π ? (1)y=f(x+φ)=2sin?x+ +φ? ?图象关于 3 ? ?

x=0 对称, 即

f(x+φ)为偶函数. π π ∴ 3 +φ= 2 +kπ,k∈Z, π π π 即 φ=kπ+ 6 ,k∈Z,又∵|φ|≤ 2 ,∴φ= 6 .

(2)由题意得

? ? ?2π ? 4π ? ? ? ? 3cos?2× = 3cos + φ + φ + 2 π ? ? 3 ? 3 ? ? ? ?

?2π ? ? ? =3cos? +φ?=0, ? 3 ?

2π π ∴ +φ=kπ+ ,k∈Z, 3 2 π π ∴φ=kπ- ,k∈Z,取 k=0,得|φ|的最小值为 . 6 6

答案

π (1) 6

(2)A

规律方法

若 f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当 x=0 时,f(x)取

得最大值或最小值. 若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数, 则当 x=0 时,f(x)=0, π 如果求 f(x)的对称轴,只需令 ωx+φ= 2 +kπ(k∈Z), 求 x. 如果求 f(x)的对称中心的横坐标, 只需令 ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.

【训练 4】 设函数

? y=sin(ωx+φ)? ?ω >0,φ ?

? π ∈? ?- 2 ?

? π? ?? , 2 ??的最 ??

π 小正周期为π ,且其图象关于直线 x= 对称,则在下面四 12
?π 个结论: ①图象关于点? ?4 ? ? π ? 称; ③在?0, 6 ? ? ?π ? ②图象关于点? ,0?对称; ?3 ? ? ? ? ,0?对 ?

? ? π ? ? 上是增函数; ④在 ? ?- 6 ? ?

? ? ,0?上是增函数中, ?

所有正确结论的编号为______.

答案 ②④

题型五 由图象求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
【例 5】 已知函数 f1(x)=Asin(ωx+φ)
? ? ?A>0,ω ?

π? ? >0,|φ |< ?的部分图象如图所示. 2?

(1)求此函数的解析式; (2)若f1(x)图象的关于直线x=2对称图象的函数解析式为f2(x), 求f2(x)的解析式.



2π π (1)由图可知:A= 2,T=16,ω = 16 = 8 .

π π π 又由 8 ×2+φ= 2 ,得 φ= 4 , ∴f1(x)=
?π 2sin? ?8 ?

π? ? x+ ? . 4?

(2)∵f2(x)与 f1(x)关于直线 x=2 对称, ∴f2(x)=f1(4-x)=
?π 2sin? ?8 ? ? π π? 3π ? ? ? ? (4-x)+ 4 ?= 2cos?- 8 x+ 4 ?. ? ? ?

规律方法

根据 y=Asin(ωx+φ)+k 的图象求其解析式的

问题,主要从以下四个方面来考虑: (1)A 的 确 定 : 根 据 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 , 即 A = 最大值-最小值 ; 2 (2)k 的 确 定 : 根 据 图 象 的 最 高 点 和 最 低 点 , 即 k = 最大值+最小值 ; 2

2π (3)ω 的确定:结合图象,先求出周期 T,然后由 T= (ω>0)

ω

来确定 ω; (4)φ 的确定:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 最开始与 x 轴的交点

φ φ (最靠近原点)的横坐标为- (即令 ωx+φ=0, x=- )确定 φ. ω ω

【训练5】 如图为y=Asin(ωx+φ)的图象的一段.(A>0,ω>0,|φ|<π).

(1)求其解析式; π (2)若将 y=Asin(ωx+φ)的图象向左平移 6 个单位长度后得 y= f(x),求 f(x)的对称轴方程.

解 以

(1)由图象知 A= 3,
?π M? ?3 ? ? ?5π ? ? ,0?为第一个零点,N? ? ? 6 ? ? ,0?为第二个零点. ?

π ? ?ω =2, ?ω · 3 +φ=0, ? 列方程组? 解得? 2π 5 π φ =- . ? ?ω · 3 ? 6 +φ=π , ? ∴所求解析式为 y=
? 2π ? 3sin?2x- 3 ? ? ? ?. ?

(2)f(x)=

? ? π ? ? 3sin?2?x+ 6 ? ?

? 2π ? ?- 3 ?

? ? ?= ?

? π ? 3sin?2x- 3 ?

? ? ?, ?

π π kπ 5 令 2x- 3 = 2 +kπ (k∈Z),则 x=12π + 2 (k∈Z), kπ 5 ∴f(x)的对称轴方程为 x= π + (k∈Z). 12 2

[课堂小结] 1.讨论三角函数性质,应先把函数式化成 y=Asin(ωx+φ)(ω> 0)的形式. 2π 2.函数 y=Asin(ωx+φ)和 y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为 , |ω | π y=tan(ωx+φ)的最小正周期为 . |ω | 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等 ) 可以通过换元的方法令 t=ωx+φ,将其转化为研究 y=sin t 的性质.

4.解决三角函数的对称问题,特别应注意:函数y=Asin(ωx+φ) 的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象坐标 为(x,±A)的点与x 轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,

这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期 (或两个相
邻平衡点间的距离).


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