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2.2.3幂函数课件(新人教版必修1).ppt1

时间:2012-03-25


(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她 w元 需要支付P = ______ P 是 w 的函数 y=x ɑ? (2)如果正方形的边长为ɑ,那么正方形的面积S = ____ S是 ɑ 的函数 y=x2 (3)如果立方体的边长为ɑ,那么立方体的体积V = ɑ? ____ V是ɑ的函数 y=x3 (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边 1 1 2 长 a ? ____ ɑ是S的函数 S y=x 2 (5)如果某人 t s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 ? 速度v=__________ v是t 的函数 t?? km/s y=x-1 y?x

以上问题中的函数具有什么共同特征?

§ 2.2.3

一般地,函数 y

其中

x 为自变量,? 为常数.

?x

?

叫做幂函数(power function) ,

说明: (1)幂函数的定义域不固定,它与? 的取值 有关;

(2)幂函数的解析式必须是 y ? x?的形式,其 特征可归纳为①指数为常数, ②底数为自变量, ③ 的系数为1,④只有1项 x?

你能说出幂函数与指数函数的区别吗?
幂函数与指数函数的对比
名称

式子
指数函数: y= ɑx y ? xa 幂函数:

常数ɑ
底数 指数

自变量x 因变量y
指数 底数 幂值 幂值

判断一个函数是幂函数还是指数函数关键点 看自变量x是指数还是底数
指数函数

幂函数

例1 判断下列函数是否为幂函数.

?1? y ? x

4



1 (2) y ? 2 x 2 (3) y ? 2 x
(4) y ? x ? 1
2

√ ×
×

1 对于幂函数,我们只讨论 ? =1, 2,3, , ?1时的情形 2
在同一平面直角坐标系内作出 1

y? x y?x

2

y?x

3

y?x

2

y?x

?1

五个幂函数的图象.

y?x

2
4

y?x

3
(2,4)

(-2,4)

y?x
3 2

(4, 2)

y?x

1 2

(-1,1)

1

(1,1) (2,1/2)

y?x
4 6

-1

-4

-2

2

(-2,-1/2)

(-1,-1)

-1

-2

x x -3 结合图象,研究它们的定 x-3 -2 -1 -1 011 2 4 33 0-2 1 0 2 2 3 -2 -1 1 义域、值域、单调性、奇 ?1 2 y ? xy3?9 2 4 -81 1-1 012 1/2 91/3 y=x -1/3 0 -10 1 4 2 27 -27 -1/2 8 x偶性、过定点的情况等。

-3

观察幂函数图象,将你发现的结论写在下表内:
y=x 定义域 R R y=x2 R y=x3 y=x
1 2

y=x-1

R [0,+∞) R [0,+∞)
奇函数 非奇 非偶

{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数

值域

[0,+∞)
偶函数

奇偶性 奇函数

在R 在(-∞,0]上减, 单调性 上增 在[0,+∞)上增

在 在(-∞,0)上减, 在R [0,+∞) 在(0,+∞)上减 上增 上增

公共点

(1,1)

y?x
(-2,4)
4

3

y ? x2
(2,4)

y?x
3 2

y?x
(1,1) (2,1/2)

1 2

(-1,1)

1

y?x
4 6

-1

-4

-2

2

(-2,-1/2)

(-1,-1)

-1

-2

-3

通过观察图象,我们得到:

y y ? x ,y ? x2 ,y ? x3 , ? x 和 y ? x ?1 的图象都经 (1)函数 (1,1) 过点_______;
奇函数 y ? x , ? x3 y ? x ?1是_______ ,函数 y ? x2 是 y (2)函数 , 偶函数 ;(奇偶性) _______

1 2

? ?0 (3)在区间(0,+∞)上,___的幂函数,即函数____,___, y ? x y ? x2

y?x y?x y ? x ?1 ______和_____ 是增函数,____的幂函数,即函数_____是 ? ?0 减函数;
3

1 2

y (4)在第一象限内,函数 y ? x 的图象向上与____轴无限接 x 近,向右与____轴无限接近.

?1

例2 证明幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.
复习用定义证明函数的单调性的步骤: (1). 取值。设x1, x2是区间上任意两个实数,且x1<x2; (2). 作差 。f(x1)-f(x2),化简 ; (3). 定号。判断 f(x1)-f(x2) 的符号; (4). 下结论。

证明:任取 x1 , x2 ?[0,??), 且x1 ? x2 , 则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? x2 ?
?

方法技巧: 分子有理化 ( x1 ? x2 )( x1 ? x2 )

x1 ? x2 , ? x1 ? x2 ? 0, x1 ? x2 ? 0,? f ( x1 ) ? f ( x2 ). x1 ? x2

x1 ? x2

所以幂函数 f ( x) ? x 在[0,+∞)上是增函数.

课堂小结:

本节知识结构: 幂函数

定义

五个特殊幂函数
图象 基本性质

课时作业39


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