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广东省汕头市潮阳第一中学2008届摸底考文科数学新人教

时间:2010-08-15

试卷类型: 试卷类型:A

潮阳一中 2007-2008 学年度高三级摸底考试试题

数学(文科)
小题, 分钟. 本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将姓名、班级、座号答题卡指定相应的位 置上.将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上. 2. 选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相 应位置上;如需改动,选划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改 液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将答题卡交回,试卷自行保存. 参考公式: 参考公式:锥体的体积公式 V =

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 是锥体的高. 3 如果事件 A,B 互斥,那么 P ( A + B ) = P ( A) + P ( B ) .

小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 选择题: 有一项是符合题目要求的. 有一项是符合题目要求的. 1.设全集 U = 3, a, a + 2a 3}, A = {2, 3}, CU A = {5}, 则 a 的值为
2

{

A.2 或-4

B.2 B.若 p 则 q

C.-4 C.若 q 则 p

D.4

2.如果命题“若 p 则 q”的逆命题是真命题,则下列命题一定为真命题的是 A.若 p 则 q D.以上均不对

3.下面的说法正确的是: A.所有单位向量相等 C. 若a = 0, b ≠ 0, 则a b不存在 B.所有单位向量平行 D. 若a = 0, b = 0, 则a ∥ b

4.一条直线若同时平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面交线的位置关系是 A.异面 B. 相交 C. 平行 D. 不确定 5.设 x0 是方程 ln x + x = 4 的解,则 x0 属于区间 A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3)
第 1 页(共 4 页)

D.(3,4)

数学(文科)试卷 A

6.函数 f ( x ) = sin( x + θ ) 满足对任意 x ∈ R 有 f ( x + A.

π
6

)=f(

π
6

x) ,则 θ 可以是:

π
3

B.

π
6
开始

C.-

π
6

D.-

π
3
i=2, sum=0

7.将一张坐标纸折叠一次,使得点 M(0,4)与点 N(1,3)重合,则与点 P(2004,2010)重合的点 的坐标是 A. (2006,2006) C. (2007,2006) B. (2006,2007) D. (2007,2007)

sum=sum+i

i=i+2

8.如右面的程序框图,那么,输出的数是 A.2450 C. 5050 B. 2550 D. 4900


i≥100?



9.等差数列 {a n } 中, a 3 = 8, a 7 = 20 ,若数 列{

1 4 } 的前 n 项和为 ,则 n 的值为 a n a n +1 25
B、15 D、18

输出 sum

A、14 C、16

结束

10.定义 A B, B C , C D, D A 的运算分别 对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4),那么下图中的(A)(B)所对应的运算结果可能是 、

(1)

(2)

(3) B、 B D, A C

(4)

(A)

(B) D、 C D, A D

A、 B D, A D

C、 B C , A D

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.其中 14、15 题是选做题,考生只 填空题: 、 题是选做题, 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分。 11.如图,一颗豆子随机扔到桌面上,假设豆子不落在线上,则它落在 阴影区域的概率为________. 12.已知 x > 3 ,则函数 y =

2 + x 的最小值为 x 3



数学(文科)试卷 A

第 2

页(共 4 页)

13.知 a、b、c 分别是△ABC 中角 A、B、C 的对边,且 a + c b = ac .则角 B 的大小
2 2 2





请从下面两题中选做一题,如果两题都做,以第一题的得分为最后得分.
14. 坐标系与参数方程选做题 (坐标系与参数方程选做题 坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为 ρ = 2 cos θ和ρ = sin θ 的两个圆的圆心 距为 .

15.几何证明选讲选做题 如图, (几何证明选讲选做题) 在四边形 ABCD 中, EF//BC, FG//AD, 则

EF FG + BC AD



小题, 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 解答题: 16. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (cos α , sin α ), b = (cos β , sin β ), a b = (Ⅰ)求 cos(α β )的值 ; (Ⅱ)若

2 5, 5

π
2

< β < 0 <α <

π
2

,且 sin β =

5 , 求 sin α 的值. 13

17. (本小题满分 12 分) 某村计划建造一个室内面积为 800m2 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧 内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时, 蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?

