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等差数列的概念课件

时间:2018-05-23


问题1 在过去的三百年里,人们
分别从下列时间观测到哈雷彗星
1682,1758,1834,1910,1986, ( 2062 )

你能预测下一次观察时间吗?

问题2 通常情况下从地面到高空11km处,气温随高度的增加而
下降,符合一定的规律。根据规律,完成下表
离地 距离(km)

1
20

2
14

3
8

4
2

5

7
-10

8

9
-22

10
-28

11

温度(oC)

-4

-16

-34

思考:上述两个例子中的数列有什么特点? 数列从第二项起每一项减去前一项的差等于同一个常数。

等差数列定义:
?

如果一个数列从第2项起,每一项与它 的前一项的差等于同一个常数(指与n无关 的数),这个数列就叫做等差数列,这个常 数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。

an?1 ? an ? d (是与n无关的数或式子)

练习
1、判断下列数列是否为等差数列?如果是请说出公差d

a2=a1 + d, 常数列 (1)1, 2,4,6,8,10,12,… 不是 a ( a +d ) a3= 2 + d = 1 + d= a1 + 2 d, (2)0, 1,2,3,4,5,6,… 是 d=1 a 3 + d = (a1+2d) a = + d= a + 3 d, 4 1 (3)3, 3,3,3,3,3,3,… 是 d=0 a ( a +3d ) 4 1 a = + d = + d= a + 4 d, 5 1 (4)2,4,7,11,16,… 不是 …… (5)-8,-6,-4,0,2,4,… 不是 (n-1) a3n,- = 6,- a1 9 + d. (6)3,0,- ,… 是 d=-3

2、已知一个等差数列{an}的首项是a1,公差是d,如何 求出它的任意项an呢?

等差数列通项公式:

an=a1+(n-1)d

例题
? 例1

求等差数列8,5,2,…的通项公式 和第20项. an=a1+(n-1)d ? 解:∵a1 =8 d=5-8=-3
? ?

∴数列的通项公式是

?
?

?

an=8+(n-1) ×(-3) 即 an=-3n+11 ∴ a20=-3 × 20+11 =-49

例题
? 例2 等差数列-5,-9,-13,…的第多少项 是-401?

? 解:∵a1=-5 an=-401 an=a1+(n-1)d ? ∴d=-5-(-9)=-4 ? 由等差数列的通项公式得 ? -401=-5+(n-1)×(-4) ? ∴ 4n=400 ? ∴ n=100 ? 即这个数列的第100项是-401

练习
1、求等差数列10,8,6,…的第20项 2、等差数列中,a1 = 12,a6 = 27,求d

d=8-10=-2 ? ∴a20=10+(20-1)×(-2) ? =-28 an=a1+(n-1)d ? 2、解: ∵ a1=12 a6=27 ? ∴ 27=12+(6-1)×d ? ∴ d=3

? 1、解:∵a1=10

例题
在3与7之间插入一个数A,使3,A,7 成等差数列,求A. ? 解:∵ 3,A,7成等差数列 ? ∴A-3=7-A
? 例3

?
?

∴ 2A =10 ∴ A =5

等差中项定义: 一般地,如果a,A,b 成等差数 列,那么A 叫做a与b的等差中项.

思考:
? 1、在a与b 之间插入一个数A,使a,A,b 成等差

数列.你能用a,b 来表示A 吗? a+b ? A=
2

? 2、在等差数列1,3,5,7,9,11,13,…中,

每相邻的三项,满足等差中项的关系吗? ? 满足 ? 3、在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有 穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一 项的等差中项吗?
?

结论:在一个等差数列中,从第2项起,每一 项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项 与后一项的等差中项.

练习
观察如下的两个数之间,插入一个什么数后, 三个数就会成为一个等差数列: (1)2 , 3 , 4 (2)-1, 2 ,5 (3)-12, -6 ,0 (4)0,

0

,0

例题
? 例4

已知一个等差数列的第3项是5,第8项 是20,求它的第25项. an=a1+(n-1)d ? 解 因为a3=5,a8=20,根据通项公式得
? ? ? ? ? ?
a1 +(3-1)d =5 a1 +(8-1)d =20

整理,得
a1 +2d=5 a1 +7d=20

解方程组,得a1=-1,d =3 所以 a25= -1+(25-1)×3 = 71.

例题
? 例5

梯子的最高一级是33 cm,最低一级是89 cm, 中间还有7级,各级的宽度成等差数列,求中间各级 的宽度. a =a +(n-1)d
n 1

? 解:用{an}表示等差数列.已知a1=33,an=89,n=9,

? 则a9 = 33+(9-1)d , 即89 = 33 + 8d,
? 解得d = 7. ? 于是a2 = 33 + 7 = 40,a3 = 40 + 7 = 47,

? a4 = 47 + 7 = 54,a5 = 54 + 7 = 61,
? a6 = 61 + 7 = 68,a7 = 68 + 7 = 75, ? a8 = 75 + 7 = 82. ? 即梯子中间各级的宽从上到下依次是40 cm,47 cm, 54 cm,61 cm,68 cm,75 cm,82 cm.

例题
? 例6 已知一个直角三角形的周长是24,三条边的长度 成等差数列.求这个直角三角形三边的长度.

? 解:设这个直角三角形的三边长分别为

a-d,a,a+d.(不妨设d>0)
? ? ?

?
? ? ?

因为 它的周长是24 所以 (a-d) + a+(a+d)=24 解得 a = 8 根据勾股定理,得 (8-d)2 + 8 2 =(8+d)2, 解得 d=2 于是这个直角三角形的三边长是6,8,10.

小结
? 三个概念:

等差数列 等差中项 常数列 ? 两个公式: ? 通项公式 等差中项公式 ? 两个应用:通项公式和等差中项公式应用 ? 一个结论:
?
?

在一个等差数列中,从第2项起,每一 项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前 一项与后一项的等差中项。

作业
? 1、教材P100,练习5-2

第4,5,6题. ? 2、思考:印度著名景点--泰姬陵,传说陵寝中有 一个三角形图案,以相同大小的圆宝石镶饰而成 ,共有100层(形如下图)。你知道这个图案一共 花了多少颗宝石吗?

练习
? 已知等差数列{an }中,a4 = 10,a5 = 6,求a8 和d. ? 解:∵ a4 = 10,a5 = 6
?

? ?
?

? ?

∴ d = 6-10= -4 ∵ a4 = a1 +(3-1)d 即 10= a1 +(3-1) ×(-4) ∴ a1 = 18 ∴ a8 = 18+(8-1)×(-4) = -10

小结
等差数列定义:

如果一个数列从第2项起,每一项与它的前 一项的差等于同一个常数(指与n无关的数),这 个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列 的公差,公差通常用字母d 表示。
等差中项定义: 一般地,如果a,A,b 成等差数列,那么A 叫做a与b的等差中项. 常数列定义: 公差为0的数列叫做常数列.

小结
等差数列通项公式:

an=a1+(n-1)d
等差中项计算公式:

a?b A? 2


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