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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案 新人教A版选修1-2

时间:2014-12-22


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 3.2.1 复数代数形式的加减运 算及其几何意义学案 新人教 A 版选修 1-2
【学习目标】 掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义. 【学习过程】 一.自我阅读: (课本第 104 页至第 105 页)完成知识点的提炼 探究任务一:复数代数形式的加减运算 规定:复数的加法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么。 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 很明显,两个复数的和仍然是 . 问题:复数的加法满足交换律、结合律吗? 新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1 ? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 )

探究任务二:复数加法的几何意义 问题:复数与复平面内的向量有一一对应的关系. 我们讨论过向量加法的几何意义,你能由 此出发讨论复数加法的几何意义吗?

由平面向量的坐标运算,有 OZ = OZ1 ? OZ2 =(



新知: 复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法 则) 试试:计算 (1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) = (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) = (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) = (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] = 反思:复数的加法运算即是: 探究任务三:复数减法的几何意义 问题:复数是否有减法?如何理解复数的减法? 类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法是加法的逆运算. 新知:复数的减法法则为: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 由此可见,两个复数的差是一个确定的复数.
1

复数减法的几何意义:复数的减法运算也可以按向量的减法来进行. 二.研究课本例题: (是对基本知识的体验) 例 1 计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i)

变式:计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)
2 ? 3i 3 ? ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ?i

?

小结: 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减. 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、A、C 对应的复数分别为 0, 3 ? 2i , ?2 ? 4i ,试 求: (1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

变式: ABCD 是复平面内的平行四边形,A,B,C 三点对应的复数分别是 1 ? 3i, ?i, 2 ? i ,求 点 D 对应的复数.

小结:减法运算的实质为终点复数减去起点复数,即: AB ? zB ? z A ※ 动手试试

2

练 1. 计算: (1) (2 ? 4i) ? (3 ? 4i) ; (2) 5 ? (3 ? 2i) ; (3) (?3 ? 4i) ? (2 ? i) ? (1 ? 5i) ; (4) (2 ? i) ? (2 ? 3i) ? 4i

练 2. 在复平面内,复数 6 ? 5i 与 ?3 ? 4i 对应的向量分别是 OA 与 OB ,其中 O 是原点,求向 量 AB , BA 对应的复数.

【课堂小结与反思】 (体会本节课所学知识、题型、方法)用自已的语言来概述本节课题的 内容如下:

【课堂自我检测】 1. a ? 0 是复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯 虚数的(



A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 2. 设 O 是原点,向量 OA , OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对应的复 数是( ) A. ?5 ? 5i B. ?5 ? 5i C. 5 ? 5i D. 5 ? 5i 2 3. 当 ? m ? 1 时,复数 m(3 ? i ) ? (2 ? i) 在复平面内对应的点位于( ) 3 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4. i ? i 2 在复平面内表示的点在第 象限. 5. 已知 z1 ? 3 ? 4i ,点 z 2 和点 z1 关于实轴对称,点 z 3 和点 z 2 关于虚轴对称,点 z 4 和点 z 2 关 于原点对称,则 z 2 = 【课后作业】 1.设复数 z 满足关系:z+| z |=2+I,那么 z 等于( )
3

; z3 =

; z4 =

2.

OA, OB 对应的复数分别为 2 ? 3i , ?3 ? 2i ,那么向量 BA 对 设 O 是原点,向量


?

?

?

应的复数是(

A. ?5 ? 5i B . ?5 ? 5i C . 5 ? 5i

D . 5 ? 5i

3.设 f(z)=z,z1=3+4i z2=-2-i, 则 f(z1-z2)=( ) A.1-3i B. -2+11i C.-2+i D.5+5i 4. A、B 分别是复数 z1、z2 在复平面上对应的两点,O 是原点,若|z1+z2|=|z1-z2|,则 ? ABC 是 ( ) A . 等腰三角形 B. 直角三角形 C . 等边三角形 D. 等要直角三角形 5.若复数 z 满足|z|=|z+2+2i|,则|z-1+i|的最小值是( ) A.4 B. 2 2 C. 2 D.

2

6.计算(- 2 + 3 i)+( 3 - 2 i)-[( 3 - 2 )+( 3 + 2 i]=___________________ 7.计算(2x+3yi)-(3x-2yi)+(y-2xi)-3xi=_____________________ 8.设 Z1 ? 1 ? i , Z 2 ? ?1 ? i ,复数 Z1 和 Z 2 在复平面内对应点分别为 A、B,O 为原点,则

?AOB 的面积为



9.计算: (1) (6 ? 5i) ? (3 ? 2i) ; (2) 5i ? (2 ? 2i) ; 2 2 1 3 (3) ( ? i) ? (1 ? i) ? ( ? i) ; 3 3 2 4 (4) (0.5 ? 1.3i) ? (1.2 ? 0.7i) ? (1 ? 0.4i)

10.设 z1 =x+2i, z 2 =3-yi, (x、y ? R)且 z1 + z 2 =5-6i,求 x+yi

11. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z ,试作出下列运算的结果对应的向量: (1) z ?1 ; (2) z ? i ; (3) z ? (2 ? i )

4

12.已知复数 z1=2+i,z2 =1+2i 在复平面内对应的点分别为 A、B,求 AB 对应的复数 z,z 在 平面内所对应的点在第几象限?

13.

已知 z1 ? a2 ? 3 ? (a ? 5)i , z2 ? a ? 1 ? (a 2 ? 2a ? 1)i ( a ? R )分别对应向量,

OZ1 , OZ2 (O 为原点),若向量 Z 2 Z1 对应的复数为纯虚数,求 a 的值.

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