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高中数学选修2-3(人教A版)第二章随机变量及其分布2.1知识点总结含同步练习及答案

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高中数学选修2-3(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章随机变量及其分布 2.1离散型随机变量及其分布列

一、学习任务 1. 了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要 性;会求某些简单的离散型随机变量的分布列. 2. 通过实例理解两点分布、超几何分布,理解其公式的推导过程,并能简单的运用.

二、知识清单
离散型随机变量的概念 离散型随机变量的分布列

三、知识讲解
1.离散型随机变量的概念 描述: 在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这 种对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随 机变量(random variable).
随机变量常用字母 X ,Y ,ξ,η ,? 表示.如果随机变量 X 的所有可能的取值都能一一列举出来,则称为离散 型随机变量.

例题: 投掷均匀硬币一次,随机变量为( A.出现正面的次数

) B.出现正面或反面的次数

C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和 解:A 掷一枚硬币,可能出现的结果是正面向上或反面向上,以一个标准如正面向上的次数来描述一个 随机试验,那么正面向上的次数就是随机变量 ξ ,ξ 的取值是 0 ,1 ,故选 A.而 B 中的事件是 必然事件,C 中掷硬币次数是 1 ,不是随机变量,D 中对应的事件是必然事件,故选 A. 下列所述:①某座大桥一天经过的车辆数 X ;②某无线电寻呼台一天内收到寻呼次数 X ;③一 天之内的温度 X ;④一位射手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,用 X 表示该射手在一次射击中的得分.其中 X 是离散型随机变量的是( ) A.①②③ B.①②④       C.①③④          D.②③④ 解:B 根据离散型随机变量的定义,判断一个随机变量是不是离散型随机变量,就是看这一变量的所有 可能的取值是否可以一一列出.①②④中的 X 可能取的值,可以一一列举出来,而③中的 X 可以取某一区间内的一切值,不可以一一列出.

写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所表示的随机试验的结果. (1)小明要去北京旅游,可能乘火车,乘汽车,也可能乘飞机,旅费分别为 100 元,60 元和 600 元,他的旅费为 ξ ; (2)一个正方体的骰子,各面分别刻着 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,随意掷两次,所得的点数之和为 ξ. 解:(1)ξ 可能取值为 100 ,60,600 ,分别表示他的旅费为 100 元,60 元,600 元. (2)ξ 可能的取值为 2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10,11,12. 若以 (i, j) 表示两次投掷后,第一次得 i 点,第二次得 j 点,其中 i = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 , j = 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,则 ξ = 2 表示 (1, 1);ξ = 3 表示 (1, 2),(2, 1);?;ξ = 12 表示 (6, 6).

2.离散型随机变量的分布列 描述: 离散型随机变量的分布列的概念 一般地,若离散型随机变量 ξ 可能取的不同值为 x1 ,x2 ,?,xi ,?,xn ,X 取每一个值 xi (i = 1 ,2 ,? ,n)的概率 P (X = xi ) = p i ,以表格的形式表示如下:

X P

x1 p1

x2 p2

? ?

xi pi

? xn ? pn

上表称为离散型随机变量 X 的概率分布列(probability distribution series),简称为 X 的分布列(distribution series). 有时为了简单起见,也用等式 P (X = xi ) = p i ,i = 1 ,2 ,? ,n 表示 X 的分布列.
离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质: (1)p i ? 0, i = 1, 2, ? , n; (2) ∑ p i = 1 .
i=1 n

两点分布

X P

0 1 1?p p

若随机变量 X 的分布列具有上表的形式,则称 X 服从两点分布(two-point distribution), 并称 p = P (X = 1) 为成功概率. 超几何分布 一般地,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,则

P (X = k) =


n?k Ck M CN ?M ,k = 0,1 ,2, ? ,l, Cn N

X P

n?0 C0 M CN ?M Cn N

0

n?1 C1 M CN ?M Cn N

1

? ?

n?l Cl M CN ?M Cn N

l

其中 l = min{M , n},且 n ≤ N ,M ≤ N ,n,M ,N ∈ N ? .如果随机变量 X 的分布列具有 上表形式,则称随机变量 X 服从超几何分布(hypergeometric distribution). 例题: 给出下列四个表,其中能称为随机变量 ξ 的分布列的是( A. B. )

ξ P ξ P ξ P ξ P

0 0.9025 0 1 2 0 0.2 1 1 4

0 1 0.6 0.3

C.

D.

n?1 1 ? 2n 1 2 3 4 0.4 0.3 0.3 ?0.2

1 2 0.095 0.0025 2 1 8 ?