18. (本小题满分 14 分) 如 图 , 矩 形 ABCD 中 , AD ⊥ 平面ABE ,

D G

C

AE = EB = BC = 2 , F 为 CE 上 的 点 , 且 BF ⊥ 平面ACE .
(Ⅰ)求证: AE ⊥ 平面BCE ; (Ⅱ)求证; AE // 平面BFD ; (Ⅲ)求三棱锥 C BGF 的体积. E A

F

B

数学(文科)试卷 A

第 3

页(共 4 页)

19. (本小题满分 14 分) 已知圆 C: x 2 + y 2 2 x + 4 y 4 = 0, 是否存在斜率为 1 的直线 l ,使 l 被圆 C 截得的弦 长 AB 为直径的圆过原点,若存在求出直线的方程,若不存在说明理由.

20. (本小题满分 14 分) 已知数列 al,a2…,a30,其中 al,a2…,a10 是首项为 1 公差为 1 的等差数列;al0,a11…, a20 是公差为 d 的等差数列;a20,a21…,a30 是公差为 d2 的等差数列(d>0). (Ⅰ)若 a20=40,求 d; (Ⅱ)试写出 a30 关于 d 的关系式,并求 a30 的取值范围; (Ⅲ)请依次类推,续写己知数列,把已知数列推广为无穷数列.再提出同(2)类似的问题,并进 行研究,你能得到什么样的结论?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) = x 3 3 x及y = f ( x ) 上一点 P(1,-2) ,过点 P 作直线 l, (Ⅰ)求使直线 l 和 y=f(x)相切且以 P 为切点的直线方程; (Ⅱ)求使直线 l 和 y=f(x)相切且切点异于 P 的直线方程 y=g(x) ; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求 F ( x) = f ( x) + tg ( x)(t为常数)在[2,+∞) 上单调时,t 的取值 范围.

潮阳一中 2007-2008 学年度高三级摸底考试
参考答案

数学(文科)试卷 A

第 4

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一、选择题: 选择题

1.B 2.B

3.D

4.C 13.

5.C 6.C 7.D 8.A 9.C

10.B

二、填空题: 11. 填空题 三、解答题: 解答题

1 3

12. 2 2 + 3

π
3

14.

5 2

15.1

16.解: (Ⅰ)解:Q a = 1 , b = 1 解

(1 分)

r r 2 r2 r r r2 r 2 r 2 ∴ a b = a 2a b + b = a + b 2(cos α cos β + sin α sin β )
= 1 + 1 2 cos(α β )
(4 分)

(3 分)

2 5 4 Q ab = 5 =5
2

2

∴ 2 2 cos(α β ) =

4 3 得 cos(α β ) = 5 5

(6 分)

(Ⅱ)解:Q

π π < β < 0<α < 2 2
3 5

∴0 < α β < π

(7 分)

由 cos(α β ) = 由 sin β =

得 sin(α β ) = 1 cos 2 (α β ) =

4 5

(8 分)

5 12 得 cos β = 1 sin 2 β = (9 分) 13 13 (11 分) ∴ sin α = sin [(α β ) + β ] = sin(α β ) cos β + cos(α β ) sin β = 4 12 3 5 33 × + × ( ) = 5 13 5 13 65
(12 分) (2 分)

17 解: 设矩形温室的左侧边长为 am,后侧边长为 bm,则 ab=800m2. ∵ a > 0, b > 0, ab = 800 , ∴ a + 2b ≥ 2 2ab = 80 , ∴ S ≤ 808 2 × 80 = 648 (m ) ,
2

∴蔬菜的种植面积 S = (a 4)(b 2) = ab 2a 4b + 8 = 808 2( a + 2b) , (5 分) (7 分) (9 分)
2

当且仅当 a = 2b ,即 a = 40 m, b = 20 m 时, S max = 648 m . 面积为 648 m2. 18 解:(Ⅰ)证明:Q AD ⊥ 平面 ABE , AD // BC ∴ BC ⊥ 平面 ABE ,则 AE ⊥ BC (2 分) 又Q BF ⊥ 平面 ACE ,则 AE ⊥ BF ∴ AE ⊥ 平面 BCE (4 分) A
数学(文科)试卷 A 第 5 页(共 4 页)

(11 分) (12 分)

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植

D G

C

(Ⅱ)证明:依题意可知: G 是 AC 中点

F

B

E

Q BF ⊥ 平面 ACE 则 CE ⊥ BF ,而 BC = BE
∴ F 是 EC 中点 ∴ AE // 平面 BFD (Ⅲ)解:Q AE // 平面 BFD ∴ AE // FG ,而 AE ⊥ 平面 BCE ∴ FG ⊥ 平面 BCE ∴ FG ⊥ 平面 BCF (10 分) (6 分) (8 分) 在 AEC 中, FG // AE