解:B 对于表 A,有 0.6 + 0.3 = 0.9 < 1 ; 对于表 C,有

1 1 1 1 1 + + + ? + n = 1 ? n < 1; 2 4 8 2 2 对于表 D,有 ?0.2 < 0 ,故表 A,C,D 均不能成为随机变量 ξ 的分布列; 对于表 B,由于 0.9025 + 0.095 + 0.0025 = 1,故表B可以成为随机变量 ξ 的分布列.
设随机变量 X 的分布列为 P (X = i) = (1)P (X = 1 或 X = 2); (2)P (

i (i = 1, 2, 3, 4 ),求: 10

1 7 < X < ). 2 2 1 2 3 解:(1)P (X = 1 或 X = 2) = P (X = 1) + P (X = 2) = ; + = 10 10 10 1 7 1 2 3 3 (2)P ( < X < ) = P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3) = + + = . 2 2 10 10 10 5
一袋中装有 6 个同样大小的黑球,编号分别为 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,现从中随机取出 3 个球, 以 X 表示取出球的最大号码,求 X 的分布列. 解:随机变量 X 的可能取值为 3 ,4 ,5 ,6 . 从袋中随机地取出 3 个球,包含的基本事件总数为 C3 6 ,事件 “X = 3 ” 包含的基本事件总数 1 2 ;事件 “ 为 C3 ;事件 “ ”包含的基本事件的总数为 X = 4 X = 5 ” 包含的基本事件总 C 3 1 C3 1 2 1 2 数为 C1 C4 ;事件 “X = 6 ” 包含的基本事件总数为 C1 C5 . 从而有

P (X = 3) = P (X = 4) = P (X = 5) =

C3 3

3 ; 10 6 C1 C2 1 P (X = 6) = 1 5 = . 2 C3 6 =
所以随机变量X 的分布列如下表:

C3 6 2 C1 1 C3 C3 6 2 C1 C 1 4 3

=

1 ; 20 = 3 ; 20

X P

3 1 20

4 3 20

5 3 20

6 1 2

袋中有 5 个白球,6 个红球,从中摸出两球,记 X = { 0, 两球全红, 求随机变量 X 的分 1, 两球非全红. 布列. 解:由题可知,X 服从两点分布.

3 , 11 3 8 P (X = 1) = 1 ? = . 11 11 P (X = 0) = C2 11 =
随机变量 X 的分布列为

C2 6

X P

0 3 11

1 8 11

在 8 件产品中,有 6 件一级品,2 件二级品,从中任取 3 件,其中一级品的件数为 X ,求随 机变量 X 的分布列. 解:由题意可知,X 服从超几何分布,则 P (X = r) = 所以
3?r Cr 6 C2

C3 8

,r = 1,2 ,3 .

P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) =
所以 X 的分布列为

2 C1 6 C2

C3 8 1 C2 C 6 2 C3 8 0 C3 C 6 2 C3 8

= = =

3 , 28 15 , 28 5 . 14

X P

1 3 28

2 15 28

3 5 14

四、课后作业

(查看更多本章节同步练习题,请到快乐学kuailexue.com)

1. 设 ξ 是一个离散机变量,其分布列如下表所示,则 q 的值为 (

).

ξ ?1 0 1 1 p 1 ? 2q q 2 2 √2 A.1 + 2

B.1 ?

√2 2

C.1 ±

√2 2

D.√2 ? 1

答案: B 解析: 利用分布列性质随机变量取值概率之和为

1 来做

2. 下列所述:①某座大桥一天经过的车辆数 ξ ;②某无线电寻呼台一天内收到寻呼的次数 ξ ;③一天之 内的温度 ξ ;④一位射击手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,用 ξ 表示该射 击手在一次射击中的得分.其中 ξ 是离散型随机变量的是 ( A.①②③
答案: B

)
D.②③④

B.①②④

C.①③④

3. 某人射击的命中率为 p (0 < p < 1) ,他向一目标射击,当第一次射中目标则停止射击,射击次数的取 值是 (

)
B.1, 2, 3, ? , n, ? C.0, 1, 2, ? , n D.0, 1, 2, ? , n, ?

A.1, 2, 3, ? , n
答案: B

4. 在 15 个村庄中有 6 个村庄交通不便,现从中任意选取 10 个村庄,其中有 X 个村庄交通不便,下列 概率中等于
6 C4 6 C9

A.P (X = 4)
答案: A 解析:

C10 15

的是 (

)
C.P (X = 6) D.P (X ? 6)

B.P (X ? 4)

X 服从参数为 (15, 6, 10) 的超几何分布.

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