Q G 是 AC 中点
∴ F 是 CE 中点 ∴ FG // AE 且 FG =

1 AE = 1 2

Q BF ⊥ 平面 ACE
∴ BF ⊥ CE ∴ RtBCE 中, BF = CF = ∴ S CFB =

1 CE = 2 2
(12 分) (14 分) (2 分)

1 2 2 =1 2

∴ VC BFG = VG BCF =

1 1 S CFB FG = 3 3

19 解: 圆 C 化成标准方程为: ( x 1) 2 + ( y + 2) 2 = 9 假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b)

b+2 × 1 = 1,∴ a + b + 1 = 0, 得b=-a-1 ① a 1 直线 l 的方程为 y b = x a,即x-y+b-a=0 (6 分)
由于 CM ⊥ l ,∴ kCM kl = 1, kCM =

(5 分)

CM =
2

ba+3 2
2

,Q以AB为直径的圆M过原点, MA = MB = OM ∴
2

(7 分)

MB = CB CM =9
即: 9

ba+3 2

= OM = a 2 + b 2
2

ba+3 2

= a 2 + b2



(10 分) (11 分) (12 分) (13 分) (14 分)

由①②得: a = 当a =

3 或a = 1 2

3 5 时,b = , 此时直线l的方程为x-y-4=0 2 2

当 a = 1时,b = 0,此时直线l的方程为x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y+4=0 或 x-y+1=0.
数学(文科)试卷 A 第 6 页(共 4 页)

20 解: 解(Ⅰ) al0=10,

a20=10+10d=40,

∴d=3

(2 分) (4 分)

(Ⅱ) a30= a20+10d=10(1+d+d2) (d≠0) a30=10[(d+

1 2 3 ) + ], 2 4 15 ,+∞]. 2
(7 分) (8 分) (9 分) (11 分)

当 d∈(-∞, 0)∪(0, +∞)时, a30∈[

(Ⅲ) 续写数列: 数列 a30,a31,…,a40 是公差为 d4 的等差数列

一般地,可推广为:无穷数列{ an},其中 al,a2…,a10 是首项为 1 公差为 1 的等差数列, 当 n≥1 时, 数列 a10n,a10n+1,…,a10(n+1)是公差为 dn 的等差数列. 研究的问题可以是:试写出 a10(n+1)关于 d 的关系式,并求 a10(n+1)的取值范围 研究的结论可以是: 由 a40= a30+10d =10(1+d+d + d ), 依次类推可得 a10(n+1)= 10(1+d+d2+…+ dn)= 10
3 2 3

1 d n +1 (d≠1), 1 d
(d=1) (14 分)

10(n+1) 当 d>0 时, a10(n+1)的取值范围为(10, +∞)等
3 2

21 解:(Ⅰ)由 f ( x) = x 3 x得, f ′( x) = 3 x 3, 过点 P 且以 P(1,-2)为切点的直线 的斜率 f ′(1) = 0 ,

∴ 所求直线方程: y = 2. (3 分)
2 (Ⅱ)设过 P(1,-2)的直线 l 与 y = f (x ) 切于另一点 ( x 0 , y 0 ),由f ′( x 0 ) = 3 x 0 3

3 2 知: 2 ( x 0 3 x 0 ) = (3 x 0 3)(1 x 0 ),

3 2 即: x 0 3 x 0 + 2 = 3( x 0 1)( x 0 1), 解得x 0 1

或 x0 =

1 ; 故所求直线的斜率为: 2

1 9 k = 3( 1) = , 4 4 9 ∴ y (2) = ( x 1), 4
即 9 z + 4 y 1 = 0. (Ⅲ)由(Ⅱ)可知 g ( x ) = (8 分)

9 1 9 1 x + , 则 F ( x) = x 3 3 x + t ( x + ). 4 4 4 4

9 ∴ F ′( x) = 3 x 2 ( t + 3) 4
数学(文科)试卷 A 第 7 页(共 4 页)

在 在

9 t + 3 ≤ 0时, F ′( x ) ≥ 0在[ 2,+∞ )上恒成立, F ( x )在[ 2,+∞ ) 上单调递增, (11 分) 4 9 t + 3 > 0时,由F ′( x ) = 0 4

得 x1 =

3 t + 1, 4

x2 =

3 3 t + 1, 为两极值点,在 t + 1 ≤ 2 时, 4 4 3 t +1 ≤ 2 4

F ( x)在[2,+∞) 上单调递增,∴由


3 t +1 ≤ 4 4
(14 分)

∴ t ≤ 4,即t ∈ (∞,4].

数学(文科)试卷 A

第 8

页(共 4 页)


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